«Нумерацiо есть счисление еже совершенно всz числа речию именовати, яже в десzту знаменованияхъ, или изwбражениz содержатсz, и изwбражаютсz сице: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, из нихже девzть назнаменователны суть, послёднее же 0 (еже цыфрою или ничемъ именуетсz) егда uбо (оно) едино стоитъ, тогда само w себе ничтоже значитъ». 

    Обратим внимание,  что буквы в старинном тексте еще сильно отличаются от современных, а цифры – те же, что и в ваших учебниках. Но, конечно же, они не сразу стали такими. Вот как они выглядели в Индии в 200 году:  
 

    Тогда не было еще нуля и позиционной  записи чисел, но со временем написание  цифр совершенствовалось, причем по–разному и в разных местностях Индии. Появился нуль – и возникла позиционная  система записи чисел. Арабы выбрали  из этих различных видов цифр наиболее удачные. От них цифры продолжили свой путь по земле. Вот в каком  виде они публикуются у римского писателя Боэтия (600 год): 
 

    В 1350 году в сочинениях греческого монаха Максима Плануда мы видим их такими: 
 

    В 1480 году в книге «Зеркало вселенной» англичанина Какстона они изображаются следующим образом: 
 

    И лишь в 1522 году в книге итальянца  Тонсталля приобретают более–менее современный вид: 

    Любопытно, что в самой Индии цифры  тоже видоизменялись и к началу ХХ века стали выглядеть так: 

    Хотя  в XVI веке в Европе уже было развито книгопечатание, цифры в книгах того времени, как мы видим, очень похожи на рукописные. Многие художники работали над созданием разнообразных типографских шрифтов – формой букв и цифр, стараясь придать им красивый вид (при этом каждый знак должен был достаточно сильно отличаться от другого). Вот один из цифровых шрифтов: 

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 

    Но  история цифр на этом не кончается. Недавно в ряде стран стали  использовать следующую запись: 

    5 6 7 8 9  

    Чем эти цифры лучше обычных? А тем, что у четных цифр «хвостики» идут вверх, а у нечетных – вниз. Теперь уже труднее спутать, скажем, цифры 2 и 5. Правда,  это нововведение широко не привилось, но приведенное ниже начертание цифр знакомо каждому из нас: 
 

    Подобные  цифры мы видим на микрокалькуляторах и ручных электронных часах. С  помощью набора семи отрезков удается  изобразить каждую из десяти цифр.

    Еще одно изображение цифр, связанное  с потребностями техники, мы находим  на обороте почтового конверта: 
 

    Здесь в написании цифры участвуют  уже девять отрезков. Эти цифры  предназначены для электронной  машины, сортирующей корреспонденцию. Жирные черточки над индексом на конверте нужны для того, чтобы машина смогла точно настроиться на написанный нами индекс: 

    Если  мы заговорили об электронных машинах, отметим, что хотя они получают числа  в десятичной записи и в том  же виде выдают нам результаты вычислений, но для «внутренних нужд» пользуются двоичной системой счисления. На перфоленте, используемой в ЭВМ для  хранения информации, первые девять цифр выглядят так: 
 

    Цифре 0 соответствует пробел. Маленькие  пробитые точки посредине перфоленты служат для ее перемещения и фиксации.

    Двоичная система счисления, как и десятичная, является позиционной системой: значение величины числа зависит от входящих цифр и их мест в написании числа. И если в десятичной системе десять единиц предыдущего разряда составляют единицу следующего разряда, то в двоичной системе единицу следующего разряда составляют две единицы предыдущего. Поэтому для записи чисел в двоичной системе достаточно всего двух цифр – 0 и 1:  

    1=12, 2=102, 3=112,

    4=1002, 5=1012, 6=1102,… 

    (Маленькая  цифра 2 около числа означает, что запись произведена в двоичной системе счисления.)

    Сравнив эти записи с перфолентой, мы увидим, что пробой на перфоленте соответствует цифре 1, а его отсутствие – цифре 0.

    Машина  читает запись на перфоленте с помощью  фотоэлементов: они отмечают пробитые отверстия,  регистрируя свет, проникающий  через отверстия, а в непробитых участках лента загораживает фотоэлемент от источника света.

    Похожий принцип заложен и в основу так называемого полосного кода.

    Мы часто видим полосатый прямоугольник, встречающийся на разнообразных товарах: 
 

    Что означают эти полоски? Оказывается, с их помощью записано расположенное  внизу число – код товара. Компьютер, находящийся в кассовом аппарате, с помощью фотоэлементов считывает  код. Для этого било проводят табличку с кодом в специальном месте  кассового аппарата, либо по коду проводят «считывающим карандашом», соединенным  с кассовым аппаратом. Таким образом, компьютер получает информацию о  продаваемом товаре. В соответствии с ней он выдает из своей памяти цену, а сам запоминает, что данный экземпляр куплен. В результате всегда известно, сколько какого товара куплено  и на какую сумму, какой товар  нужно еще доставить в торговый зал.

    Но  как устроен полосатый код?

    С помощью полосок можно записывать число так, как на перфоленте: тонкая черная полоска – 0. Но представлять число можно по–разному. Можно просто записать его в двоичной системе счисления (например, число 5 762 752 950 запишется в двоичной системе так: 110101110111010010001101102).

    А можно каждую цифру числа записать в двоичной системе – тогда  на одну цифру будет достаточно четырёх  полосок, а затем представить  число набором получившихся полосок. 

    В таблице, приведённой чуть ниже, каждая цифра записывается так же отдельно, но не в двоичной системе, а по–другому. Каждой цифре соответствует семь значков 0 и 1. Код состоит из двух частей – левой и правой, –  и цифры в левой и правой частях записываются в соответствии со следующей таблицей: 
 

 
 

    Посмотрим сначала на левую часть таблицы. Запись каждого числа начинается с 0 и заканчивается 1. Эти знаки  не характеризуют числа, а служат для отделения одного числа от другого. На само число приходится пять знаков, и они выбраны так, чтобы любые два числа различались не менее чем в двух местах. Запись чисел в правой части таблицы симметрична записи слева, а именно: вместо цифры 0 на соответствующем месте стоит цифра 1, а вместо 1 стоит 0.

    На  рисунке каждой цифре соответствует  описанная комбинация из семи полосок, расположенная над ней. Все что  мы говорили, относится к коротким полоскам. Первые три длинные полоски, средние и последние полоски (им соответствует набор 101) являются указателями  начала, середины и конца шифра. Длинные  полоски, следующие за тремя первыми, соответствуют цифре, расположенной  сбоку слева, например цифре 0. Аналогично длинные полоски перед последними тремя полосками соответствуют  цифре, расположенной сбоку справа, например цифре 6.

    Эти боковые числа служат для защиты считывания от ошибок. Их значения таковы, чтобы утроенная сумма чисел, стоящих на четных местах, сложенная  вместе с суммой  чисел, стоящих  на нечетных местах, делилась на 10. Суммирование производится слева направо: считается, что цифра, стоящая сбоку слева, находится на нулевой (значит, четном) месте. В нашем случае 3(0+7+2+5+9+0)+(5+6+7+2+5+6)=100.

    Если  компьютер неправильно прочтет  одну из цифр, то сразу обнаружит  ошибку. Он не сможет обнаружить ошибку лишь в том случае, если прочтет, по крайней мере, две цифры ошибочно, причем так, чтобы ошибки «скомпенсировались» и полученная сумма снова делилась на десять. Но вероятность этого чрезвычайно мала.

    Такая защищенность от ошибок очень важна, иначе за батон хлеба компьютер мог бы потребовать от покупателя стоимость, скажем, большой коробки шоколадных конфет.

    Защита  от ошибок заложена и в стандартной  форме написания почтового индекса. Любые две цифры отличаются не меньше, чем в пяти местах.

    Надо  сказать, что программисты ЭВМ в  последнее время пишут ноль вот  так:

     О

    Дело  в том, что в программе ЭВМ  буквы и цифры могут произвольно  перемежаться. Чтобы отличить нуль от буквы О, была введена эта запись. Так сняты возможные ошибки при использовании латинского шрифта. А при использовании русского шрифта возникает возможность спутать букву З с цифрой 3, а букву Ч с цифрой 4. Может быть, и эти цифры будут изменяться? Посмотрим. Время покажет.

Рисские, арабские и другие

    Выше  мы говорили о записи чисел цифрами, вернее, об истории самих цифр, которые принято называть арабскими. Но часто мы пользуемся и другими цифрами. Записи «ХХ век», «Глава IV» не ставят нас в затруднительное положение. Здесь числа представлены римскими цифрами. Почему же до сих пор мы пользуемся этой системой записи чисел? Наверное, потому, что с ее помощью можно отделять одни числа от других. Так, запись 25.XI.1990 сразу говорит о том, что это – дата: 25 ноября 1990 года.

    Итак, римские цифры. Что они означают?

    I – Один

    V – Пять

    X – Десять

    L – Пятьдесят

    C – Сто

    D – Пятьсот

    M – Тысяча

    Поэтому, увидев на фронтоне старого особняка запись MDCCLXXXIX, мы без труда прочтем дату его постройки – 1789 год.

         Следует отметить, что существует  и второй способ записи чисел  римскими цифрами, при котором меньшая цифра не ставится впереди большей, и поэтому число 4 записывается как IIII, число 9 как VIIII, а число 99 как LXXXXVIIII.

    Но  как быть с очень большими числами  в десятки и сотни тысяч? Например, как записать число 275748? Римляне  поступали просто: CCLXXVmDCCXLVIII.

    Буква m показывает, что число, стоящее впереди нее, выражает количество тысяч в данном числе. Но вернемся к арабским цифрам. Как уже говорилось, арабы, заимствовав индийскую десятичную систему счисления с ее цифрами, несколько изменили сами цифры. Дальнейшее изменение цифр происходило в Европы. В результате цифры стали не похожими на те, которыми пользовались индусы. Но самое интересное в том, что цифры, которыми пользуются арабы сейчас, также не похожи на «международные» арабские цифры. Сравним с записью арабских чисел. Разница велика.

    1  2   3   4   5  6   7  8   9  0 

    Помимо  «международной», собственную систему  записи чисел используют не только арабы. Так, в Китае издавна существовала система записи чисел с помощью  иероглифов. 

    Числа традиционно записывались вертикально, сверху вниз. При этом числа 20, 30, 40, …  записывались столбиком из двух символов. Нижний символ означал, что речь идет о десятках, а верхний указывал их число. Такие числа, как 47, записывались столбиком из трех символов:  к  числу 40 снизу добавлялся иероглиф, обозначающий цифру 7. Аналогичная система  использовалась для обозначения  сотен, тысяч и т.д. Вот, например, как выглядит число 503 в этой записи: