История развития комплексных чисел

              Сопряжённые комплексные  числа изображаются парой точек,  симметричных относительно оси абсцисс; так, точки С и С’ на фиг. 3 изображают сопряжённые числа –6 – 2i и - 6 + 2i.

              Комплексные можно  изображать также отрезками, начинающимися в точке О и оканчивающимися в соответствующей точке числовой плоскости. Так, комплексное число  -2 + 6i можно изобразить не только точкой В (фиг. 4), но также вектором ОВ; комплексное число –6 – 2i изображается вектором ОС и т. д.

              З а м е ч а н и е. Давая какому – либо отрезку наименование “вектор”, мы подчёркиваем, что существенное значение имеет не только длина, но и направление отрезка.

                           8. Модуль и аргумент комплексного  числа.

              Длина вектора, изображающего  комплексное число, называется модулем этого комплексного числа. Модуль всякого комплексного числа, не равного нулю, есть положительное число. Модуль комплексного числа a + bi обозначается | a + bi |, а также буквой r. Из чертежа видно, что

                                               r = | a + bi | = a² + b²           

              Модуль действительного  числа совпадает с его абсолютным значением. Сопряжённые комплексные числа a + bi u a – bi имеют один и тот же модуль.

                             9. Геометрический смысл сложения  и вычитания 

                                                         комплексных чисел.

              Пусть векторы ОМ  и ОМ’ (фиг. 4) изображают комплексные числа z= x + yi u z’ = x’ + y’i. Из точки М проведем вектор МК, равный OM’. Тогда вектор ОК изображает сумму данных комплексных чисел.

              Построенный указанным образом вектор ОК называется геометрической суммой векторов ОМ и ОМ’.

              Итак, сумма двух комплексных чисел представляется суммой векторов, изображающих отдельные слагаемые.

               Длина стороны ОК треугольника ОМК меньше суммы и больше разницы длин ОМ и МК. Поэтому

                      ||z| - |z’|| < |z + z’| < |z| + |z’|.

              Равенствоимеет смысл  только в тех случаях, когда  векторы ОМ и ОМ’ имеют одинаковые (фиг.5) или противоположные (фиг.6) направления. В первом случае |OM| + |OM’| = |OK|, т. е. |z +z’|=|z| +     + |z’|. Во втором случае |z + z’|=||z| - |z’||.

                            10. Тригонометрическая форма комплексного  числа.                                              

              Абсцисса а и ордината  b комплексного числа a + bi выражаются через модуль  r  и агрумент  q. Формулами

                                a = r cos q;                  b = r sin q.

              Поэтому всякое комплексное комплексное число можно представить в виде r(cos q + i sin q), где r > 0.

              Это выражение называется  нормальной тригонометрической формой или, короче, тригонометрической формой комплексного числа.                            

                                 Материал иснользовался из книги

               М. Я. Выгодский;  Справочник по элементарной математике: -

• Государственное издательство физико–математической литературы; Москва; 1960