Уфимский  государственный авиационный технический  университет 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

РЕФЕРАТ

по предмету:

Дополнительные  главы математики 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Выполнил:        Михайлов В.С.

                                                            ст. гр. ДВ-512М

Проверил:         Гайсин А.М. 
 
 
 
 
 
 
 

Уфа - 2005

Содержание

1. Предел числовой последовательности.      2

2. Предел функции. Непрерывность.       3

2.1. Предел функции.          3

2.1.1. Предел функции в точке.        3

2.1.2. Односторонние пределы.        4

2.1.3. Предел функции при х ® ¥.        5

2.2. Непрерывность функций.        5

2.2.1. Непрерывность функции в точке.       5

2.2.2. Непрерывность функции в интервале и на отрезке.    7

2.2.3. Точки разрыва функции и их классификация.     7

2.2.4. Основные теоремы о непрерывных функциях.

Непрерывность элементарных функций.       9

2.2.5. Свойства функций, непрерывных на отрезке.     10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. Предел числовой  последовательности

     Можно заметить, что члены последовательности u_n неограниченно приближаются к числу 1. В этом случае говорят, что последовательность u_n, n Î N стремится к пределу 1.

     Число а называется пределом последовательности {х_n}, если для любого положительного числа найдется такое натурального число N, n > Nчто при всех         выполняется неравенство

     êх_n - аç < e.     (1.1)

     В этом случае пишут  или х_n → а и говорят, что последовательность {х_n} (или переменная х_n, пробегающая последовательность х₁, х₂, х₃) имеет предел, равный числу а (или х_n стремится к а). Говорят также, что последовательность {х_n} сходится к а.

     Коротко определение предела можно записать так:

     ("e > 0 $N: "n > N Þ çх_n – aç < e) Û

.

     Пример. Доказать, что 

     Решение: По определению, число 1 будет пределом последовательности n Î N, если "e > 0 найдется натуральное число N, такое, что для всех n > N выполняется неравенство , т.е. . Оно справедливо для всех , т.е. для всех n > N = , где - целая часть числа (целая часть числа х, обозначаемая [х], есть наибольшее целое число не превосходящее х; так [3]=3, [5,2]=5).

     Если e > 1, то в качестве N можно взять .

     Итак, "e > 0 указано соответствующее значение N. Это и доказывает, что

     Заметим, что число N зависит от e. Так, если , то

     

     если e = 0,01, то

     

     Поэтому иногда записывают N = N(e).

     Выясним геометрический смысл определения  предела последовательности.

     Неравенство (1.1) равносильно неравенствам - e < х_n – a < e или a - e < х_n < a + e, которые показывают, что элемент х_n находится в e-окрестности точки a.

     Рис. 1.1

     Поэтому определение предела последовательности геометрически можно сформулировать так: число а называется пределом последовательности {х_n}, если для любой e-окрестности точки a найдется натуральное число N, что все значения х_n, для которых n > N, попадут в e-окрестности точки a (см рис 1.1).

     Ясно, что чем меньше e, тем больше число N, но в любом случае внутри e- окрестности точки а находится бесконечное число членов последовательности, а вне ее может быть лишь конечное их число.

     Отсюда следует, что сходящая последовательность имеет только один предел. Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся.

     Постоянная  последовательность х_n = с, n Î N имеет предел, равный числу с, т. е. lim c =c. Действительно, для "e > 0 при всех натуральных n  выполняется неравенство (1.1). Имеем êх_n -сç = êс-сç = 0< e.

2. Предел функции.  Непрерывность.

2.1 Предел функции.

2.1.1 Предел функции  в точке.

     Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки х₀, кроме, быть может, самой точки х₀.

     Сформулируем  два эквивалентных между собой, определения предела функции  в точке.

     Определение 1 (на «языке последовательностей», или  по Гейне). Число А называется пределом функции y = f(x) в точке х₀ (или при х ® х₀), если для любой последовательности допустимых значений аргумента х_n, n Î N (х_n ¹ х₀), сходящейся к х₀ (т. е. х_n = х₀), последовательность соответствующих значений функции f(х_n), n Î N, сходится к числу А (т. е. f(х_n) = А).

     В этом случае пишут f(х) = А или f(х_n) ® А при х ® х₀. Геометрический смысл предела функции: f(х) = А означает, что для всех точек х, достаточно близких к точке х₀ соответствующее значению функции как угодно мало отличается от числа А.

     Определение 2 (на «языке e-d», или по Коши). Число А называется пределом функции х₀ (или при х ® х₀), если для любого положительного e найдется такое положительное число d, что для всех х_n ¹ х₀, удовлетворяющих неравенству êх- х₀ ç < d, выполняется неравенство êf(х)-Aç < e.

     Записывают f(х)=A. Это определение можно кратко записать так:

     

     Геометрический  смысл предела функции: А= f(x), если для любой e-окрестности точки А найдется такая d-окрестность точки х₀, что для всех х ¹ х₀ из этой d-окрестности соответствующее значения функции f(x) лежат в e-окрестности точки А. Иными словами, точки графика функции у=f(x) лежат внутри полосы шириной у = А - e. Очевидно, что величина d зависит от выбора e, поэтому пишут d = d(e).

     Пример 1. Доказать, что  (2х - 1) = 5.

     Решение: Возьмем произвольное e > 0, найдем d = d(e) > 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству êх-3ç < d, выполняется неравенство ê(2х - 1) – 5ç < e, т. е. êх - 3ç < e/2. Взяв d = e/2, видим, что для всех х, удовлетворяющих неравенству êх - 3ç < (d = e/2), выполняется неравенство ê(2х - 1) – 5ç < e. Следовательно, (2х - 1) = 5.

     Пример 2. Доказать, что, если f(х) = c то, с = с.

     Решение: Для "e > 0 можно взять "d > 0. Тогда при êх- х₀ç < d х ¹ х₀ имеем êf(х)-cç = êc-cç = 0 < e. Следовательно, с = с.

2.1.2 Односторонние пределы.

     В определении предела функции  f(x) = А считается, что х стремится к х₀ любым способом: оставаясь меньшим, чем х₀ (слева от х₀), большим чем х₀ (справа от х₀), или колеблясь около точки х₀.

     Бывают  случаи, когда способ приближения  аргумента х к х₀ существенно влияет на значение предела функции. Поэтому вводят понятия односторонних пределов.

     Число А₁ называется пределом функции y = f(x) слева в точке х₀, если для любого число e > 0 существует число d = d (e) > 0 такое, что при х Î (х₀ - d; х₀), выполняется неравенство çf(x) - Аç < e. Предел слева записывают так: f(x) = А₁ или коротко f(х₀ -0) = А₁ (обозначение Дирихле) (см. рис. 2.1).

      Аналогично определяется предел функции  справа, запишем его с помощью  символов:

("e > 0 $d = d(e) "x Î (х₀; х₀ + d) Þ çf(x) – А₂ç < e) Û f(x) = А₂.