Изгиб бруса

 

 

 

 

 

 

 

 

        Введение.

        Изгиб - вид деформации, характеризующийся искривлением (изменением кривизны) оси или срединной поверхности деформируемого объекта (бруса, балки, плиты, оболочки и др.) под действием внешних сил или температуры. Изгиб связан с возникновением в поперечных сечениях бруса изгибающих моментов. Если из шести внутренних силовых факторов в сечении бруса отличным от нуля является только один изгибающий момент, изгиб называется чистым:

        

        Если в поперечных сечениях бруса кроме изгибающего  момента действует также поперечная сила – изгиб называется поперечным:

        

        В инженерной практике рассматривается также особый случай изгиба— продольный И. (рис. 1, в), характеризующийся выпучиванием стержня под действием продольных сжимающих сил. Одновременное действие сил, направленных по оси стержня и перпендикулярно к ней, вызывает продольно-поперечный изгиб (рис. 1, г).

        

        Рис. 1. Изгиб бруса: а  — чистый: б —  поперечный; в —  продольный; г —  продольно-поперечный.

        Брус, работающий на изгиб, называется балкой. Изгиб называется плоским, если ось балки после  деформации остается плоской линией. Плоскость расположения изогнутой  оси балки называется плоскостью изгиба. Плоскость действия нагрузочных  сил называется силовой плоскостью. Если силовая плоскость совпадает  с одной из главных плоскостей инерции поперечного сечения, изгиб  называется прямым. (В противном  случае имеет место косой изгиб). Главная плоскость инерции поперечного  сечения - это плоскость, образованная одной из главных осей поперечного  сечения с продольной осью бруса. При плоском прямом изгибе плоскость  изгиба и силовая плоскость совпадают.

        Задача о кручении и изгибе бруса (задача Сен-Венана) имеет большой практический интерес. Приложение теории  изгиба, установленной Навье, составляет обширный отдел строительной механики и имеет громадное практическое значение, так как оно служит основанием для расчета размеров и поверки прочности разнообразных частей сооружений: балок, мостов, элементов машин и пр. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

        ГЛАВА I

        ОСНОВНЫЕ  УРАВНЕНИЯ И ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 

        § 1. основные уравнения

     Вначале дадим общую сводку основных уравнений  для задач равновесия упругого тела, которые составляют содержание раздела теории упругости, называемого обычно статикой упругого тела.

     Деформированное состояние тела вполне определяется тензором поля деформации или полем перемещений Компоненты тензора деформации связаны с перемещениями дифференциальными зависимостями Коши :

                                                                            (1)     

        Компоненты тензора  деформации должны удовлетворять дифференциальным зависимостям Сен-Венана:

                                 (2)

 

        которые являются необходимыми и достаточными условиями интегрируемости уравнений (1).

        Напряженное состояние  тела определяется тензором поля напряжений Шесть независимых компонент симметричного тензора () должны удовлетворять трем дифференциальным уравнениям равновесия:

                                                                                   (3)                       

        Компоненты тензора  напряжений и перемещения связаны шестью уравнениями закона Гука:

                            (4)             

        где 

        некоторых случаях  уравнения закона Гука приходится использовать в виде формулы

                                 ,                      (5)

        где

        Уравнения (1)—(5) являются основными уравнениями статических задач теории упругости. Иногда уравнения (1) и (2) называют геометрическими уравнениями, уравнения (3) — статическими уравнениями, а уравнения (4) или (5) — физическими уравнениями. К основным уравнениям, определяющим состояние линейно-упругого тела в его внутренних точках объема , необходимо присоединить условия на его поверхности Эти условия называются граничными условиями. Они определяются либо заданными внешними поверхностными силами либо заданными перемещениями точек поверхности тела. В первом случае граничные условия выражаются равенством :

                                                                                (6)

        где — компоненты вектора t поверхностной силы, — компоненты единичного вектора п, направленного по внешней нормали к поверхности в рассматриваемой ее точке.

   Во  втором случае граничные условия  выражаются равенством

                                                                                (7)

        где — заданные на поверхности функции.

        Граничные условия  могут также иметь смешанный  характер, когда на одной части  поверхности тела заданы внешние поверхностные силы а на другой части поверхности тела заданы перемещения:

                                                                                       (8)

        Возможны и иного  рода граничные условия. Например, на некотором участке поверхности тела заданы только некоторые компоненту вектора перемещения и, кроме того, также не все компоненты вектора поверхностной силы. 

        § 2. основные задачи статики  упругого тела 

        В зависимости от вида граничных условий различают  три типа основных статических задач теории упругости.

        Основная задача первого типа состоит в определении компонент тензора поля напряжений внутри области , занятой телом, и компонент вектора перемещения точек внутри области и точек поверхности тела по заданным массовым силам и поверхностным силам

        Искомые девять функций  должны удовлетворять основным уравнениям (3) и (4), а также граничным условиям (6).

        Основная задача второго типа состоит в определении перемещений точек внутри области и компонент тензора поля напряжений по заданным массовым силам и по заданным перемещениям на поверхности тела.

        Искомые функции и должны удовлетворять основным уравнениям (3) и (4) и граничным условиям (7).

        Заметим, что граничные условия (7) отражают требование о непрерывности определяемых функций на границе тела, т. е. когда внутренняя точка стремится к некоторой точке поверхности , функция должна стремиться к заданному значению в данной точке поверхности.

        Основная задача третьего типа или смешанная задача состоит в том, что по заданным поверхностным силам на одной части поверхности тела и по заданным перемещениям на другой части поверхности тела а также, вообще говоря, по заданным массовым силам требуется определить компоненты тензора напряжений и перемещения , удовлетворяющие основным уравнениям (3) и (4) при выполнении смешанных граничных условий (8).

        Получив решение  данной задачи, можно определить, в частности, усилия связей на , которые должны быть приложены в точках поверхности , чтобы реализовать заданные перемещения на этой поверхности, а также можно вычислить перемещения точек поверхности . 

        § 3. прямая и обратная задачи теории упругости 

        Различают две постановки задач теории упругости: прямую и  обратную. Прямая задача состоит в решении одной из основных задач указанных трех типов (см. § 2), т. е. в определении девяти функций и определяющих напряженно-деформированное состояние тела в зависимости от внешнего воздействия на него.

        Решение прямой задачи часто сопряжено с большими математическими трудностями.

        Обратная задача состоит в том, что, задавшись либо перемещениями как непрерывными функциями либо компонентами тензора напряжений, т. е. шестью функциями определяют из основных уравнений (1)—(4) и соответствующих граничных условий все остальные функции, а также внешние силы, осуществляющие заданные перемещения или заданные функции

        Решение обратной задачи значительно проще, чем решение прямой задачи. Особенно просто решается обратная задача, если задаться перемещениями . При заданных непрерывных функциях дифференциальные зависимости Сен—Венана тождественно удовлетворяются и, следовательно, в этом случае они не используются. Решение этой обратной задачи выполняется в следующем порядке: на основании формулы закона Гука (4) определяются компоненты тензора напряжений , соответствующие принятым функциям а из уравнений равновесия (3) и граничных условий (6) определяются внешние силы, при которых осуществляются заданные перемещения.

        Если задаваться компонентами тензора напряжений , то решение обратной задачи будет несколько сложнее. В этом случае перемещения находятся интегрированием уравнений (1), что возможно, если компоненты тензора деформации , которые определяются формулой (5) закона Гука по принятым функциям ,, будут удовлетворять дифференциальным зависимостям Сен-Венана (2). Следовательно, компонентами тензора напряжений , надо задаваться так, чтобы выполнялись условия совместности (2). Это обстоятельство и осложняет решение данной обратной задачи. Но решение и этой обратной задачи для односвязной области проще, чем решение прямой задачи. 

        § 4. полуобратный метод  сен-венана 

        Решение прямой задачи как в перемещениях, так и в напряжениях требует интегрирования довольно сложной системы дифференциальных уравнений в частных производных и, как правило, сопряжено со значительными математическими трудностями. Поэтому при решении прямой задачи часто используют приближенные методы, например метод сеток, прямые методы вариационных задач (методы Ритца, Бубнова—Галеркина, Канторовича и др.), а также получивший за последнее время широкое применение метод конечных элементов. В некоторых же случаях решение можно эффективно получить с помощью так называемого полуобратного метода Сен-Венана.

        Сущность полуобратного  метода Сен-Венана состоит в том, что при решении конкретной задачи, например, в напряжениях задаются из соображений физического характера задачи некоторыми компонентами тензора напряжений и затем определяют остальные компоненты ,,из уравнений равновесия (3) при выполнении условий совместности Бельтрами—Мичелла:

                                     (9)

или (когда массовые силы постоянны или в частности равны 0)

                                                                       (10)                       

        и граничных условий (6).

        Может случиться, что  сделанные предположения о значениях  некоторых компонент тензора напряжений будут противоречить или уравнениям равновесия, или граничным условиям, или условиям совместности Бельтрами—Мичелла. В этих случаях следует сделать иные предположения о значениях части компонент , исходя, например, из известных решений аналогичных задач. В этом смысле полуобратный метод Сен-Венана не является совершенным. Однако когда сделанные предположения о значениях некоторых компонент тензора напряжений или для некоторых компонент вектора перемещения, если задача решается в перемещениях, не противоречат всем основным уравнениям граничной задачи, то полученное решение полуобратным методом является точным и на основании теоремы о единственности однозначным.

        Сен-Венан в 1855 применил полуобратный метод при решении задачи об упругом равновесии призматического бруса произвольного поперечного сечения, находящегося под действием поверхностной нагрузки на его торцах. Эта задача, представляющая большой практический интерес (кручение и изгиб призматического бруса), называется задачей Сен - Венана.