Дифференциальные уравнения в частных производных

Обычно дифференциальное уравнение имеет не одно решение, а целое их семейство. Начальные и граничные условия позволяют выбрать из него одно, соответствующее реальному физическому процессу или явлению. В теории обыкновенных дифференциальных уравнений доказана теорема существования и единственности решения задачи с начальным условием (задачи Коши). Для уравнений в частных производных получены некоторые теоремы существования и единственности решений для определенных классов начальных и краевых задач.

При решении нестационарных уравнений математической физики имеем задачи с НУ. Для нахождения искомой функции для них необходимо знать величины, характеризующие её в некоторый начальный момент, а так же все функции возмущений  (внешние силы, источники) для всех последовательных моментов времени.

В то же время для уравнений математической физики, описывающих стационарные явления, таких как уравнения Лапласа и Пуассона, ставятся лишь краевые задачи, так как возмущающие (внешние) силы в этом случае,  во времени не изменяются, а для анализа стационарной системы нужно знать поведение искомой функции на границе области решения. Заметим, что если эта область ограничена, то соответствующая краевая задача называется внутренней, в противном случае — внешней.

Существуют три важнейших рода ГУ:

1.  ГУ-I:                                                                                       (3.11)

— заданны значения искомой функции u на границе Г ;

2.  ГУ-II:                                                                               (3.12)

 — задан поток u через границу Г , n - вектор внешней нормали границы, если f(t) = , то это означает непроницаемость (теплоизоляцию) на границе;

3.  ГУ-III:                                                                      (3.13)

— на границе (поверхности) тела происходит взаимодействие (например, теплообмен) с наружной (окружающей) средой, имеющей значения показателя , где (для задачи теплопроводности) , λ  и α - коэффициенты теплопроводности и теплообмена (в законе теплообмена Ньютона ).

Существуют ещё ГУ сопряжения, так называемые ГУ четвёртого рода:

ГУ-IV:                                          (3.14)

Эти равенства означают неразрывность функции u на границе (первое условие) и равенство потоков через границу Г двух сред, то есть при переходе через границу нет потерь (второе условие).

Граничные задачи ставятся следующим образом: найти функцию u, которая удовлетворяет уравнению Лапласа во всех внутренних точках области S, а на границе области  — некоторому граничному условию.

В зависимости от рода ГУ различают следующие краевые задачи:

в случае ГУ-I :     — задача Дирихле — (3.15)

— первая краевая задача;

в случае ГУ-II :    — задача Неймана — (3.16)

— вторая краевая задача;

в случае ГУ-III :        — третья краевая задача.                     (3.17)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Примеры задач для УМФ

 

 

4.1. Одномерное уравнение теплопроводности

Уравнение, описывающее распространение тепла в однородном стержне имеет вид:

,                                                                        (4.1)

где u(t,x) — температура, и a — коэффициент температуропроводности —  положительная константа, описывающая скорость распространения тепла.  Задача Коши ставится следующим образом:

НУ:                     ,                                                                     (4.2)

где f(x) — произвольная функция(начальное условие).

4.2. Уравнение колебаний струны

Дифференциальное уравнение, описывающее свободные колебания струны, имеет вид:

 .                                                                    (4.3)

Здесь u(t,x) — смещение струны от положения равновесия, или избыточное давление воздуха в трубе, или магнитуда электромагнитного поля в трубе, а c — скорость распространения волны. Для того, чтобы сформулировать задачу Коши, здесь следует задать смещение и скорость струны в начальный момент времени:

НУ:          

В случае конечной струны длинной L для уравнения (4.3) ещё надо задать два ГУ на её концах:

;                                                   (4.6)

.                                                   (4.7)

Это пример смешанной краевой задачи.

4.3. Двумерное уравнение Лапласа

Уравнение Лапласа для неизвестной функции двух переменных имеет вид:

.                                                                 (4.8)

При постановке краевой задачи для уравнения (4.8) его необходимо дополнить граничными условиями.

Граничное условие для первой краевой задачи (задача Дирихле):                                           

              ГУ-I:                                                          (4.9)

где f – заданная функция во всех точках P(x,y,z) поверхности Г.

Граничное условие для второй краевой задачи (задача Неймана):

ГУ-II:                                                      (4.10)

где - заданная функция на поверхности Г, n – внешняя нормаль к Г.

Граничное условие для третьей краевой задачи:

ГУ-III:                 ,                                  (4.11)

где h и g – функции заданные на Г.

 

 

5. Решение уравнений математической физики

 

 

Существует два вида методов решения УМФ:

• аналитические, когда результат выводится различными математическими преобразованиями;
• численные, когда результат соответствует действительному с заданной точностью, но который требует много рутинных вычислений и, поэтому, выполним только при помощи вычислительной техники (ЭВМ).

 

Рассмотрим примеры решения уравнения колебаний струны (3.2) каждым из этих методов.

5.1. Аналитическое решение

Рассмотрим задачу о колебаниях струны длины L. Будем считать, что на концах струны функция u(x,t) обращается в нуль (струна закреплена на концах):

.                                                (5.1)

В начальный момент времени зададим начальные условия:

;                                                               (5.2)

.                                                              (5.3)

Представим решение в виде:

.                                                              (5.4)

После подстановки в исходное уравнение колебаний, разделим на произведение X(x)T(t) получаем:

.                                                                (5.5)

Правая часть этого уравнения зависит от t, левая — от x, следовательно это уравнение может выполняться лишь тогда, когда обе его части равны постоянной величине, которую обозначим через − :

.                                                       (5.6)

Отсюда находим уравнение для X(x):

  .                                                         (5.7)

Нетривиальные решения этого уравнения при однородных краевых условиях возможны только при  и имеют вид:

.                                                            (5.8)

 

Рассмотрим уравнение для отыскания T(t):

.                                                       (5.9)

Его решение:

.                                  (5.10)

Следовательно, каждая функция вида

               (5.11)

является решением волнового уравнения.

Чтобы удовлетворить решение начальным условиям, составим ряд:

.         (5.12)

Подстановка в начальные условия даёт:

.            (5.13)

Последние формулы представляют собой разложение функций f(x) и g(x) в ряд Фурье на отрезке [0,L]. Коэффициенты разложений вычисляются по формулам:

.       (5.14)

5.2. Численное решение

Данный способ решения называется методом конечных разностей. Он достаточно просто реализуем при помощи ЭВМ.

Этот метод основан на определении производной функции y = y(x):

.                                  (5.15)

Если имеется функция u = u(x,t), то частичная производная будет следующая:

.                                      (5.16)

Так как Δx достаточно мало, знаки пределов можно отбросить. Тогда получим следующие выражения для первых производных:

,                                                      (5.17)

.                                                       (5.18)

Для удобства в дальнейшем примем следующие обозначения:

,                                                                   (5.19)

,                                                        (5.20)

,                                                       (5.21)

Δx = h ,                                                          (5.22)

Δt = .                                                          (5.23)

Тогда предыдущие выражения можно записать так:

,                                                                     (5.24)

.                                                                    (5.25)

Эти выражения называют правыми разностями. Их можно записать и по-другому:

,                                                                   (5.26)

и левые разности:

.                                                                   (5.27)

Просуммировав оба выражения получим следующее:

,                                                      (5.28)

,                                                      (5.29)

из которых следует аппроксимация первых производных в виде:

,                                                               (5.30)

.                                                             (5.31)

Аналогично можно получить и аппроксимации производных второго порядка:

,                                                (5.32)

.                                                (5.33)

Пусть для уравнения колебаний струны:

,                                                           (5.34)

дополнительные условия заданы в виде:

                  граничные условия(ГУ):    u = (t),                                                (5.35)

 u = (t),                                             (5.36)

                 начальные условия(НУ):   = (x),                                                              (5.37)

 = (x),                                                          (5.38)

где и — положение концов (креплений) струны во времени, а и — начальное состояние и скорость струны, откуда мы можем получить состояние струны в следующий момент времени по формуле:

.                                                       (5.39)

В вычислениях используют дискретизацию струны : длину L разделяют на одинаковые интервалы (шаги), длина которых h (рисунок 5.1).

Рисунок 5.1. Дискретизация расчётной области

Значения функции остальных x и t можно вычислить из уравнения колебаний струны:

,                                                                       (5.40)

,                                                            (5.41)

.                                                            (5.42)

 

В результате получаем конечно - разностный аналог уравнения (4.3)

,                                              (5.43)

откуда для расчёта получаем явную разностную схему:

.                           (5.44)

Таким образом, мы получили схему, по которой можно получить значения функции для любых x и t, используя значения функции при предыдущих x и t. Схематично её шаблон представлен на рисунке 5.2:

 

Рисунок 5.2. Шаблон явной разностной схемы расчёта

 

Этот метод даёт приближённое решение (в узлах сетки), порядок точности . Для повышения точности и устойчивости счёта необходимо использовать интервалы (шаги): 

 h < 0,1   и    .                                           (5.45)

 

 

 

 

Заключение