Формула сложных процентов и её применение

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 27 Декабря 2012 в 21:24, реферат

Описание работы

Цель проекта:
подобрать теоретический материал, связанный с изучением формулы «сложных процентов»;
показать целесообразность практического применения формулы «Сложных процентов» при решении задач математического и экономического содержания;
привлечь внимание одноклассников к этим задачам и научить их решать.

Содержание работы

1. Краткая аннотация проекта
Цели,задачи,актуальность
2. Введение
3. Основная часть
Процент. Формула «сложных процентов»
Доказательство формулы «сложных процентов» методом математической индукции.
4. Практическая часть
5. Некоторые литературные и исторические сюжеты
6. Заключение

Файлы: 1 файл

Документ Microsoft Word.doc

— 67.50 Кб (Скачать файл)

Формула сложных процентов и  её применение

 

 Содержание:

 

1. Краткая аннотация проекта 

 Цели,задачи,актуальность 

2. Введение 

3. Основная часть 

 Процент. Формула «сложных  процентов» 

 Доказательство формулы «сложных  процентов» методом математической индукции.

4. Практическая часть 

5. Некоторые литературные и  исторические сюжеты 

6. Заключение 

 

 Аннотация 

 Существует формула «сложных  процентов», но её нет в школьных  учебниках, её, к сожалению, не  знают и не применяют даже  старшеклассники. 

 А между тем, она существенно облегчает решение многих задач. Считаю выбранную мною тему «Формула сложных процентов и её применение» актуальной.

 

 Актуальность темы обуславливается: 

 недостаточным содержанием  задач практического применения  в учебниках по формуле «сложных процентов».

 

 Цель проекта: 

 подобрать теоретический материал, связанный с изучением формулы  «сложных процентов»;

 показать целесообразность  практического применения формулы  «Сложных процентов» при решении  задач математического и экономического содержания;

 привлечь внимание одноклассников  к этим задачам и научить  их решать.

 

 Задачи:

 расширение кругозора; 

 уметь находить и анализировать  информацию;

 использовать полученные сведения  и умения при решении задач 

 

 Введение 

 Понятие  процент как сотой части какого-либо числа. Одно из основных понятий элементарной математики.

 Практически  каждый школьник знаком с ним  и знает правила нахождения  процента данного числа, числа  по его проценту, процентное отношение  чисел. Умеет решать задачи  по этим правилам или с помощью пропорции. Но среди множества задач на проценты встречаются такие, в которых некоторая величина в конце каждого этапа времени испытывает изменение на определённое число процентов.

 Решить  такую задачу, находя несколько  раз процент от данной величины не просто, но возможно, если таких этапов 2 или 3. Если же число этапов больше, то нужно применять так называемую формулу «Сложных процентов». В школьных учебниках математики её нет, но эта формула хорошо известна в теории процентов и неразрывно связана с правилом начисления « Сложных процентов», например в банковском деле. Иногда встречаются задачи с понятием «среднего процента прироста», в которых тоже находит применение формула «сложных процентов»

 Предлагаемая  вашему вниманию работа посвящена решению задач по формуле «сложных процентов» . Надеюсь, что она окажется полезной для учеников, которые будут поступать в вузы.

 

 Основная  часть 

 Среди  десятичных дробей особенно часто  на практике используется дробь  0,01, т. е. «процент». Процент – сотая часть числа. В хозяйственных и статистических расчетах, во многих отраслях науки части величин принято выражать в процентах.

 При  решении многих сложных задач  на проценты удобно использовать  формулу сложных так называемых  «Сложных процентов»

1.Проценты, начисленные на величины, полученные  в результате начисления процентов,  называются сложными.

 Пусть  некоторая переменная величина  Ѕ в начальный момент имеет  значение Ѕ0, когда она увеличилась  на р%, то стала равна Ѕ1 

 Ѕ1= Ѕ0 *(1+p/100)

 Если же величина несколько  раз изменилась (увеличилась или  уменьшилась) на одно и тоже  число %, то её значение вычисляется  через n изменений по формуле  «сложных процентов» 

 Ѕn= Ѕ0 *(1±p/100)n

2. Если изменение происходит  на разное число процентов,  то формула выглядит так: Ѕn=Ѕо(1+Р1/100)(1+Р2/100)…(1+ Рn/100);

 Докажем формулу «сложных  процентов» методом математической  индукции. Рассмотрим тот случай, когда в конце каждого этапа  времени начисляется одно и  то же постоянное количество  процентов – Р %.

 Ѕn= Ѕо *(1+Р/100)ⁿ. 

 Некоторая величина Ѕ , исходное  значение которой Ѕо, в конце  первого этапа будет равна 

 Ѕ1=Ѕ0 *(1+Р/100)

 В конце второго этапа 

 Ѕ2=Ѕ1*( 1+Р/100)= Ѕ0 *(1+Р/100) *(1+P/100)=Ѕ0 *(1+Р/100)2 и т. д. 

 Пусть формула верна при  n=к, т.е. Ѕк=Ѕo*(1+P/100)к .

 

 Докажем что формула верна  при n=k+1. Действительно, 

 Ѕk+1= Ѕk*(1+P/100) =Ѕo*(1+P/100)к * (1+P/100) = Ѕo*(1+P/100)к+1.

 Итак, формула Ѕn=Ѕo*(1+P/100)ⁿ доказана.

 Иногда в задачах встречается  понятие «средний процент прироста». 

 Под средним процентом прироста понимают такой постоянный процент прироста, который за n этапов давал бы такое же изменение величины Ѕ, которое она получает в действительности. При неравных поэтапных процентах изменения.

 Средний процент прироста q % определяется формулой

 

 Ѕо(1+Р1/100)* (1+P2/100)… (1+Pn/100)=Ѕo(1+q/100)ⁿ 

1+q/100=ⁿ√(1+P1/100)…(1+Pn/100).

 Отсюда видно, что средний  процент прироста не равен  среднему арифметическому величин  Р1,…,Рn. Здесь существует полная  аналогия с определением известного из физики понятия «средняя скорость движения»

 

 Практическая часть 

 Решим ряд задач с применением  формулы «сложных процентов» 

 Задача №1 

 Цену товара снизили на 20% , затем новую цену снизили  ещё на 15% и, наконец, после перерасчета  произвели снижение ещё на 10% . Какова новая цена товара, если первоначальная цена 25000тенге.

 Решение: 

1.По формуле «сложных процентов» 

 Ѕ3=Ѕо*(1-Р1/100)*(1-P2/100)*(1-P3/100)

 Ѕ3=Ѕ0*(1-20/100)*(1-15/100)*(1-10/100)

 Ѕ3=Ѕ0*4/5*17/20*9/10

 Ѕ3=2500*4*17*9/1000

 Ѕ3= 612*2, 5

 Ѕ3= 15300

15300т. – новая цена, т. е.  цена снизилась на 9700тенге. 

 

 Ответ: 1530 тенге. 

 

2.Решим эту же задачу обычным  способом ( по определению процента)

1)25000*0,2=5000(тенге.) – на столько  снизили цену в 1-й раз 

2)25000-5000=20000 (тенге.) – новая цена после 1-го снижения её на 20%.

3)20000*0,15= 3000 (тенге.) на столько снизилась  цена во 2-ой раз. 

4) 20000-3000=17000(тенге.) – новая цена  после её снижения на 15%.

5) 17000*0.1=1700 (тенге.) на столько снизилась  в 3-й раз 

6)17000-1700=15300 (тенге) – новая цена после её снижения на 10 %

 

 Ответ: 15300 тенге. 

 

 Задача №2.

 Магазин продал одному покупателю 30% имевшегося в куске полотна,  второму покупателю – 40% остатка,  а третьему – 20% нового остатка.  Сколько полотна осталось продать , если первоначально его было 1250м.

 Решение: 

1. По формуле «сложных процентов» 

 Ѕn=Ѕ0*(1-30/100)*(1-40/100)*(1-20/100)

 Ѕn=1250*0,7*0,6*0,8

 Ѕn=1250*0,336=420(м) 

 

 Ответ: 420м 

 

2. По определению процента.

1) 1250 * 0.3=375(м) полотна продали первому покупателю.

2)1250-375=875(м) первый остаток .

3)875*0.4=350(м )полотна продали второму  покупателю.

4)875-350=525(м) второй остаток. 

5) 525*0.2=105(м) – полотна продали  третьему покупателю.

6)525-105=420(м)-осталось продать. 

 

 Ответ: 420м.

 Задача №3.

 Герой романа И.А.Гончарова  «Обломов» Илья Обломов за  весну похудел на 25%, затем за  лето прибавил 20%, за осень похудел  на 10%, а за зиму прибавил 20%. Похудел  или поправился за год Обломов  и на сколько процентов? 

 Решение: 

 Пусть Ѕо - первоначальный вес , а Ѕn – полученный вес к концу года,

 решаем по формуле сложных  процентов 

 Пусть Ѕ0=1, то 

 Ѕ4=1*(1-25/100)*(1+20/100)*(1-10/100)*(1+20/100)

 Ѕ4=1*(1-1/4) *(1+1/5)*(9/10)*11/5

 Ѕ4=1*3/4*6/5*9/10*6/5

 Ѕ4=1*972/1000 или Ѕ4=1*(1-х/100)

1- х/100 = 0,972

100-х=0,972*100

100-х=97,2

 х=2,8

 Обломов похудел за год  на 2,8%

 Ответ: похудел на 2,8%

 Задача №4.

 Число 76,8 дважды увеличивали  на одно и тоже число процентов,  а затем дважды уменьшали на  одно и тоже самое число процентов. В результате получилось число 67,5.

 На сколько процентов увеличивали,  а затем уменьшали это число? 

 Решение. 

 По формуле Ѕп= Ѕо (1+P/100)ⁿ 

 Ѕо =76,8, п=2, P -число процентов  неизвестно 

76,8(1+P/100)? - такое число стало  после двукратного увеличения, т. е. это Ѕп ,

 затем это число Ѕп уменьшали  двукратно на Р% и получили 

76,8(1+Р/100)2 * (1-P/100)2 – по условию  это выражение равно 67,5

76,8(1+Р/100)2 * (1-Р/100)2 =67,5 это уравнение  относительно Р 

((1+р/100)*(1-р/100))2=67,5/76,8

 ((1+Р/100)(1-Р/1000))2=675/768;

(1+Р/100)(1-Р/1000)=15/16;

1-(Р/100)2=15/16;

(P/100)2=1-15/16;

(P/100)2=1/16;

P/100=1/4;

P=25

 Значит, число процентов равно  25.

 

 Ответ: 25%.

 

 Задача  №5.

 Цена  на товар сначала снизилась  на 5% ,а затем повысилась на 5% . Изменилась ли первоначальная цена, и если да, то на сколько процентов?

 Решение: 

1. По формуле  «сложных процентов» 

 Пусть  Ѕ0=1

 Ѕ2=1*(1-5/100)*(1+5/100)

 Ѕ2= 1*(1-25/10000)

 Ѕ2= 1*(1-25/10000)= 1*0,9975 или Ѕ2=1-х/100

1- х/100 = 0,9975

100-х=0,9975*100

100-х=99,75

 х=0,25

 т.е дешевле  на 0,25

 Ответ:  дешевле на 0,25%

 

 Задача  №6.

 Бизнесмен под офис отвел  участок в виде прямоугольника. Однако затем он решил длину  этого участка увеличить на 35% , а ширину уменьшить на 14% . На сколько процентов изменилась площадь офиса?

 Решение: 

 Пусть а(см)- длина участка,  в(см)- ширина участка, 

 Ѕ0=ав (см2)-первоначальная площадь  офиса. 

 Ѕn-новая площадь офиса 

 Ѕn =а*(1+35/100)в*(1-14/100)

 Ѕn= ав*1,161=ав*(1+0,161)=ав*(1+16,1/100),

 Ѕn= Ѕ0*(1+16,1/100), т.е 

 Ѕn>Ѕ0 на 16,1%

 Ответ: увеличилась на 16,1%.

 

 Задача №7.

 Двое рабочих вышли из  одного и того же дома и  пошли на один и тот же  завод. У первого из них был  шаг на 10% короче второго, но зато он делал шагов на 10% больше, чем второй. Кто из этих рабочих придет раньше на завод?

 Решение: 

 Пусть а- длина шага первого  рабочего, в- количество шагов  первого рабочего,

 Ѕ=ав расстояние от дома  до работы, тогда это же расстояние  второй рабочий пройдет за:

 Ѕ =а*(1-10/100)в*(1+10/100)

 Ѕ= ав*(1-0,1)*(1+0,1)

 Ѕ= ав*(1-0,01),

 ав=ав*0,99

 ав>ав*0,99 ,

 значит второй рабочий придет  на работу раньше.

 Ответ: Второй рабочий. 

 Задача №8.

 После двух последовательных  снижений цен на одно и то же число процентов цена блокнота упала с 300 тенге до 192 тенге. На сколько процентов снижалась цена блокнота каждый раз?

 Решение. 

 По формуле Ѕп= Ѕо (1-P/100)ⁿ 

 Ѕо =300 п=2 P- неизвестно 

300(1-P/100)2=192

100(1-P/100)2=64

(1-P/100)2=0,64

1-P/100=0,8

P/100=1-0,8;

P/100=0,2

 Р=20 Ответ: на 20%.

 Задача №9 

 Влажность воздуха к полудню  по сравнению с утренней снизилась  на 12%, а затем к вечеру ещё  на 5% по сравнению с полуднем . Сколько процентов от утренней  влажности воздуха составляет влажность воздуха к вечеру и на сколько процентов она снизилась?

 Решение: 

 По формуле сложных процентов  получаем уравнение: 

 Ѕn=Ѕ0*(1-12/100)*(1-5/100)

 Ѕn=Ѕ0*0,88*0,95

 Ѕn=Ѕ0*0,836 , при Ѕ0=1 получаем 

1- х/100 = 0,836

100-х=83,6

 х=16,4

 Ответ: снизилась на 16,4%, составляет 83,6%.

 

 Задача №10

 За три года население  города увеличилось с 2000000 до 2315250. Найти средний годовой процент  прироста населения. 

 Решение: 

 Применим формулу «сложных  процентов»:

2315250=2000000*(1+р/100)3

(1+р/100)3=2315250/2000000

(1+р/100)3=1,157625

1+р/100 =1,05

 р/100=1,05-1

 р/100=0,05

 р=5

 Ответ: 5%

 

 Некоторые литературные и  исторические сюжеты 

 

 Различные истории, связанные  с начислением простых и сложных  процентов, встречаются в ряде  художественных произведений, в исторических документах и преданиях.

 Вот некоторые примеры. 

1. В романе М.Е.Салтыкова-Щедрина  "Госпо¬да Головлевы" есть  такой эпизод: "Порфирий Владимирович  сидит у себя в кабинете, исписы¬вая  цифирными выкладками листы бумаги. На этот раз его занимает вопрос: сколько было бы у него теперь денег, если бы маменька, Арина Пет¬ровна, подаренные ему при рождении дедушкой на зубок 100 руб. ассигнациями, не присвоила себе, а положила бы в ломбард на имя малолетне¬го Порфирия ? Выходит, однако, немного: всего 800 руб. ассигнациями".

 Предполагая, что Порфирию  Владимировичу в момент счета  было 53 года, установим, по сколь¬ку  процентов в год платил ломбард.  Пусть р % — искомая ставка. Тогда по формуле сложных процентов  имеем: 100*(1+р/100)53=800.

 Отсюда (1+р/100)53=8 и р=100*(81/53-1).Производя  расчеты , получаем, что 

 р = 4% — не очень много! 

 

2. В этом же романе сын  Порфирия Владими¬ровича Петя  проиграл в карты казенные 3000 руб.и попросил у бабушки эту  сумму взаймы. Он говорил: "Я бы хороший процент дал. Пять про¬центов в месяц". Подсчитаем, сколько денег го-тов был вернуть Петя через год, согласись бабуш¬ка на его условия.

 

 Если вести расчет по сложным  процентам, то Петя Ѕ1=3000*(1+5/100)12=5400 вернул бы бабушке Если же  вести счет по простым процентам, то он вернул бы Ѕ2=3000*(1+0,05*12)=4800 руб.

 Однако, не веря внуку, бабушка  денег не дала!

3. В новелле О.Бальзака "Гобсек" один из героев, господин Дервиль,  взял у ростовщика Гоб¬сека  сумму в 150 000 франков сроком  на 10 лет под 15% годовых. Вычислим, какую же сумму вернул Дервиль Гобсеку по прошествии этого срока. Итак, Ѕ0 = 150000, р = 15%, п = 10 лет. По формуле сложных процентов Ѕ=Ѕ0*(1+р/100)п получаем Ѕ= (1 + 0,15)'° = 606 833,6 франка.

 формуле сложных процентов J = 50- 1

4. Сложные проценты обладают  удивительным свойством — с  возрастанием показателя п вели¬чина  (1 + а)", а > 0 достигает колоссальных  раз¬меров. Чтобы показать это,  рассмотрим знамени¬тое завещание  Бенджамена Франклина: "Препоручаю 1000 фунтов стерлингов бостон¬ским жителям. Если они примут эту тысячу фун¬тов, то должны поручить ее отборнейшим гражда¬нам, а они будут давать их с процентами по 5 на 100 в год в заем молодым ремесленникам. Сумма эта через 100 лет возвысится до 131 000 фунтов. Я желаю, чтобы тогда 100 000 фунтов употребле¬ны были на постройку общественных зданий, а остальные

Информация о работе Формула сложных процентов и её применение