Геометрические и физические приложения двойных, тройных, криволинейных и поверхностных интегралов

Аналогично  вычисляется момент инерции пластины относительно оси Oy :

Полярный  момент инерции пластины равен

Заряд пластины

Предположим, что электрический заряд распределен  по области R в плоскости Oxy и его плотность распределения задана функцией . Тогда полный заряд пластины Q определяется выражением

Среднее значение функции 

Приведем  также формулу дял расчета  среднего значения некоторой распределенной величины. Пусть f (x,y) является непрерывной функцией в замкнутой области R в плоскости Oxy. Среднее значение функции μ функции f (x,y) в области R определяется формулой

где − площадь области интегрирования R.

Пример 

Вычислить моменты инерции треугольника, ограниченного  прямыми  (рисунок 2) и имеющего плотность .

 
Решение.

Найдем  момент инерции пластины относительно оси Ox.      

 

Аналогично  вычислим момент инерции относительно оси Oy.      

   

2.2 Физические приложения  тройных интегралов 

Масса и статические  моменты тела

Пусть тело занимает объем U и его объемная плотность в точке M(x,y,z) задана функцией ρ(x,y,z). Тогда масса тела m вычисляется с помощью тройного интеграла:

Статические моменты тела относительно координатных плоскостей Oxy, Oxz, Oyz выражаются формулами

Координаты  центра тяжести тела вычисляются по формулам:

Если  тело является однородным с плотностью ρ(x,y,z) = 1 для точек M(x,y,z) в области U, то центр тяжести тела зависит только от геометрии тела и называется центроидом.

Моменты инерции тела

Моменты инерции тела относительно координатных плоскостей Oxy, Oxz, Oyz определяются выражениями

а моменты инерции тела относительно координатных осей Ox, Oy, Oz вычисляются по формулам

Как видно, справедливы соотношения 

Моментом  инерции тела относительно начала координат называется интеграл

Момент  инерции относительно начала координат  можно выразить через моменты  инерции относительно координатных плоскостей:

 

Тензор  инерции 

Используя рассмотренные выше 6 чисел I_x, I_y, I_z, I_xy, I_xz, I_yz, можно составить так называемую матрицу инерции или тензор инерции тела:

Данный  тензор является симметричным, и, следовательно, его можно привести к диагональному виду при определенном выборе осей Ox', Oy', Oz'. Значения диагональных элементов (после приведения тензора к диагональному виду) называются главными моментами инерции, а указанные направления − собственными векторами или главными осями инерции.

Если  тело вращается вокруг оси, не совпадаюшей  с главной осью инерции, то оно  будет испытывать вибрации при высоких  скоростях вращения. Поэтому, при  конструировании таких устройств  необходимо, чтобы ось вращения совпадала  с одной из главных осей инерции. Например, при замене шин автомобиля проводится их балансировка: небольшие грузики добавляются к колесам, чтобы обеспечить совпадение оси вращения с главной осью инерции и исключить вибрации.

Гравитационный  потенциал и сила тяготения 

Ньютоновым потенциалом тела в точке P(x,y,z) называется интеграл

где ρ(ξ,η,ζ) − плотность тела, и .

Интегрирование  выполняется по всему объему тела. Зная потенциал, можно вычислить  силу притяжения материальной точки  массы m и заданного распределенного тела с плотностью ρ(ξ,η,ζ) по формуле

где G − гравитационная постоянная.  

  Пример 

Найти массу шара радиуса R, плотность γ которого пропорциональна квадрату расстояния от центра.

 
Решение.

По условию, плотность γ задана соотношением γ = ar², где a − некоторая постоянная, r − расстояние от центра. Массу шара удобно вычислить в сферических координатах:      

   

2.3 Физические приложения  криволинейных интегралов 

С помощью  криволинейных интегралов вычисляются

1. Масса кривой;
2. Центр масс и моменты инерции кривой;
3. Работа при перемещении тела в силовом поле;
4. Магнитное поле вокруг проводника с током (Закон Ампера);
5. Электромагнитная индукция в замкнутом контуре при изменении магнитного потока (Закон Фарадея).

Рассмотрим  эти приложения более подробно с  примерами.

Масса кривой

Предположим, что кусок проволоки описывается  некоторой пространственной кривой C. Пусть масса распределена вдоль этой кривой с плотностью ρ (x,y,z). Тогда общая масса кривой выражается через криволинейный интеграл первого рода

Если  кривая C задана в параметрическом виде с помощью векторной функции , то ее масса описывается формулой

В случае плоской кривой, заданной в плоскости Oxy, масса определяется как

или в  параметрической форме 

Центр масс и моменты  инерции кривой

Пусть снова кусок проволоки описывается  некоторой кривой C, а распределение массы вдоль кривой задано непрерывной функцией плотности ρ (x,y,z). Тогда координаты центра масс кривой определяются формулами

где

− так  называемые моменты первого порядка.  
 
Моменты инерции относительно осей Ox, Oy и Oz определяются формулами

Работа  поля

Работа  при перемещении тела в силовом поле вдоль кривой C выражается через криволинейный интеграл второго рода

где − сила, действующая на тело, − единичный касательный вектор (рисунок 1). Обозначение означает скалярное произведение векторов и .  
 
Заметим, что силовое поле не обязательно является причиной движения тела. Тело может двигаться под действием другой силы. В таком случае работа силы иногда может оказаться отрицательной.  
 
Если векторное поля задано в координатной форме в виде

то работа поля вычисляется по формуле 

В частном  случае, когда тело двигается вдоль  плоской кривой C в плоскости Oxy, справедлива формула

Где       

Если  траектория движения C определена через параметр t (t часто означает время), то формула для вычисления работы принимает вид

где t изменяется в интервале от α до β. Если векторное поле потенциально, то работа по перемещению тела из точки A в точку B выражается формулой

           где − потенциал поля.

 

Закон Ампера

Криволинейный интеграл от магнитного поля с индукцией  вдоль замкнутого контура C пропорционален полному току, протекающему через область, ограниченную контуром C (рисунок 2). Это выражается формулой

где - магнитная проницаемость ваккуума, равная Н/м.

  Закон Фарадея 

Электродвижущая сила ε, наведенная в замкнутом контуре C, равна скорости изменения магнитного потока ψ, проходящего через данный контур (рисунок 3).

 
 
 
 
 

Пример 

Определить  массу проволоки, имеющей форму  отрезка от точки A(1,1) до B(2,4). Масса распределена вдоль отрезка с плотностью .

Решение. Составим сначала параметрическое уравнение прямой AB.        

где параметр t изменяется в интервале [0,1]. Тогда масса проволоки равна      

 

2.4 Физические приложения  поверхностных интегралов 

Поверхностные интегралы применяются во многих прикладных расчетах. В частности, с  их помощью вычисляются

• Масса оболочки;
• Центр масс и моменты инерции оболочки;
• Сила притяжения и сила давления;
• Поток жидкости и вещества через поверхность;
• Электрический заряд, распределенный по поверхности;
• Электрические поля (теорема Гаусса в электростатике).

Масса оболочки

Пусть S представляет собой тонкую гладкую оболочку. Распределение массы оболочки описывается функцией плотности . Тогда полная масса оболочки выражается через поверхностный интеграл первого рода по формуле

Центр масс и моменты  инерции оболочки