Численный анализ дисперсионных зависимостей для различных сред c использованием математического пакета Mathcad

     Групповая скорость — это кинематическая характеристика диспергирующей волновой среды, обычно интерпретируемая как скорость перемещения максимума амплитудной огибающей узкого квазимонохроматического волнового пакета. Для одномерных волн эта скорость вычисляется из закона дисперсии:

      ,

     где ω — угловая частота, k — волновое число. Групповая скорость плоских и пространственных волн с дисперсией определяется градиентом по волновому вектору :

       

       
 

Рис. 2 Дисперсия водных волн.

В данном случае фазовая скорость в два раза превышает  групповую.

     В одномерных средах без дисперсии  групповая скорость формально совпадает  с фазовой скоростью лишь в случае одномерных волн.

     Если  дисперсионные свойства среды таковы, что волновой пакет распространяется в ней без существенных изменений формы своей огибающей, групповая скорость обычно может быть интерпретирована как скорость переноса «энергии» волны и скорость, с которой могут быть переданы с помощью волнового пакета сигналы, несущие информацию, (то есть «скорость распространения причинности»).

     В классическом пределе квантовомеханических уравнений скорость классической частицы  представляет собой значение групповой скорости соответствующей квантовомеханической волновой функции. Одно из пары канонических уравнений Гамильтона:

     

     — есть, таким образом, классический предел приведенного выше выражения для  групповой скорости; это особенно ясно в декартовых координатах, учитывая

Численный анализ дисперсионных  зависимостей для  различных сред c использованием математического пакета Mathcad 

     

     

Решим уравнение относительно . Имеем

      , ,  .

     При численном анализе рассматривались размерные параметры упругой пластины Кирхгофа - плотность жидкости , - плотность упругой пластины, - толщина слоя жидкости, - толщина пластины, -модуль Юнга, - коэффициент Пуассона.

где    , 

      , 

        ,

       , 

       , 

      , 

     

                              

     Построены графические зависимости для различных параметров жидкости и пластины: 

 
 
 
 
     

 
 
 
 
     

 
     

 
 
 

     Рис.1-Дисперсионные  кривые для d:=0.011773940 и ρ:=0.21765 
 
 

     

 

     Рис.2-Дисперсионные  кривые для d:=0.002242655 и ρ:=0.0109 

     

 

     Рис.3-Дисперсионные кривые для d:=0.00018838 и ρ:=0.10522 
 

     

 
 

     Рис.4-Дисперсионные  кривые для d:=0.00003516 и ρ:=0.0387

     

 

     Рис.5-Дисперсионные  кривые для d:=0.011538462 и ρ:=0.100997 
 

Исследование  групповых скоростей

 

       

                                                     Рис.1

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

                                               Рис.2

Список  используемой литературы: 

1. В.А. Охорзин. Прикладная математика в системе MATHCAD Учебное пособие. 3-е изд. СПб.: Лань, 2009.
2. В.Ф. Очков. Mathcad 12 для студентов и инженеров. С.-Пб.: БХВ-Петербург, 2005.

3. П. Дьяконов. Mathcad 8-12 для всех. М.: Солон-Пресс, 2005.