Двойственный симплекс метод в математике

    Так как Y* удовлетворяет ограничениям (1.2), то это и есть план двойственной задачи. При этом плане значение линейной функции двойственной задачи f (Y*) = Y*A₀. Учитывая соотношения (1.9), (1.6) и (1.7), имеем

     (1.10)                   f (Y*) = Y*A₀ = C*D^-1 A₀ = C*X* = min Z(X).

    Таким образом, значение линейной функции  двойственной задачи от Y* численно равно минимальному значению линейной функции исходной задачи.

    Докажем теперь, что Y* является оптимальным планом. Умножим (1.1) на любой план Y двойственной задачи, а (1.2) — на любой план X исходной задачи: YAX=YA₀=f (Y), YAX £ СХ = Z (X), отсюда следует, что для любых планов Х и Y выполняется неравенство

(1.11)                    f (Y) £ Z (X).

    Этим  же соотношением связаны и экстремальные значения max f (Y) £  min Z (Х). Из последнего неравенства заключаем, что максимальное значение линейной функции достигается только в случае, если max f (Y) = min Z (X), но это значение [см. (1.10)] f (Y) достигает при плане Y*, следовательно, план Y* — оптимальный план двойственной задачи.

    Аналогично  можно доказать, что если двойственная задача имеет решение, то исходная также обладает решением и имеет место соотношение max f (Y) = min Z (X).

    Для доказательства второй части теоремы  допустим, что линейная функция исходной задачи не ограничена снизу. Тогда из (1.11) следует, что f (Y) £ -¥ . Это выражение лишено смысла, следовательно, двойственная задача не имеет решений.

Аналогично предположим, что линейная функция двойственной задачи не ограничена сверху. Тогда из (1.11) получаем, что Z (X) ³ +¥. Это выражение также лишено смысла, поэтому исходная задача не имеет решений.

     Доказанная  теорема позволяет при решении  одной из двойственных задач находить оптимальный план другой.

    Исходная  задача. Найти минимальное значение линейной функции Z = x₂ – x₄ – 3x₅ при ограничениях

 

     x₁ + 2x₂          - x₄ + x₅         = 1,

        - 4x₂ + x₃ + 2x₄ – x₅         = 2,               x_ij ³ 0 (j = 1, 2, …, 6)

          3x₂                  + x₅ + x₆ = 5,

    Здесь матрица-строка С = (0;. 1; 0; —1; — 3, 0), матрица-столбец

                  1                                  1    2    0    -1    1    0

    A₀ =      2                     A =       0   -4    1     2   -1    0

                 3                                  0    3    0     0    1    1

 

                   1     0     0

                  2    -4     3

    A’’ =       0     1     0

                 -1     2     0

                  1    -1     0

                  0     0     1

    Двойственная  задача. Найти максимальное значение линейной функции f = y₁ + 2y₂ +5y₃ при ограничениях

 

     y₁                     £ 0,

    2y₁ – 4y₂ + 3y₃ £ 1,

               y₂           £ 0,

    -y₁ + 2y₂           £ -1,

    y₁ –   y₂ +    y₃  £ -3,

                        y₃  £ 0.

 

    Решение исходной задачи   находим   симплексным   методом (табл. 1.2).

 

    Оптимальный план исходной задачи X* = (0; 1/3; 0; 11/3; 4; 0), при котором Z_min = - 46/3, получен в четвертой итерации табл. 1.2. Используя эту итерацию, найдем оптимальный план двойственной задачи. Согласно теореме двойственности оптимальный план двойственной задачи находится из соотношения Y* = C*D^-1, где матрица D^-1 - матрица, обратная матрице, составленной из компонент векторов, входящих в последний базис, при котором получен оптимальный план исходной задачи. В последний базис входят векторы A₅, A₄, A₂; значит,

                                        1  -1    2

    D = (A₅, A₄, A₂) =      -1   2   -4

                                       1   0    3

    Обратная  матрица D^-1 образована из коэффициентов, стоящих в столбцах A₁, A₃, A₆ четвертой итерации:

 

    

                     2      1       0

    D^-1 =     -1/3    1/3    2/3

                 -2/3   -1/3    1/3

 
 
 

    Из  этой же итерации следует С* = (— 3; —1; 1). Таким образом

                                                                       2       1       0

                         Y = С*D^-1 = (-3; -1; 1) ·     -1/3    1/3    2/3

                                                                   -2/3   -1/3    1/3

    Y*=(-19/3; -11/3; -1/3),

    т. е. y_i = С*Х_i, где Х_i — коэффициенты разложения последней итерации, стоящие в столбцах векторов первоначального единичного базиса.

Итак, i-ю двойственную переменную можно получить из значения оценки (m + 1)-й строки, стоящей против соответствующего вектора, входившего в первоначальный единичный базиc, если к ней прибавить соответствующее значение коэффициента линейной функции:

    у₁ = — 19/3 + 0 = — 19/3;  y₂ = -11/3 + 0 = -11/3; у₃ = -1/3+0 = -1/3. При этом плане max f = -46/3.

Симметричные  двойственные задачи

    Разновидностью  двойственных задач линейного , программирования   являются двойственные симметричные задачи, в которых система ограничений как исходной, так и двойственной задач задается неравенствами, причем на двойственные переменные налагается условие неотрицательности.

    Исходная  задача. Найти матрицу-столбец Х = (x₁, x₂, …, x_n), которая удовлетворяет системе ограничений

    (1.12).                     АХ>А₀, Х>0

    и минимизирует линейную функцию Z = СХ.

    Двойственная  задача. Найти матрицу-строку Y = (y₁, y₂, …, y_n), которая удовлетворяет системе ограничений YA £ C, Y ³ 0 и максимизирует линейную функцию f = YA₀.

    Систему неравенств с помощью дополнительных переменных можно преобразовать в систему уравнений, поэтому всякую пару симметричных двойственных задач можно преобразовать в пару несимметричных, для которых теорема двойственности уже доказана.

    Используя симметричность, можно выбрать задачу, более удобную для решения. Объем задачи, решаемой с помощью ЭВМ, ограничен числом включаемых строк, поэтому задача, довольно громоздкая в исходной постановке, может быть упрощена в двойственной формулировке. При вычислениях без помощи машин использование двойственности упрощает вычисления.

    Исходная  задача. Найти минимальное значение линейной функции Z = x₁ + 2x₂ + 3x₃ при ограничениях

 

     2x₁ + 2x₂ - x₃ ³ 2,

       x₁ - x₂ - 4x₃  £ -3,            x_i ³ 0 (i=1,2,3)

       x₁ + x₂ - 2x₃ ³ 6,

      2x₁ + x₂ - 2x₃ ³ 3,

    Очевидно, для того чтобы записать двойственную задачу, сначала необходимо систему ограничений исходной задачи привести к виду (1.12). Для этого второе неравенство следует умножить на -1.

    Двойственная  задача. Найти максимум линейной функции f = 2y₁+ 3y₂ + 6y₃ + 3y₄ при ограничениях

     2y₁  - y₂  + y₃ + 2y₄  £ 1,

    2y₁ + y₂  + y₃ +  y₄   ³ 2,

     -y₁+ 4y₂ - 2y₃ - 2y₄ ³ 3,

    Для решения исходной задачи необходимо ввести четыре дополнительные переменные и после преобразования системы - одну искусственную. Таким образом, исходная симплексная таблица будет состоять из шести строк и девяти столбцов, элементы которых подлежат преобразованию.

    Для решения двойственной задачи необходимо ввести три дополнительные переменные. Система ограничений не требует предварительных преобразований, ее первая симплексная таблица содержит четыре строки и восемь столбцов.

    Двойственную  задачу решаем симплексным методом (табл. 1.3).

    Оптимальный план двойственной задачи Y* = (0; 1/2; 3/2; 0), f_max = 21/2.

    Оптимальный план исходной задачи находим, используя оценки (m + 1)-й строки последней итерации, стоящие в столбцах A₅, A₆, A₇ : x₁ = 3/2 + 0 = 3/2; x₂ = 9/2 + 0 = 9/2; x₃ = 0 + 0 = 0. При оптимальном плане исходной задачи X* = (3/2; 9/2; 0) линейная функция достигает наименьшего значения: Z_min =21/2.

     Т а б л  и ц а 1.3