Использование асимптотических методов для решения уравнений

3.АССИМПТОТИЧЕСКИЕ  РЯДЫ.

     Часто бывает так, что для функции при имеется бесконечная последовательность - оценок, причем каждая следующая оценка как бы совершенствует предыдущую. Особенно часто встречаются последовательности вида: имеется последовательность функций удовлетворяющим условиям

     (3.3.1)

     и последовательность постоянных таких, что для имеет место последовательность O – оценок 

     Очевидно, что вторая формула усовершенствует  первую, поскольку 

     Аналогично  третья формула усовершенствует  вторую и т.д.

     Чтобы записать все множество формул (3..3.2) одной формулой, воспользуемся обозначением: 

     Правая  часть выражения (3.3.3) – асимптотический ряд для или асимптотическое разложение функции .

     Нетрудно  убедиться, что при данных и величины определяются единственным образом, если асимптотическое разложение по существует. В самом деле, допустим, что справедливо соотношение (3..3.3) и что имеется ругой асимптотический ряд 

     Обозначив через k наименьшее из чисел n, для которых , после вычитания получим  

     Разделив  на , получим что противоречит условию

     Если  все коэффициенты в формулах (3.3.2) равны нулю. Тогда пишем 

     Это значит, что  для всех n (но не обязательно равномерно по n).

     Например, поскольку  при всех n, то можно написать 

     Ряд вида (3.3.3) не обязательно сходится. Причина в том, что сходимость является некоторым свойством ряда при фиксированном , в то время как - оценки (3.3.2) относятся не к фиксированному , а к . Сходимость ряда (3.3.3) , скажем, что для всех x>0, означает, что для каждого фиксированного x ряд обладает некоторым свойством при С другой стороны, утверждение, что ряд является асимптотическим разложением функции , означает, что этот ряд обладает тем же свойством при фиксированном и при .

     Более того, даже если асимптотический ряд  сходится, его сумма не обязана  быть равной ; формула (3.3.4) дает пример. Можно подобрать функции таким образом, чтобы ряд (3.3.3) сходился при всех и в то же время не являлся бы асимптотическим рядом своей суммы.

     Простейшим  примером расходящегося асимптотического ряда является следующий. Рассмотрим функцию  , определенную формулой 

     (с  точностью до постоянного слагаемого  эта функция совпадает с интегральной  экспонентой Ei x). Интегрируя по частям, получаем 

     Первый  член в правой части равен , а второй – более высокого порядка малости. Разбивая интеграл на два слагаемых, получаем 
 

     Так как – , и равны, то , то  

     Дальнейшее  усовершенствование оценки мы получаем, повторяя ту же операцию. Интегрируя по частям интеграл в равенстве (3.3.6), находим 

     и вообще (n=1,2,3 …): 

     Последний интеграл равен  при и при фиксированном n. Это можно доказать разбивая промежуток на две части, а именно (1,) и (, x). При каждом n имеем 

     следует, что  

     Ряд в правой части не сходится ни при  одном значении

     Простым, хотя и тривиальным, классом асимптотических  рядов является класс, сходящийся степенных рядов. Пусть  

     Причем  , где - любое положительное число, меньше радиуса сходимости. Тогда 

     Доказательство.

     Из  сходимости ряда при  следует ограниченность его общего члена, т.е. при всех . При любом и при имеем  

     откуда  

     Это доказывает утверждение.

4. ЭЛЕМЕТАРНЫЕ ДЕЙСТВИЯ С АССИМПТОТИЧЕСКИМИ РЯДАМИ

4.1. Сложение и умножение  формальных степенных  рядов.

     Определение: ряд   является степенным рядом (по степеням ) и не зависимо от его сходимости называется формальным степенным рядом.

     Если  для таких формальных степенных  рядов определить единственным образом  сложение и умножение, то множество  всех формальных степенных рядов станет коммутативным кольцом, единицей которого будет ряд (обозначим ряд за I). Для рядов и (обозначим ряды за А и В соответственно) определим сумму и произведение равенствами 
 

     Если  , то существует единственный ряд С, такой, что АС=I. Его коэффициенты определяются последовательно из уравнений 

     Предположив, что , можно определить формальный степенной ряд, получающийся в результате подстановки ряда В в ряд А (обозначим через ). Для определения его предположим, что – коэффициент при в ряде Видно, что …

     Полагая , запишем

     ……

     Положим, что

     ……

     Ряд получается подстановкой ряда в ряд вместо и приведением подобных членов.

§4.2. Дифференцирование формальных рядов.

     Производную ряда определим формулой 

     при помощи формального почленного дифференцирования.

     Известно, что если А и В – степенные ряды с отличным от нуля радиусом ходимости , то все эти формальные действия в точности соответствуют тем же действиям над суммами этих рядов.

     Например, если = С, то ряд С имеет отличный от нуля радиус сходимости, и внутри круга этого радиуса .

     Говоря  о асимптотических рядах вместо сходящихся степенных рядов, то имеем  совершенно аналогичное положение, за исключением того, что вопрос о дифференцировании требует  особой осторожности.

     Пусть – функции, определенные в окрестности x=0 и имеющие разложения  

       обозначает функцию, обозначает формальный ряд

      . Т.к коэффициенты ряда определяются по функции ряда единственным образом, то имеет асимптотическое разложение.

     Нетрудно  убедиться, что  
 

     Если  , то 

       по – прежнему решение уравнения Далее, если , то сложная функция определена для всех достаточно малых значений и 

     Формула (4.2.1) очевидна. Докажем (4.2.2).

     Пусть, имеем для любого n 
 

     и, следовательно 

     Но,  

     является  линейной комбинацией ,, … , и поэтому равно при . Отсюда 

     что и требовалось доказать.

     Аналогичные доказательства можно дать для утверждений (4.2.3) и (4.2.4), причем соотношение (4.2.3) можно  рассматривать как частный случай соотношения (4.2.4), так как где   а

     Предположим теперь, что 

     и что интеграл существует для достаточно малых значений x. Тогда законно почленное интегрирование  

     Доказательство. Для любого n существуют такие постоянные А и , что  

     откуда при получаем 

     соотношение (4.2.5) доказано.

     При рассмотрении дифференцирования имеем  иное положение.

     Если  имеет асимптотическое разложение  то производная не обязательно существует, а если и существует, то может не иметь асимптотического разложения. Например, функция имеет асимптотический ряд

      

     а ее производная  

     не  имеет подобного асимптотического разложения.

     Однако  почленное дифференцирование асимптотических  рядов все же является законным, если удается показать, что производная  тоже имеет асимптотическое разложение (в виде формального степенного ряда). Действительно, пусть 
 

     Докажем, что Рассматривая при функцию 

     получаем  

     Из  теоремы о среднем следует, что произвольно, значит 

     Теперь  формула сразу получается, так как коэффициенты асимптотического ряда определяются единственным образом. 
 
 
 
 
 

5.АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ.

§5.1. Квадратные уравнения.

     Проанализируем  квадратные уравнения и рассмотрим примеры, сравнивая полученные разложения с точными решениями.

     Пример 1.

     Найдем  корни уравнения  

     При малом . В случае имеем уравнение 

     с корнями и Уравнение (5.1.1) называется возмущенным уравнением, а (5.1.2) – невозмущенным или невырожденным уравнением. При малом, но конечном естественно ожидать, что корни уравнения (5.1.1) будут лишь немного отличаться от значений 1 и 2.

     Первый  шаг при нахождении приближенного  решения заключается в выборе формы разложения. Предположим, что искомые корни можно представить в виде  

     где многоточие заменяет слагаемыми со степенями , для которых показатель степени

     Второй  шаг заключается в подстановке  выбранного разложения (5.1.3) в исходное уравнение (5.1.1), что даёт 
 

     Третий  шаг – выполнение элементарных операций типа сложения, вычитания, умножения, возведения в степень и т.д. и, наконец, группировку коэффициентов при одинаковых степенях .Используя для разложения первого члена биноминальную формулу, получаем 
 
 

     здесь в соответствии с выбранной формой разложения (5.1.3) сохранены лишь члены порядка Если искать разложение с точностью до членов порядка где , то в выражении (5.1.5) следовало бы сохранить члены того же порядка. Выполнив умножение во втором члене в (5.1.4), находим 
 

     Здесь так же в соответствии с выбранной  формой исходного разложения сохранены лишь члены порядка Подставляя (5.1.5) и (5.1.6) в (5.1.4), имеем 
 

     Собирая коэффициенты при одинаковых степенях  
 

     Четвертый шаг состоит в приравнивании к нулю коэффициентов при последовательных степенях Для оправдания этого шага устремим к нулю в выражение (5.1.7). В результате получим уравнение  

     а (5.1.7) примет вид 

     Разделив  на  приходим к равенству 
 

     которое при  дает  

     При этом (5.9) переходит в равенство 

     после деления на  

     Устремив в (5.11) к нулю, получаем  

     Соотношения (5.1.8), (5.1.10) и (5.1.12) можно получить непосредственно из формулы (5.1.7), приравнивая нулю коэффициенты при последовательных степенях

     Пятый шаг состоит в последовательном решении упрощенных уравнений (5.1.8), (5.1.10), и (5.1.12).  Уравнение (5.1.8) совпадает с вырожденным уравнением (5.1.2), и, следовательно, его решениями будут  

     Зная  из уравнения (5.1.10) найдем   (5.1.10) линейно относительно . В большинстве задач уравнения каждого приближения оказываются линейными, за исключением, быть может, первого. В случае уравнение (5.1.10) дает 

     Зная  и , можно разрешить уравнение (5.1.12) относительно .

     При из уравнения (5.1.12) получаем