Формула сложных процентов и её применение

31 000 фунтов отданы были в  процен¬ты на 100 лет. По истечении  второго столетия сумма возрастет  до 4 061 000 фунтов, из коих 1 061 000 фунтов  оставляю в распоряжении бостон¬ских жителей, а 3 000 000 — правлению Масса¬чусетсской общины. Далее не осмеливаюсь прости¬рать своих видов". Мы видим, что, завещав всего 1000 фунтов, Б.Франклин распоряжается миллиона-ми. Проверим, не ошибся ли он в своих расчетах.

 Процентная ставка равна р = 5% годовых. Через 100 лет первоначальная сумма 50 = 1000 фунтов превратится в Ѕ=Ѕ0*(1+5/100)100=1000*(1,05)100≈ 131 501,06 фунтов. Эта сумма совсем немного отличается от 131 000 фунтов, указанных в заве¬щании. Далее, 31 000 фунтов еще через 100 лет превратится в

 Ѕ1= 31 000(1 + 0,05)100 = 4 076 532,8 фунтов.

 Фактически проценты начислялись  не на 31 000 фунтов, а на 31 501,06 фунтов, и поэтому к концу второго  столетия эта сумма превратится  в 

 Ѕ2 = 31 501,6(1,05)100= 4 142 422,7 фунтов.

 Расчеты показывают, что Б.Франклин  действи¬тельно мог распоряжаться  миллионами!

 Однако мы должны понимать, что нами, как всегда это бывает  при применении математики к  реалиям окружающего мира, рассмотрена  только идеальная математическая  модель, не учитываю¬щая ни инфляции, ни денежных реформ, ни де¬номинации, ни многих других причин. Однако суть явления — рост величины вклада до колос¬сальных размеров при возрастании срока его хра¬нения — эта модель показывает очень хорошо.

5. Рассмотрим еще одну гипотетическую ситуа¬цию, иллюстрирующую колоссальный рост вкла¬да при увеличении срока его хранения. Предпо¬ложим, что в начале нашей эры на одну копейку ежегодно начисляли по 5% годовых. Это, конеч¬но, не совсем реальная ситуация, но примем ее и займемся вычислениями. В какую сумму превра¬тится эта копейка через 2000 лет, т.е. к нашему времени?

 По формуле сложных процентов  при 50= 1 коп., п = 2000 лет, р = 5% имеем: 

S = 1*(1+0,05)2000=(1,05)2000коп.Оценим эту  величину.

 Непосредственным подсчетом  убеждаемся, что

(1,05)14≈ 1,98≈2 коп. Следовательно,  через 14 лет наш вклад в одну  копейку удвоится. Это удвоение  произойдет 142,8 раза = 2000 : 14, следовательно,  к 2000 г. одна копейка превратится  в 2142 копеек.

 Оценим это число. Известно, что 2'° = 1024,

220 = 1 048 576, 222 = 4 194 304, 240 = 1 099 511 627 776.

 Поэтому интересующая нас  сумма в 2142 представляется в  виде:

2142 = 240 * 240 * 240 * 222 = (1 099 511 627 776)3 *4 194 304 коп.!

 Эта сумма превосходит все  денежные запасы мира! По поводу решения этой задачи можно дос¬ловно повторить все сказанное после решения задачи 4, однако характер роста сложных про¬центов показан здесь очень ярко.

 Заключение 

 Готовя данную работу, я ставила  цель более глубокого изучения  этой темы, выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу.

 Решение текстовых задач  у многих учащихся вызывают  затруднения, поэтому в своей  работе я показала, что при  решении задач на проценты  применение формулы «сложных  процентов» весьма эффективна. Например, задача №1 решена двумя способами и в сравнении видно, что формула «сложных процентов» очень удобна в применении, а в задаче №4, без этой формулы решить её трудно, т.к. неизвестно число процентов.

 Поэтому  непонятно почему формулы «сложных  процентов» нет в школьных учебниках.

 Работая  над данной темой , способствовала  расширению своего математического  кругозора, развитию умения анализировать,  сравнивать, глубоко и прочно  усвоив материал.

 Мне  хочется порекомендовать ученикам  эту формулу, применять её и решать задачи на проценты.