Числовые ряды

Если функция имеет производные любых порядков в окрестности точки и остаточный член стремится к нулю при , то из формулы Тейлора получается разложение функции по степеням , называемое рядом Тейлора:

Если в ряде Тейлора положить , то получим разложение функции по степеням х в так называемый ряд Маклорена:

Отметим, что  ряд Тейлора можно формально построить для любой бесконечно дифференцируемой функции в окрестности точки . Но отсюда еще не следует, что он будет сходиться к данной функции ; он может оказаться расходящимся или сходиться, но не к функции . 

Теорема1

Для того чтобы  ряд Тейлора функции сходился к в точке х, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке остаточный член формулы Тейлора стремился к нулю при , т.е. чтобы 0. 

Пусть ряд Тейлора сходится к функции в некоторой окрестности точки , т.е. . Так как n-я частичная сумма ряда совпадает с многочленом Тейлора , т.е. находим:

Обратно, пусть 0. Тогда  

Теорема2

Если модули всех производных функций ограничены в окрестности точки одним и тем же числом М>0, то для любого х из этой окрестности ряд Тейлора функции сходится к функции , т.е. имеет место разложение . 

Согласно теореме1, достаточно показать, что 0. По условию теоремы2 для любого n имеет место неравенство . Тогда имеем:

Осталось показать, что . Для этого рассмотрим ряд

Так как  , то по признаку Даламбера этот ряд сходится на всей числовой оси. Но тогда, в силу необходимого признака сходимости,

Следовательно, 0 

Разложение  некоторых элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена) 

Для разложения функции в ряд Маклорена нужно:

А) найти производные , ,…, ,..;

Б) вычислить  значения производных в точке ;

В) написать ряд  для заданной функции и найти его интервал сходимости;

Ґ) найти интервал (-R;R), в котором остаточный член ряда Маклорена при . Если такой интервал существует, то в нем функция и сумма ряда Маклорена совпадают. 

Приведем таблицу, содержащую разложения в ряд Маклорена  некоторых элементарных функций: 

Докажем формулу. 

Пусть  

Имеем:

А)

Б)

В) , т.е. ряд сходится в интервале ;

Ґ) для всех имеем , т.е. все производные в этом интервале ограничены одним и тем же числом . Следовательно, . Таким образом, . 

Докажем формулу. 

Пусть f(x)=sin x 

Имеем:

А)

Б)

В)  Легко проверить, что полученный ряд сходится на всей числовой оси, т.е. при всех

Ґ) любая производная функция f(x)=sin x по модулю не превосходит единицы, . Следовательно, имеет место разложение f(x)=sin x. 

Докажем формулу 

Пусть f(x)=cos x 

Формулу f(x)=cos x можно доказать так же, как и формулу f(x)=sin x. Однако проще получить разложение функции cos x, воспользовавшись свойством 3 степенных рядов. Продифференцировав почленно ряд f(x)=sin x, получим:

Докажем формулу 

Пусть ,  

Имеем:

А)  

Б)

В)

Ґ) , т.е. составленный для функции ряд сходится в интервале (-1;1), остаточный член стремится к нулю при . 

Ряд называется биномиальным. Если , то все члены ряда с (n+1)-го номера равны 0, так как содержат множитель . В этом случае ряд представляет собой известную формулу бинома Ньютона:

Докажем формулу 

Пусть  

Формула  может  быть получена разными способами:

1)пользуясь  правилом разложения функции  в ряд;

2)рассматривая  ряд  как ряд геометрической прогрессии, первый член которой равен 1 и знаменатель q=x; известно, что данный ряд сходится при и его сумма равна

3)воспользовавшись  формулой : положив в ней и заменив х на –х, получим формулу .  

Докажем формулу 

Пусть f(x)=ln (1+x) 

Формула f(x)=ln (1+x) также может быть доказана разными способами. Приведем один из них. 

Рассмотрим  равенство ,

 справедливое  для всех  . Используя свойство 4 степенных рядов, проинтегрируем данный ряд на отрезке [0;x], :

или

Докажем формулу 

Пусть f(x)=arctg x 

Положив в  формуле и заменив х на , получим равенство

Тогда

или

Докажем формулу 

Пусть f(x)=arcsin x 

Положив в  формуле и заменив х на , получим равенство

Тогда

 или

Некоторые приложения степенных  рядов 

Приближенное  вычисление значений функции 
 

Пусть требуется  вычислить значение функции f(x) при с заданной точностью

Если функцию  f(x) в интервале (-R;R) можно разложить в степенной ряд

 и  , то точное значение равно сумме этого ряда при , т.е.

а приближенное – частичной сумме , т.е.

Точность этого  равенства увеличивается с ростом n. Абсолютная погрешность этого приближенного равенства равна модулю остатка ряда, т.е. ,

где

Таким образом, ошибку можно найти, оценив остаток ряда.

Для рядов  лейбницевского типа

В остальных  случаях (ряд знакопеременный или  знакоположительный) составляют ряд из модулей членов ряда и для него стараются найти положительный ряд с большими членами, который легко бы суммировался. И в качестве оценки берут величину остатка этого нового ряда. 

Приближенное  вычисление определенных интегралов 

Бесконечные ряды применяются также для приближенного  вычисления неопределенных и определенных интегралов в случаях, когда первообразная не выражается в конечном итоге через элементарные функции либо нахождение первообразной сложно.

Пусть требуется  вычислить  с точностью до . Если подынтегральную функцию f(x) можно разложить в ряд по степеням x и интервал сходимости (-R;R) включит в себя отрезок [a;b], то для вычисления заданного интеграла можно воспользоваться свойством почленного интегрирования этого ряда. Ошибку вычислений определяют так же, как и при вычислении значений функций. 

Приближенное  решение дифференциальных уравнений 

Если решение  дифференциального уравнения не выражается через элементарные функции  в конечном виде или способ его  решения слишком сложен, то для  приближенного решения уравнения можно воспользоваться рядом Тейлора.