Исследование элементарных функций

    b) наклонных асимптот нет  

10. Графиком  функции является тангенсоида:                                                                                                                             

                                       

                                 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                         Функция y=ctg x 

            Свойства функции y=ctg x: 

1. Область определения  функции: D(f)=R , кроме чисел вида x = πn , где n Z;
2. Область значений: E(f)=R;
3. Функция является нечетной, т.е. ctg (-x) = - ctg x;
4. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом π;
5. Нули функции: ctg x = 0 при x = +πn, n Z;
6. Функция принимает положительные значения: ctg x>0 при x ( πn; +πn), n Z; 
7. Функция принимает отрицательные значения: ctg x<0 при x ( +πn;π +πn), n Z;
8. Функция убывает в каждом из промежутков (πn ;π +πn), n Z;
9. a) вертикальные асимптоты   x= πn и x=0

 

     b) наклонных асимптот нет

 

10. Графиком функции является котангенсоида:   y= ctgx

                                    
 

Обратно тригонометрические функции.

 

Функция  y=arcsin x 

        

Свойства функции y=arcsin x: 

1. Область определения  функции: D(f)=[-1;1];
2. Область значений: E(f)=[- ; ];
3. Функция является нечетной, т.е. arcsin (-x) = - arcsin x;
4. Нули функции: arcsin x = 0 при x = 0;
5. Функция возрастает на [-1;1];
6. Функция принимает наибольшее значение при x=1;
7.    Функция принимает наименьшее значение при x= -1;
8. a) вертикальных асимптот нет

            b) наклонных асимптот нет

9. График функции y = arcsin x:

 

            

                

Функция  y=arccos x 

        

      Свойства функции y=arccos x: 

1. Область определения  функции: D(f)=(-1;1);
2. Область значений: E(f)=[0; π];
3. Функция не является ни четной, ни нечетной;
4. Нули функции: arccos x = 0 при x = 1;
5. Функция убывает на (-1;1);
6. Функция принимает наибольшее значение π при x =-1;
7. Функция принимает наименьшее значение 0 при x= 1;
8. a)  вертикальные асимптоты x=-1 и x=1

     b)наклонных асимптот нет

 

9. График функции y = arccos x:  

             

                 
 
 
 
 
 

Функция y=arctg x 

        

Свойства функции y=arctg x: 

1. Область определения  функции: D(f)=R;
2. Область значений: E(f)= (- ; );
3. Функция является нечетной, т.е. arctg (- x) = - arctg x;
4. Нули функции: arctg x = 0 при x = 0;
5. Функция возрастает на R;
6. a) нет вертикальных асимптот

2. наклонные асимптоты y= + πn

7. График функции y = arctg x:               

                                                                                                                                                 
 
 
 

Функция y=arcctg x 

        

      Свойства функции y=arcctg x: 

1. Область определения  функции: D(f)=R;
2. Область значений: E(f)= (0; π );
3. Функция не является ни четной, ни нечетной;
4. Нули функции: arctg x = 0 при x = ;
5. a) нет вертикальных асимптот

         

      b) наклонные асимптоты y= πn 

6.Функция убывает  на R;

7.График функции  y = arcctg x: 
 
 
 

                                       
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                                      

                                                          

                                             
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Литература: 

• Э.С. Маркович «Курс высшей математики»
• А.Г. Цыпкин «Справочник по математике»
• М.М. Потапов, В.В. Александров, П.И. Пасиченко «Алгебра и анализ элементарных функций»