Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Тема 4.7. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.

Производная и дифференциал.

Рассмотрим функцию y=f(x), непрерывную  в некоторой окрестности точки x. Из этого следует, что в этой точке бесконечно малому приращению аргумента Dx соответствует бесконечно малое приращение функции Df.

ÞО. Производной функции y=f(x) по аргументу х называется конечный предел отношения приращения функции Df =f(x+Dx) – f(x).  к приращению аргумента Dx , при стремлении Dx  к 0:

Отношение Df /Dx, как видно из рисунка 1, равно тангенсу угла a, который составляет секущая MN кривой y = f(x) c положительным направлением горизонтальной оси координат.

Пусть Dx стремится к нулю. При этом точка N будет двигаться вдоль кривой y = f(x), приближаясь к точке M, а секущая MN будет приближаться к касательной к графику функции, при этом её угол наклона a будет стремиться к углу j наклона касательной к кривой в точке x. Таким образом, геометрический смысл производной заключается в том, что производная функции f(x) в точке x равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке.

Физический смысл производной: производная есть скорость изменения функции в точке х.

Нахождение производной  функции y = f(x) называется дифференцированием.

Производная функции f(x) не существует в тех точках, в  которых функция не является непрерывной. В то же время функция может  быть непрерывной в точке x₀, но не иметь в этой точке производной.

Так функция y = êx ê не имеет производной в точке x = 0, хотя является непрерывной в этой точке.

Таблица производных  основных элементарных функций.

Таблица производных.

1. (xⁿ)'=nx^n-1   2. (a^x)'=a^xlna 3. (e^x)'=e^x  

4. (log_ax)'=   5. (lnx)'=   6. (sinx)'=cosx

7. (cosx)'=-sinx  8. (tgx)'=  9.(ctgx)'=-  

10. (arcsinx)'=  11. (arccosx)'=-  

12. (arctgx)'=  13. (arcctgx)'=-        14. (х) '=1

Свойства операции дифференцирования.

1. (с)'=0, c-const  2. (f(x)+g(x)-r(x))'=f '(x)+g '(x)-r '(x)  

3. (f(x)×g(x))'=f '(x)g(x)+g '(x)f(x),  4. (cf(x))'=c(f '(x))      

5. .

 

¨Пример. Найти производную функции y=x³.

Воспользуемся первой формулой в таблице, где n=3, и получим

y¢=3x^3-1=3x².

¨Пример. Найти производную функции y= y=

Для того чтобы воспользоваться  формулой преобразуем функцию к  табличному виду:

. Тогда   ;    ;  

¨Пример. Найти производную функции y=sinx+e^x.

Применим правила дифференцирования  к сумме двух табличных функций:

у ¢=(sinx)¢+(e^x)¢=cosx+e^x.

¨Пример.  y=5^x-x⁵

y¢=5^xlnx-5x⁴

¨Пример. Найти производную функции y=lnx×tgx.

По правилу дифференцирования  произведения функции получим:

у ¢=( lnx)¢×tgx+ lnx×(tgx)¢=

¨Пример. Найти производную функции y= .

 

 

Теорема о производной сложной функции.

Пусть функция g(x) имеет производную в точке x, а функция f(z) имеет производную в точке z = g(x). Тогда сложная функция F(x) = f(g(x)) имеет в точке x производную F¢ (x) = f¢ (z) g¢ (x).

Приведем примеры вычисления производной  сложной функции.

¨Пример. Найти производную функции  y=(3x⁵+2)⁶.

Воспользуемся правилом дифференцирования  сложной функции. Обозначим 3x⁵+2=t, тогда у=t⁶. Получаем

у ¢=(t⁶)¢_t×(3x⁵+2)¢_x=6t⁵(3×5x⁴+0)=6(3x⁵+2)⁵×15x⁴=90x⁴(3x⁵+2)⁵.

¨Пример. Найти производную функции y=sin⁵x.

Рассуждая аналогично предыдущему примеру, обозначим sinx=t. Тогда получим степенную функцию y=t⁴. Берем производную сначала от степени функции, затем от основной функции:

у ¢=5t⁴×(sinx)¢= 5t⁴×cosx=5sin⁴x×cosx.

В дальнейшем для упрощения  решения  примеров, особые обозначения промежуточных результатов будем опускать.

¨Пример. Найти производную функции y=cosx⁴.

у ¢=-sinx⁴×4x³=-4x³ sinx⁴.

¨Пример. Найти производную функции y=arcsin .

     

Нужно обратить внимание на то, что в производной функции y=arcsinx в качестве аргумента используется . Поэтому производная имеет выше указанный вид. Типичной ошибкой студентов является следующий вид решения:

¨Пример. Найти производную функции y=ln³tg(e^-x).

 

Тема 4.8. Логарифмическое  дифференцирование.

               Логарифмическое дифференцирование применяют в случае, если функция является показательно- степенной y=u^v (u и v являются функциями от х) или содержит логарифмические операции, т.е. умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня.     Пусть функция имеет вид     y=u^v. Прологарифмируем обе части, получим                                                   lny=ln u^v.  По свойствам логарифма степень аргумента логарифма стоящего справа можно вынести  перед знаком логарифма, тогда                                                                                              lny=v×lnu.  Продифференцируем обе части, получим                                         (lny)¢=(v×lnu)¢Þ   .                                                                                                                    ¨Пример. Найти производную функции y=(lnx)^cosx.                                                                                           Прологарифмируем обе части:     lny=ln(lnx)^cosx Þ      lny=cosx×ln(lnx). Продифференцируем обе части равенства, получим                     

 (lny) ¢=(cosx×ln(lnx))¢ Þ       ; 

Тема 4.9. Дифференциал функции

 

Пусть функция y=f(x) дифференцируема на отрезке [a,b]. Производная этой функции в некоторой точке х этого отрезка определяется равенством

Отношение при Dх®0 стремится к определенному числу f ¢(x) и, следовательно отличается от производной f ¢(x) на величину бесконечно малую, где a®0 при Dх®0 (стр 107 Пискунов).

Умножая члены последнего равенства  на Dх, получим:

Dy=f ¢(x)Dx+aDx.    (4.3)

Так как в общем  случае f ¢(x)¹0, то при постоянном х и переменном Dх®0 произведение f ¢(x)Dx есть величина бесконечно малая одного порядка малости с Dx, второе слагаемое есть величина высшего порядка малости относительно Dx. Таким образом, произведение f ¢(x)Dx является главной частью приращения (4.3), линейной относительно Dx. Это означает, что если приращение аргумента Dx уменьшить в k раз, то и главная часть приращения функции уменьшится в k раз.

ÞО. Дифференциалом функции y=f(x) называется главная часть приращения (4.3), линейная относительно Dx. Обозначается

dy= f ¢(x)dx.    (4.4)

Отсюда  следует, что

,

то есть производная функции f(x) равна отношению дифференциала функции к дифференциалу аргумента x.

Свойства дифференциала.

1. dC = 0 ( здесь и в следующей формуле C - постоянная );

2. d(Cf(x)) = Cdf(x);

3. d(f(x) + g(x)) = df(x) + dg(x),

4. d(f(x)g(x)) = g(x)df(x) + f(x)dg(x).

5. , если g(x) ¹0

Пусть y = f(x) - функция, имеющая производную в точке x, тогда dy = df(x) = f¢ (x)dx. Если аргумент x является функцией x(t) некоторой независимой переменной t, то y = F(t) = f(x(t)) -сложная функция от t, и её дифференциал вычисляется по формуле dy = F¢(t)dt = f¢ (x)x¢ (t)dt. Однако по определению дифференциала x¢ (t)dt = dx и последняя формула преобразуется к виду: dy = f¢ (x)dx.

Таким образом если аргумент функции y=f(x) рассматривать как функцию  другого аргумента так, что равенство Dx = dx не выполняется, формула дифференциала функции f(x) остается неизменной. Это свойство принято называть свойством инвариантности дифференциала.

 

Тема 4.10 Производные и  дифференциалы высших порядков.

 

Пусть функция y=f(x) дифференцируема на некотором отрезке [a,b].   Значения производной f ¢(x) зависят от х, т.е. производная f ¢(x) тоже представляет собой некоторую функция от х. Дифференцируя эту функцию, мы получаем производную от производной.

ÞО. Производная от первой производной называется производной второго порядка или второй производной. Обозначается

y ¢¢=(f ¢(x))¢=f ¢¢(x).   (4.5)

Если f есть координата движущейся точки и является функцией времени, то мгновенная скорость точки в момент времени t равна v=f ¢(t), а ускорение равно a= f ¢¢(t).

Вторая производная  также может быть функцией, определенной на некотором множестве. Если эта  функция имеет производную, то эта  производная называется третьей производной функции f(x) и обозначается f¢¢¢(x).

ÞО. Если определена n-я производная f ⁽ⁿ⁾(x) и существует её производная, то она называется (n+1)-й производной функции f(x):

f ^(n + 1)(x) = (f⁽ⁿ⁾(x))¢.   (4.6)

Все производные, начиная со второй, называются производными высших порядков.

Дифференциал функции  y=f(x) выражается в виде dy= f ¢(x)dx. Тогда, если он является некоторой функцией от х, то справедливо следущее:

ÞО. Дифференциал от дифференциала функции называется дифференциалом второго порядка или вторым дифференциалом:

d²y= f ¢¢(x)dx².    (4.7)

ÞО. Дифференциал от дифференциала n-го порядка называется дифференциалом (n+1)-го порядка.

¨Пример. Найти дифференциал функции y=cosx.

Найдем f ¢(x)=-sinx. Тогда по формуле (4.4): dy=-sinxdx.

¨Пример. Найти дифференциал второго порядка функции y=ln⁴x².

Найдем вторую производную от функции:

f ¢(x)=     f ¢¢(x)= , тогда

d²y= dx².

¨Пример. Найти дифференциал функции y=x^tgx.

Найдем f ¢(x). Для этого прологарифмируем обе части равенства:

lny=lnx^tgx  по свойству логарифма получаем  lny=tgx×lnx. Продифференцируем обе части:

  ;  

 

Тогда dy= dx.

 

Тема 4.11. Производная функции, заданной параметрически.

 

Пусть даны два уравнения

,      (4.6)

где t принимает значения, содержащиеся на отрезке [Т₁,Т₂]. Каждому значению t соответствуют значения х и у (функции f и g предполагаем однозначными). Если рассматривать значения х и у как координаты точки на координатной плоскости Оху, то каждому значению t будет соответствовать определенная точка плоскости. Когда t изменяется от Т₁ до Т₂, то точка на плоскости описывает некоторую кривую. Уравнения (4.6) называются параметрическими уравнениями  этой кривой, t- параметр, а способ задания кривой уравнениями (4.6) параметрическим. Параметрическое задание кривых широко распространено в механике.

Пусть функция  задана параметрическими уравнениями (4.6).

Тогда производные у  от х можно найти по формулам:

                (4.7)

¨Пример . Найти производную функции, заданной параметрически    

=

 

 

 

Тема 4.12. Производные  неявной функции.

 

Если у есть неявная функция  от х, т.е. задана уравнением F(x,y)=0 не разрешенным относительно у, то для нахождения производной нужно продифференцировать по х обе части равенства, помня, что у есть функция от х и затем разрешить полученное равенство относительно у¢.

¨Пример. Найти производную неявной функции х²+у²-4х-10у+4=0.

Дифференцируя по х, получаем 2х+2у×у¢-4-10у¢=0. Выражаем у¢, имеем:

.

Задачи для  самопроверки.

1. Найти производную функции

А) y=tgx-10^x  ;   Б) y=ctgx×arccosx  ;     В) ; 

2. Найти производную сложной функции

А)   y=    ;  Б) y= ;   В)y= ;   Г) y=(sinx+3)⁴ ;   

Д)  y= .

3. Найти производную показательно степенной функции:

А)  y=   ; Б) y=(sinx)^x       

Ответы.  1 А) y¢= ;     1Б) y¢= ;

1 В) y¢= = ;

2А) y¢=   ;        2Б)  y¢= ;    

2В) y¢= = ;   

2Г) y¢=4(sinx+3)³cosx ;         2Д) y¢= .

3А) y¢= ;        3Б) y¢= (sinx)^x         

4. Найти производную функции,  заданной параметрически:

А)      Б)

5. Найти производную функции,  заданной неявно:

А) х²+у²=4;         Б) х³+lny-x²e^y=0

Ответы.  4А) ;     4Б) y¢_x=tgt;  5А) у¢=-х/у;     5Б) у¢= .

 

Тема 4.13 Правило Лопиталя.

 

В задачах к темам 4.1-4.6 были разъяснены элементарные способы нахождения предела  функции в тех случаях, когда аргумент неограниченно возрастает или стремится к значению, которое не входит в область определения функции. Кроме этих элементарных способов, весьма эффективным средством для нахождения предела в указанных особых случаях является следующее

Правило  Лопиталя: Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших величин равен пределу  отношения их производных, если он существует или равен бесконечности

 или  =

Если же отношение производных  вновь будет представлять случай или , то можно снова и снова применять правило Лопиталя до получения результата.

= или =

 

¨Пример. Найти предел функции с помощью правила Лопиталя Так как и числитель и знаменатель дроби стремятся к 0, то можно применить правило Лопиталя:

=

¨Пример. Найти предел функции с помощью правила Лопиталя

 

Так как и числитель  и знаменатель дроби стремятся  к 0, то можно применить правило  Лопиталя:

=

Числитель и знаменатель  дроби вновь стремятся к 0, применяем правило Лопиталя еще раз:

=

¨Пример. Найти предел функции с помощью правила Лопиталя .

=

¨Пример. Найти предел функции с помощью правила Лопиталя