Числовые ряды

Числовые  ряды 

Основные  понятия 

Числовым  рядом называется выражение вида

где – действительные или комплексные числа, называемые членами ряда, - общим членом ряда.

Ряд считается заданным, если известен общий член ряда , выраженный как функция его номера n: .

Сумма первых n членов ряда называется n-й частичной суммой ряда и обозначается через , т.е.

Если существует конечный предел последовательности частичных сумм ряда , то этот предел называют суммой ряда и говорят, что ряд сходится. Записывают:

Если  не существует или = , то ряд называют расходящимся. Такой ряд суммы не имеет. 

Рассмотрим некоторые  важные свойства рядов: 

Свойство 1.  Если ряд сходится и его сумма равна S, то ряд

где с – произвольное число, также сходится и его сумма равна cS. Если же ряд расходится и , то и ряд расходится. 

Обозначим n-ю частичную сумму ряда через . Тогда

Следовательно,

,

т.е. ряд сходится и имеет сумму cS.

Покажем теперь, что если ряд  расходится, , то и ряд расходится. Допустим противное: ряд сходится и имеет сумму .

Тогда

Отсюда получаем:

т.е. ряд сходится, что противоречит условию о расходимости ряда. 

Свойство 2.  Если сходится ряд и сходится ряд

А их суммы равны  и соответственно, то сходятся и ряды

,

причем сумма каждого равна соответственно . 

Обозначим n-е частичные суммы рядов , и через , и соответственно. Тогда

т.е. каждый из рядов сходится, и сумма его равна соответственно.

Из свойства 2 вытекает, что сумма (разность) сходящегося  и расходящегося рядов есть расходящийся ряд. 

Свойство 3. Если к ряду прибавить (или отбросить) конечное число членов, то полученный ряд и ряд сходятся или расходятся одновременно. 

Обозначим через  S сумму отброшенных членов, через k – наибольший из номеров этих членов. Чтобы не менять нумерацию оставшихся членов ряда, будем считать, что на месте отброшенных членов поставили нули. Тогда при n>k будет выполняться равенство , где – это n-я частичная сумма ряда, полученного из ряда путем отбрасывания конечного числа членов. Поэтому

+ . Отсюда следует, что пределы в левой и правой частях одновременно существуют или не существуют, т.е. ряд сходится (расходится) тогда и только тогда, когда сходятся (расходятся) ряды без конечного числа его членов.

Аналогично рассуждаем в случае приписывания к ряду конечного числа членов.

Ряд

=

называется n-м остатком ряда . Он получается из ряда отбрасыванием n первых его членов. Ряд получается из остатка добавлением конечного числа членов. Поэтому, согласно свойству 3, ряд и его остаток =

 одновременно сходятся или расходятся.

Из свойства 3 также следует, что если ряд  сходится, то его остаток стремится к нулю при ,  т.е.  

Ряд геометрической прогрессии  

Исследуем сходимость ряда

,

который называется рядом геометрической прогрессии. Ряд часто используется при исследовании рядов на сходимость.

Как известно, сумма  первых n членов прогрессии находится по формуле . Найдем предел этой суммы:

.

Рассмотрим следующие  случаи в зависимости от величины q:

1. Если , то при . Поэтому , ряд сходится, его сумма равна ;
2. Если , то при . Поэтому , ряд расходится;
3. Если , то при q=1 ряд принимает вид

  a+a+a+…+a+…, для него и , т.е. ряд

расходится; при  q=-1 ряд принимает вид

а – а + а – а +...- в этом случае при четном n и при нечетном n. Следовательно, не существует, ряд расходится.

Необходимый признак сходимости числового ряда.

Гармонический ряд. 

Нахождение  n-й частичной суммы и ее предела для произвольного ряда во многих случаях является непростой задачей. Поэтому для выяснения сходимости ряда устанавливают специальные признаки сходимости. Первым из них, как правило, является необходимый признак сходимости. 

Теорема.

Если ряд  сходится, то его общий член стремится к нулю, т.е. . 

Пусть ряд  сходится и . Тогда и . Учитывая, что при n>1, получаем:

. 

Следствие (достаточное условие расходимости ряда)

Если или этот предел не существует, то ряд расходится. 

Действительно, если бы ряд сходился, то (по теореме) . Но это противоречит условию. Значит, ряд расходится. 

Теорема о сходимости дает необходимое условие сходимости ряда, но не достаточное: из условия  не следует, что ряд сходится. Это означает, что существуют расходящиеся ряды, для которых .

В качестве примера  рассмотрим так называемый гармонический ряд

Очевидно, что . Однако ряд расходится.

Как известно, . Отсюда следует, что при любом имеет место неравенство . Логарифмируя это неравенство по основанию е, получим:

,

т.е. ,

Подставляя в  полученное неравенство поочередно n=1, 2, …, n – 1, n, получим:

Сложив почленно эти неравенства, получаем . Поскольку , получаем , т.е. гармонический ряд расходится. 
 

Достаточные признаки сходимости знакопостоянных  рядов. 

Необходимый признак  сходимости не дает возможности судить о том, сходится ли данный ряд или  нет. Сходимость и расходимость ряда во многих случаях можно установить с помощью так называемых достаточных признаков.

Рассмотрим некоторые  из них для знакоположительных рядов, т.е. рядов с неотрицательными членами. 

Признаки  сравнения рядов. 

Сходимость или  расходимость знакоположительного ряда часто устанавливают путем сравнения его с другим рядом, о котором известно, сходится он или нет. В основе такого сравнения лежат следующие теоремы. 

Теорема1.

Пусть даны два  знакоположительных ряда

и

Если для всех n выполняется неравенство

,

то из сходимости ряда следует сходимость ряда , из расходимости ряда следует расходимость ряда . 

Обозначим n-е частичные суммы рядов и соответственно через и . Из неравенства следует, что

Пусть ряд сходится и его сумма равна . Тогда . Члены ряда положительны, поэтому и, следовательно, с учетом неравенства . таким образом, последовательность ( ) монотонно возрастает ( ) и ограничена сверху числом . По признаку существования предела последовательность имеет предел , т.е. ряд сходится.

Пусть теперь ряд расходится. Так как члены ряда неотрицательны, в этом случае имеем . Тогда с учетом неравенства получаем , т.е. ряд расходится. 

Теорема2(предельный признак сравнения)

Пусть даны два знакоположительных ряда и . Если существует конечный, отличный от 0, предел , то ряды сходятся или расходятся одновременно. 

По определению предела последовательности для всех n, кроме, возможно, конечного числа их, для любого выполняется неравенство , или .

Если ряд  сходится, то из левого неравенства и теоремы1 вытекает, что ряд также сходится. Но тогда, согласно свойству1 числовых рядов, ряд сходится.

Если ряд  расходится, то из правого неравенства , теоремы1, свойства 1 вытекает, что ряд расходится.

Аналогично, если ряд  сходится (расходится), то сходящимся (расходящимся) будет и ряд . 
 
 
 
 

Признак Даламбера 

В отличии от признаков сравнения признак  Даламбера позволяет часто решить вопрос о сходимости ряда, проделав лишь некоторые операции над самим  рядом. 

Теорема

Пусть дан ряд  с положительными членами и существует конечный или бесконечный предел .

Тогда ряд сходится при l<1 и расходится при l>1. 

Так как  , то по определению предела для любого найдется натуральное число N такое, что при n>N выполняется неравенство

 или .

Пусть l<1. Можно подобрать так, что число , . Обозначим , . Тогда из правой части неравенства получаем , или . В силу свойства 3 числовых рядов можно считать, что для всех n=1, 2, 3,… Давая номеру n эти значения, получим серию неравенств:

т.е. члены ряда меньше соответствующих членов ряда , который сходится как ряд геометрической прогрессии со знаменателем 0<q<1. Но тогда, на основании признака сравнения, сходится ряд , следовательно, сходится и исходный ряд .

Пусть l>1. В этом случае . Отсюда следует, что начиная с некоторого номера N, выполняется неравенство , или , т.е. члены ряда возрастают с увеличением номера n. Поэтому . На основании следствия из необходимого признака ряд расходится.

Если l=1, то ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся. 
 
 

Радикальный признак Коши 

Теорема.

Пусть дан ряд с положительными членами и существует конечный или бесконечный предел . Тогда ряд сходится при и расходится при . 

Как и для  признака Даламбера, в случае, когда  l=1, вопрос о сходимости ряда остается открытым. Доказательство теоремы аналогично доказательству признака Даламбера. 
 

Интегральный  признак Коши

Обобщенный  гармонический ряд 

Теорема.

Если члены  знакоположительного ряда могут быть представлены как числовые значения некоторой непрерывной монотонно убывающей на промежутке функции так, что , то: