Геометрические и физические приложения двойных, тройных, криволинейных и поверхностных интегралов

           

                                 СОДЕРЖАНИЕ 
 
 

1.Геометрические  приложения интегралов

         

          1.1 Геометрические  приложения двойных  интегралов………….. 3

          1.2 Геометрические  приложения тройных  интегралов………….. 5

          1.3 Геометрические приложения криволинейных интегралов… 6

          1.4 Геометрические приложения поверхностных интегралов….. 8 

2. Физические приложения  интегралов

      

           2.1 Физические приложения  двойных интегралов……………… 10

           2.2 Физические приложения тройных интегралов……………… 12

           2.3 Физические приложения  криволинейных интегралов……... 14

           2.4 Физические приложения  поверхностных интегралов……… 18 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                            1.Геометрические приложения интегралов 

1.1 Геометрические приложения двойных интегралов

                                              1)Площадь плоской фигуры

Если  f (x,y) = 1 в интеграле , то двойной интеграл равен площади области интегрирования R.  
 
Площадь области типа I (элементарной относительно оси Оy) (рисунок 1) выражается через повторный интеграл в виде

Аналогично, площадь области типа II (элементарной относительно оси Оx) (рисунок 2) описывается формулой

                                                               2)  Объем тела

Если  f (x,y) > 0 в области интегрирования R, то объем цилиндрического тела с основанием R, ограниченного сверху поверхностью z = f (x,y), выражается формулой

В случае, когда R является областью типа I, ограниченной линиями , объем тела равен

Для области  R типа II, ограниченной графиками функций , объем соответственно равен

Если  в области R выполняется неравенство , то объем цилиндрического тела между поверхностями z₁ = f (x,y) и z₂ = g (x,y) с основанием R равен

                                                           3) Площадь поверхности

Предположим, что поверхность задана функцией z = f (x,y), имеющей область определения R. Тогда площадь такой поверхности над областью z определяется формулой

при условии, что частные производные  и непрерывны всюду в области R.

                            Площадь и объем в полярных координатах

Пусть S является областью, ограниченной линиями (рисунок 3). Тогда площадь этой области определяется формулой

 
 
 
 
 
 
 
 
 

Объем тела, ограниченного сверху поверхностью с основанием S, выражается в полярных координатах в виде

  

  Пример 

Вычислить площадь области R, ограниченной линиями .

 
Решение.

Сначала определим точки пересечения  двух заданных линий.      

 

Следовательно, координаты точек пересечения равны      

 

Область R представлена на рисунке 5 выше. Будем рассматривать ее как область типа II. Для вычисления площади преобразуем уравнения границ:      

 

Получаем       

 

1.2 Геометрические приложения  тройных интегралов

Геометрическое  приложение - вычисление объема любого пространственного тела.

Объем тела U в декартовых координатах Oxyz выражается формулой

В цилиндрических координатах объем тела равен 

В сферических  координатах, соответственно, используется формула 

Пример 

Найти объем шара x² + y² + z² ≤ R².

 
Решение.

Вычислим объем части шара, расположенной в первом октанте (x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0), и затем умножим результат на 8. Получаем      

 

В результате получена известная формула для  объема шара радиусом R.  

1.3 Геометрические приложения  криволинейных интегралов 

Криволинейные интегралы имеют многочисленные приложения в математике, физике и  прикладных расчетах. В частности, с  их помощью вычисляются 

• Длина кривой;
• Площадь области, ограниченной замкнутой кривой;
• Объем тела, образованного вращением замкнутой кривой относительно некоторой оси.

Длина кривой

Пусть C является гладкой, кусочно-непрерывной кривой, которая описывается вектором . Длина данной кривой выражается следующим криволинейным интегралом

где − производная, а − компоненты векторной функции .  
 
Если кривая C задана в плоскости, то ее длина выражается формулой

Если  кривая C представляет собой график заданной явно, непрерывной и дифференцируемой функции в плоскости Oxy, то длина такой кривой вычисляется по формуле

Наконец, если кривая C задана в полярных координатах уравнением , и функция является непрерывной и дифференцируемой в интервале , то длина кривой определяется выражением

Площадь области, ограниченной замкнутой кривой

Пусть C является гладкой, кусочно-непрерывной и замкнутой кривой, заданной в плоскости Oxy (рисунок 1). Тогда площадь области R, ограниченной данной кривой, определяется формулами

Здесь предполагается, что обход кривой C производится против часовой стрелки.  
 
Если замкнутая кривая C задана в параметрическом виде , то площадь соответствующей области равна

Объем тела, образованного  вращением замкнутой  кривой относительно оси Ox

Предположим, что область R расположена в верхней полуплоскости y ≥ 0 и ограничена гладкой, кусочно-непрерывной и замкнутой кривой C, обход которой осуществляется против часовой стрелки. В результате вращения области R вокруг оси Ox образуется тело Ω (рисунок 2). Объем данного тела определяется формулами

 

1.4 Геометрические приложения  поверхностных интегралов 

С помощью  поверхностных интегралов вычисляются 

• Площадь поверхности;
• Объем тела, ограниченного замкнутой поверхностью.

Площадь поверхности 

Пусть S является гладкой, кусочно-непрерывной поверхностью. Площадь поверхности определяется интегралом

Если  поверхность S задана параметрически с помощью вектора

то площадь  поверхности будет равна 

где D(u,v) − это область, в которой задана поверхность.

Если  поверхность S задана в явном виде функцией z(x,y), то площадь поверхности выражается формулой

где D(x,y) − проекция поверхности S на плоскость xy.

Объем тела, ограниченного  замкнутой поверхностью

Предположим, что тело ограничено некоторой гладкой, замкнутой поверхностью S. Тогда объем тела определяется по формуле

  

  Пример 

Вычислить площадь поверхности части параболоида  , лежащей выше плоскости xy.

 
Решение.

Площади заданной поверхности равна      

 

Переходя  к полярным координатам, находим  ответ:      

   
 
 

             

                               2. Физические приложения интегралов

      

2.1Физические  приложения двойных  интегралов 

Масса и статические  моменты пластины

Предположим, что плоская пластина изготовлена  из неоднородного материала и  занимает область R в плоскости Oxy. Пусть плотность пластины в точке (x, y) в области R равна . Тогда масса пластины выражается через двойной интеграл в виде

Статический момент пластины относительно оси Ox определяется формулой

Аналогично  находится статический момент пластины относительно оси Oy :

Координаты центра масс пластины, занимающей область R в плоскости Oxy с плотностью, распределенной по закону , описываются формулами

Для однородной пластины с плотностью для всех (x, y) в области R центр масс определяется только формой области и называется центроидом.

Моменты инерции пластины

Момент  инерции пластины относительно оси Ox выражается формулой