Числовая последовательность

Бесконечно малые  последовательности отличаются целым рядом замечательных свойств, которые активно используются в математическом анализе, а также в смежных с ним и более общих дисциплинах.

• Сумма двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
• Разность двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
• Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
• Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность.
• Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
• Любая бесконечно малая последовательность ограничена.
• Если стационарная последовательность является бесконечно малой, то все её элементы, начиная с некоторого, равны нулю.
• Если вся бесконечно малая последовательность состоит из одинаковых элементов, то эти элементы — нули.
• Если (x_n) — бесконечно большая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность (1 / x_n), которая является бесконечно малой. Если же (x_n) всё же содержит нулевые элементы, то последовательность (1 / x_n) всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера n, и всё равно будет бесконечно малой.
• Если (α_n) — бесконечно малая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность (1 / α_n), которая является бесконечно большой. Если же (α_n) всё же содержит нулевые элементы, то последовательность (1 / α_n) всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера n, и всё равно будет бесконечно большой.

Сходящиеся и расходящиеся последовательности

• Сходящаяся  последовательность — это последовательность элементов множества X, имеющая предел в этом множестве.
• Расходящаяся последовательность — это последовательность, не являющаяся сходящейся.

Свойства сходящихся последовательностей

• Всякая  бесконечно малая последовательность является сходящейся. Её предел равен нулю.
• Удаление любого конечного числа элементов из бесконечной последовательности не влияет ни на сходимость, ни на предел этой последовательности.
• Любая сходящаяся последовательность элементов хаусдорфова пространства имеет только один предел.
• Любая сходящаяся последовательность ограничена. Однако не любая ограниченная последовательность сходится.
• Последовательность сходится тогда и только тогда, когда она является ограниченной и при этом её верхний и нижний пределы совпадают.
• Если последовательность (x_n) сходится, но не является бесконечно малой, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность (1 / x_n), которая является ограниченной.
• Сумма сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
• Разность сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
• Произведение сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
• Частное двух сходящихся последовательностей определено, начиная с некоторого элемента, если только вторая последовательность не является бесконечно малой. Если частное двух сходящихся последовательностей определено, то оно представляет собой сходящуюся последовательность.
• Если сходящаяся последовательность ограничена снизу, то никакая из её нижних граней не превышает её предела.
• Если сходящаяся последовательность ограничена сверху, то её предел не превышает ни одной из её верхних граней.
• Если для любого номера члены одной сходящейся последовательности не превышают членов другой сходящейся последовательности, то и предел первой последовательности также не превышает предела второй.
• Если все элементы некоторой последовательности, начиная с некоторого номера, лежат на отрезке между соответствующими элементами двух других сходящихся к одному и тому же пределу последовательностей, то и эта последовательность также сходится к такому же пределу.
• Любую сходящуюся последовательность (x_n) можно представить в виде (x_n) = (a + α_n), где a — предел последовательности (x_n), а α_n — некоторая бесконечно малая последовательность.
• Всякая сходящаяся последовательность является фундаментальной. При этом фундаментальная числовая последовательность всегда сходится (как и любая фундаментальная последовательность элементов полного пространства).

Монотонные последовательности

Основная  статья: Монотонная последовательность

Монотонная  последовательность — это невозрастающая, либо неубывающая последовательность. При этом предполагается, что на множестве, из которого берутся элементы последовательности, введено отношение порядка.

Фундаментальные последовательности

Основная  статья: Фундаментальная последовательность

Фундаментальная последовательность (сходящаяся в себе последовательность, последовательность Коши) — это последовательность элементов метрического пространства, в которой для любого наперёд заданного расстояния найдётся такой элемент, расстояние от которого до любого из следующих за ним элементов не превышает заданного. Для числовых последовательностей понятия фундаментальной и сходящейся последовательностей эквивалентны, однако в общем случае это не так. 
 

Литература

• В. А. Зорич Глава III. Предел. § 1. Предел последовательности // Математический анализ, часть I. — М.: Наука, 1981. — С. 104 — 114. — 544 с.
• Ю.С.Богданов - "Лекции по математическому анализу" - Часть 2 - Минск - Издательство БГУ им. В.И.Ленина - 1978.