• Линейная  функция y=kx+b;
• Степенная функция y=xⁿ;
• Квадратичная функция;
• Показательная функция (0 <a 1);
• Логарифмическая функция x (0 < a 1);
• Тригонометрические функции: sin x, cos x, tg x, ctg x;
• Обратные тригонометрические функции:  arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x.

Линейная  функция.

y = kx + b 
 

1.    Областью определения линейной функции служит  множество R всех    действительных чисел, так как выражение kx+b имеет смысл при любых значениях x

2.    Множеством значений линейной функции при k¹0 является множество R всех действительных чисел

3.     Функция не является ни четной, ни нечетной, так как f (-x) = -kx + b .

4.     Функция не является периодической, за исключением частного случая, когда функция имеет вид y=b.

5.     Асимптоты графика функции  не существуют.

6.     Функция возрастает при k>0, функция убывает при k<0.

7.     Функция не является ограниченной.

8.    График линейной функции y=kx+b – прямая линия. Для построения этого графика, очевидно,  достаточно двух точек, например A(0; b) и B(-b/k; 0), если k¹0. График линейной функции y=kx+b может быть также построен с помощью параллельного переноса графика функции y=kx.   Коэффициент k характеризует угол, который образует прямая   y=kx и положительное направление оси Ox, поэтому k называется угловым коэффициентом. Если k>0, то этот угол острый, если k<0 – тупой; а при k=0 прямая параллельна оси Ox. 

9.    Точек перегиба не существует.

10.   Не существует экстремальных точек. 
 

                                                                                                 

          y=kx+b (k<0)                                                                    y=kx+b (k>0) 
 
 
 
 
 
 
 

Степенная функция.

 

Степенная функция с натуральным показателем  y=xⁿ,

где n-натуральное число.

1.   Область определения функции: D(f)= R;

2.   Область значений: E(f)= (0;+∞);

3.   Функция является четной, т.е. f(-x)=f(x);

4.   Нули функции: y=0 при x=0;

5.   Функция убывает при x (-∞;0];

6.   Функция возрастает при x [0;+ ∞);

7. a) нет вертикальных асимптот

          b) нет наклонных асимптот

     

8.    Если  n-четное, то экстремум функции x=0

       Если n-нечетное, то экстремумов функции нет       
 

9.    Если n-четное, то точек перегиба нет

       Если n-нечетное, то точка перегиба x=0

10.   График функции:

  

a)  Если n=2,  то графиком функции является квадратная парабола;

b)Если   п = 3,   то функция задана формулой у = х³. Ее графиком является кубическая     парабола;

c)Если п — нечетное натуральное   число,причем п 1, то функция обладает свойствами теми же, что и у = х³. 
 
 

              [2]     

                     

                                             

Рассмотрим  свойства степенной функции с нечетным показателем (п 1): 

1. Область определения функции: D(f)= R;

2. Область значений [0,+∞];

3. Функция   является четной, т.е. f(-х)=f(х);

4. Нули     функции:у = 0 при х = 0;

5. Функция убывает на промежутке (-∞;0), возрастает на промежутке (0;+∞).

6. График функции:[1]

 

Рассмотрим  свойства степенной функции с четным показателем : 

1. Область определения функции: D(f)= R;

2. Область значений: E(f)= R;

3. Функция   является нечетной, т.е. f(-х)=-f(х);

4. Нули     функции:у = 0 при х = 0;

5. Функция возрастает на всей области определения.

6. График функции:[2] 

Показательная функция.

 

Y = a^x 
 

1. Область определения функции: -∞ < х < +∞
2. Множество значений функции: 0 < y < +∞
3. Функция ни четная, ни не чётная, так как f(-x) = a^-x
4. Функция не является периодической.
5. Асимптоты графика функции:

Вертикальных  асимптот не существует,

Горизонтальная  асимптота у = 0

6. Если а > 1, то функция возрастает на промежутке -∞ < x < +∞ (на рис.1);
7. если 0 < a < 1, то функция убывает на промежутке -∞ < x < +∞ (на рис. 2);
8. Точка (0; 1) – единственная точка пересечения с осями координат.

9. Не существует точек перегиба.

10. Не существует экстремальных точек. 
 
 

[2] 
 
 

[1] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Логарифмическая функция. 
 

Y = log_ax

1. Область определения функции: 0 < x < ∞
2. Множество значений функции: -∞ < y < +∞
3. Функция ни четная, ни нечетная, так как f(-x) = log_a(-x)
4. Функция не периодическая
5. Асимптоты графика функции:

                                 Вертикальные асимптоты х = 0

      Горизонтальных  асимптот не существует

6. Если a > 1, то функция возрастает на промежутке 0 < x < +∞ (на рис.1);   

     если 0 < a < 1, то функция убывает на этом же промежутке (на рис.2);

7. Точка (1; 0) – единственная точка пересечения с осями      

             координат.

      8.Не существует точек перегиба.

                          9.Не существует экстремальных точек. 

[2]

 
 
 
 
 

[1] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Тригонометрические функции. 

Функция y=sin x 

 
       Свойства функции y=sin x: 

1. Область определения  функции: D(f)=R;
2. Область значений: E(f)=[-1;1];
3. Функция является нечетной, т.е. sin(-x) = - sin x;
4. Функция периодическая с положительным наименьшим периодом 2π;
5. Нули функции: sin x = 0 при x = πk, k Z;
6. Функция принимает положительные значения: sin x>0 при x ( 2πk;π+2πk), k Z;
7. Функция принимает отрицательные значения: sin x<0 при x ( π+2πk;2π+2πk), k Z;
8. Функция возрастает на [-1;1] при x [ - +2πk; +2πk], k Z;
9. Функция убывает на [1;-1] при x [ +2πk; +2πk], k Z;

 

10. Функция принимает наибольшее значение, равное 1, в точках  x= +2πk, k Z;
11. Функция принимает наименьшее значение, равное -1, в точках  x= +2πk, k Z;
12.      a) нет вертикальных асимптот

      b) нет горизонтальных асимптот

   

13. Графиком функции  является синусоида. 
 

   
 
 
 
 
 
 
 

Функция y=cos x 
 

            Свойства функции y=cos x: 

1. Область определения функции: D(f)=R;
2. Область значений: E(f)=[-1;1];
3. Функция является четной, т.е. cos (-x) = cos x;
4. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2π;
5. Нули функции: cos x = 0 при x = +πk, k Z;
6. Функция принимает положительные значения: cos x>0 при x ( - +2πk; +2πk), k Z; 
7. Функция принимает отрицательные значения: cos x<0 при x ( +2πk; +2πk), k Z;
8. Функция возрастает на [-1;1] при x [ -π+2πk;2πk], k Z;
9. Функция убывает на [1;-1] при x [2πk;π+2πk], k Z;
10. Функция принимает наибольшее значение, равное 1, в точках  x=2πk, k Z;
11. Функция принимает наименьшее значение, равное -1, в точках  x=π+2πk, k Z; 
12. a) нет вертикальных асимптот

    

b) нет горизонтальных асимптот

 

13. Графиком функции является косинусоида:                                                                                                                             

                                                                       

             

             
 
 
 
 
 

Функция y=tg x 

            Свойства функции y=tg x: 

1. Область определения  функции: D(f)=R , кроме чисел вида x = +πk, k Z;
2. Область значений: E(f)=R;
3. Функция является нечетной, т.е. tg (-x) = - tg x;
4. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом π;
5. Нули функции: tg x = 0 при x = πk, k Z;
6. Функция принимает положительные значения: tg x>0 при x ( πk; +πk), k Z; 
7. Функция принимает отрицательные значения: tg x<0 при x ( - +πk;πk), k Z;
8. Функция возрастает на (- ;+∞) при x (- +πk ; +πk ), k Z;
9. a) вертикальные асимптоты   x= + πn