Дополнительные главы математики

Коротко предел справа обозначают f(х₀ + 0) = А₂.

     Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами. Очевидно, если существует f(x) = А, то существуют и оба односторонних предела, причем А = А₁ = А₂. 

                                                                                        Рис. 2.1

     Справедливо и обратное утверждение: если существуют оба предела f(х₀ - 0) и f(х₀ +0) и они равны, то существует предел А = f(x) и А = f(х₀ - 0).

     Если  же А₁ ¹ А₂, то f(x) не существует.

2.1.3 Предел функции  при х ® ¥.

     Пусть функция y = f(x) определена в промежутке (- ¥; ¥). Число А называется пределом функции f(x) при х ® ¥, если для любого положительного числа e существует такое число М = М (e) > 0, что при всех х, удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство . Коротко это определение можно записать так:

     ("e > 0 $М > 0 "x:

> М Þ çf(x) – Аç < e) Û f(x) = А.

Если  , то пишут , если , то . Геометрический смысл этого определения таков: для , что при х Î (- ¥; - М) или   х Î (М; + ¥) соответствующие значения функции f(x) попадают в e-окрестность точки А, т. е. точки графика лежат в полосе шириной 2e, ограниченной прямыми у = А + e и у = А - e.

2.2 Непрерывность функций.

2.2.1 Непрерывность функции  в точке.

     Пусть функция у = f(x) определена в точке х₀ и в некоторой окрестности этой точки. Функция у = f(x) называется непрерывной в точке х₀, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т. е.

     

f(x) = f(х₀).    (2.1)

     Это равенство означает выполнение трех условий:

1. функция f(x) определена в точке х₀ и в ее окрестности;
2. функция f(x) имеет предел при x ® х₀;
3. предел функции в точке х₀ равен значению функции в этой точке, т. е. выполняется равенство (2.1);

     Так как  х = х₀, то равенство (2.1) можно записать в виде:

     

f(x) = f( х) = f(х₀).   (2.2)

     Это означает, что при нахождении предела  непрерывной функции f(x) можно перейти к пределу под знаком функции, то есть в функцию f(x) вместо аргумента х подставить его предельное значение х₀.

     Например, . В первом равенстве функция и предел поменялись местами (см. .(2.2)) в силу непрерывности функции е^х.

     Пример. Вычислить А = .

     Решение:

     

     Отметим, что ln(1 + x) ~ x при x ® 0.

     Можно дать еще одно определение непрерывности  функции, опираясь на понятия приращения аргумента и функции.

     Пусть функция у = f(x) определена в некотором интервале (a;b). Возьмем произвольную точку х₀ Î (a;b). Для любого х Î (a;b) разность х - х₀ называется приращением аргумента х в точке х₀ и обозначается Dх («дельта х»): Dх = х - х₀. Отсюда х = х₀ + Dх.

     Разность  соответствующих значений функций  f(x) - f(х₀) называется приращением функции f(x) в точке х₀ и обозначается Dу (или Df или Df(х₀)): Dу = f(x) - f(х₀) или Dу = f(х₀ + Dх) - f(х₀). (см. рис. 2.2)

      Очевидно, приращения Dх и Dу могут быть как положительными, так и отрицательными числами.

     Запишем равенство (2.1) в новых обозначениях. Так как условия х ® х₀ и х - х₀ ® 0 одинаковы, то равенство (2.1) принимает вид        (f(x) - f(х₀)) = 0 или

     

Dу = 0.  (2.3) 
 

     Рис. 2.2

     Полученное  равенство (2.3) является еще одним определением непрерывности функции в точке: функция у = f(x) называется непрерывной в точке х₀, если она определена в точке х₀ и ее окрестности и выполняется равенство (2.3), т. е. бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

     Исследуя  непрерывность функции в точке, применяют либо равенство (2.1) либо равенство (2.3).

     Пример. Исследовать на непрерывность функцию  у = sin x.

     Решение: Функция у = sin x определена при всех x Î R.

     Возьмем произвольную точку x и найдем приращение Dу:

Dу = sin (x + Dx) – sin x = 2 cos (x +

) × sin .

     Тогда Dу = 2 cos (x + ) × sin = 0, так как произведение ограниченной функции и бесконечно малой функции есть бесконечно малая функция.

     Согласно  выражению (2.3), функция у = f(х) непрерывна в точке x.

2.2.2 Непрерывность функции  в интервале и  на отрезке.

     Функция у = f(х) называется непрерывной в интервале (a,b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

     Функция у = f(х) называется непрерывной на отрезке [a,b], если она непрерывна в интервале (a,b) и в точке х = а непрерывна справа (т. е. f(x) = f(a)), а в точке х = b непрерывна слева (т. е. f(x) = f(b)).

2.2.3 Точки разрыва  функции и их  классификация.

     Точки, в которых нарушается непрерывность  функции, называются точками разрыва  этой функции. Если х = х₀ – точка разрыва функции у = f(х), то в ней не выполняется по крайней мере одно из условий первого определения непрерывности функции, а именно:

     1. Функция определена в окрестности  точки х₀, но не определена в самой точке х₀.

     Например, функция у = не определена в точке х₀ = 2.

     2. Функция определена в точке  х₀ и ее окрестности, но не существует предела f(x) при х ® х₀.

     Например, функция:

     f(x) =

     определена  в точке х₀ = 2 (f(2) = 0), однако в точке х₀ = 2 имеет разрыв, так как эта функция не имеет предела при х ® 2:

     

f(x) = 1, а f(x) = 0.

     3. Функция определена в точке  х₀ и ее окрестности, существует f(x), но этот предел не равен значению функции в точке х₀: f(x) ¹ f(х₀).

     Например, функция:

     g(х) =

Здесь х₀ = 0 – точка разрыва:

g(х) = = 1, а g(х₀) = g(0) = 2.

     Все точки разрыва функции разделяются  на точки разрыва первого и  второго рода. Точка разрыва х₀ называется точкой разрыва первого рода функции у = f(x), если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа (односторонние пределы), т. е. f(x) = A₁ и f(x) = A₂. При этом:

     а) если A₁ = A₂, то точка х₀ называется точкой устранимого разрыва;

     б) если A₁ ¹ A₂, то точка х₀ называется точкой конечного разрыва.

     Величину çA₁ - A₂ç называют скачком функции в точке разрыва первого рода.

     Точка разрыва х₀ называется точкой разрыва второго рода функции у = f(x), если по крайней мере один из односторонних пределов (слева или справа) не существует или равен бесконечности.

     1. Обратимся к функциям, рассмотренным  выше. у = , х₀ = 2 – точка разрыва второго рода.

     2. Для функции:

     f(x) =

х₀ = 2 является точкой разрыва первого рода, скачок функции равен ç1 - 0ç = 1.

     3. Для функции:

     g(x) =

х₀ = 0 является точкой устранимого разрыва первого рода. Положив g(x) =1 (вместо g(x) = 2) при x = 0, разрыв устранится, функция станет непрерывной.

     Пример. Дана функция f(x) = . Найти точки разрыва, выяснить их тип.

     Решение: Функция f(x) определена и непрерывна на всей числовой оси, кроме точки x = 3. Очевидно, f(x) = Следовательно, f(x) =1, а      f(x) = -1. Поэтому в точке x = 3 функция имеет разрыв первого рода. Скачок функции в этой точке равен 1 – (-1) = 2.

2.2.4 Основные теоремы  о непрерывных  функциях.

         Непрерывность элементарных  функций.

     Теоремы о непрерывности функций следуют непосредственно из соответствующих теорем о пределах.

Теорема 1. Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная (для частного за исключением тех значений аргумента, в которых делитель равен нулю).

     Пусть функция f(x) и j(x) непрерывны на некотором множестве Х и х₀ – любое значение из этого множества. Докажем, например, непрерывность произведения F(x) = f(x) × j(x). Применяя теорему о пределе произведения, получим: