Частные производные

     Список  литературы  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПРЕМЕННЫХ.

     Переменная  z называется  функцией двух независимых переменных x и y, если некоторым парам значении x и y по какому – либо правилу или закону ставится в соответствие определенное  значение z.

     Множество G пар значений x и y, которые могут принимать переменные x и y, называется областью определения функции, а множество всех значений, принимаемых z в области определения, - областью значений функции z. Переменные x и называются аргументами функции.

     Пара  чисел x и y определяет положение точки M на плоскости xOy с координатами x и y. Поэтому функцию двух переменных можно рассматривать либо как функцию двух переменных можно рассматривать как функцию точки M , либо как скалярную функцию векторного аргумента .

     Каждой  тройке (x; y; z) в пространстве Oxyz соответствует точка M(x; y; z). Совершенно аналогично случаю двух переменных можно дать определение функции трех переменных . Областью определения функции трех переменных будет все пространство или его часть.

     Аналогично  можно дать определение функции  четырех и более переменных. 

2. Предел  функции двух переменных.

     Множество точек M(x; y), координаты x и y которых удовлетворяют неравенству или называется δ-окрестность точки . 

     Определение. Число A называет пределом функции при стремлении точки M к точке , если для любого ε>0 существует  такое δ>0, что для всех точек M из области определения этой функции, удовлетворяющих условию имеет место неравенство . Обозначают это так: или  

     Функция называется бесконечно малой при если  

3.   Непрерывность функции двух переменных.

     Пусть точка  принадлежит области определения . Определение. Функция называется непрерывной в точке если

       или  причем точка M стремится к M₀ произвольным образом, оставаясь  в области определения функции.

     Обозначим , . Полным приращением при переходе от точки , к точке M называется разность значении функции в этой точке , т.е.  
 

2. Частные производные.

     2.1     Частные производные. 

             Частной производной функции нескольких переменных по какой-нибудь переменной в рассматриваемой точке называется обычная производная по этой переменной, считая другие переменные фиксированными (постоянными). Например, для функции двух переменных в точке частные производные определяются так:

      ,

           , 

     если  эти пределы существуют. Величина                        называется частным                          приращением функции z в точке по аргументу . Используются и другие   обозначения частных производных:

                 ,  ,      ,       ,

                 , ,      ,       .

           Символы , , ,    как дроби трактовать нельзя (в этом отличие от случая одной переменной).

           Из определения следует геометрический смысл частной производной функции двух переменных: частная производная - угловой коэффициент касательной к линии пересечения поверхности  и плоскости                        в соответствующей точке.

            Пользуясь понятием скорости  изменения переменной, можно сказать,  что частная производная  есть скорость изменения функции относительно при постоянном .

            Из определения частных производных  следует, что правила вычисления  их остаются теми же, что для  функций одной переменной, и только  требуется помнить, по какой переменной ищется производная.

           Пример 1. Если  , то , .

           Пример 2. Если  , то , . Величина называется изотермическим коэффициентом упругости идеального газа.

           Аналогично определяются и обозначаются  частные производные функции  трех и большего числа независимых  переменных.

2. Полный дифференциал.

           .                                              (1)

           Если приращение (1) можно представить  в виде       ,                                                        (2)

     Где Аи В не зависят от и , а и стремятся к нулю при стремлении к нулю и , то функция называется дифференцируемой в точке , а линейная часть приращения функции (т.е. та часть , которая зависит от  и линейно) называется полным дифференциалом (или просто дифференциалом) этой функции в точке и обозначается символом :

                                        .                                                                      (3)

          Из определения дифференцируемости функции следует, что если данная функция дифференцируема в точке , то она в этой точке непрерывна.

          Действительно, если в точке функция дифференцируема, то для этой точки   представимо в форме (2), откуда следует, что

                                        ,

     а это и означает, что в точке  функция непрерывна.

           Из дифференцируемости функции в данной точке следует существование ее частных производных в этой точке (необходимое условие дифференцируемости).

           В самом деле, пусть функция  в точке дифференцируема. Тогда имеет место соотношение (2). Полагая в нем , имеем:

                                          .

     Деля  на и переходя к пределу при , получаем:

                                          .

     Это означает, что в точке  существует частная производная функции по и .                                                                                   (4)

           Аналогично доказывается, что в  точке    существует частная производная                        

                                            .                                                                             (5)

           Используя формулы  (4) и (5), можно  переписать выражение (3) в виде

                                           .

            Если положить  , то , т.е. . Аналогично, полагая , получим . Значит, дифференциалы независимых переменных совпадают с приращениями этих переменных, и можно записать дифференциал (3) в следующем виде: .

           Теорема (достаточное условие дифференцируемости). Если функция имеет частные производные в некоторой окрестности точки и эти производные непрерывны в самой точке , то эта функция дифференцируема в точке .

           Доказательство. Дадим переменным и столь малые приращения  и , чтобы точка не вышла за пределы указанной окрестности точки . Полное приращение можно записать в виде .

     Каждая  из этих разностей представляет частное  приращение функции. Преобразует каждую из этих разностей по формуле Лагранжа. Получим:

                               (6)

           Так как производные  и непрерывны в точке , то

      ,

     Отсюда 

       , , где   и - бесконечно малые при , . Подставляя эти значения в равенство (6), находим:

              ,

     а это и означает, что функция  дифференцируема в точке . 
 

     2.3 Производные и  дифференциал сложной  функции. 

           Пусть , где , . Тогда в конечном итоге z будет функцией одной переменной t. Предположим, что , непрерывны и , существуют. Найдем .  Дадим переменной t приращение . Тогда x, y, а следовательно, и z получат свои приращения , и . В силу достаточного условия дифференцируемости

              ,

     откуда 

              .

     Устремим  теперь к нулю. Тогда и будут стремиться к нулю, так как функции x и y непрерывны (мы предположили существование производных и ), а потому и будут стремиться к нулю. В пределе получим:

                           ,

     или, короче,

               .                                                                                (7)

             Формула (7) называется формулой производной сложной функции.

                    Пример 1. Пусть , , . По формуле (7) имеем:

                             .

                Предположим, в частности, что роль независимой переменной играет, т.е. рассмотрим функцию , где . Согласно формуле (7) будем иметь:

                             ,                                                                                    (8)

     так как  . В формуле (8) - частная производная по первому аргументу функции двух переменных , а - обычная производная сложной функции одной переменной x: . Последнюю производную будем называть полной производной функции. В случае, когда , где , аналогично получает:

     ( - частная производная по второму аргументу функции , - полная производная функции одной переменной y: ).

                 Пусть теперь  , ( здесь предполагается существование первых производных функций  , по и ). В этом случае z будет функцией двух независимых переменных  и . Следовательно, для этого случая формулу (7) нужно переписать в виде

                            .                                                                               (9)

     Аналогично 

                            .                                                                              (10)

              Пример 2. Если  , где , от , .

              Из формул (9) и (10) видно, что символ частной производной, как уже отмечалось выше, нельзя трактовать как дробь. В самом деле, если бы можно было сократить на и , то из формул (9) и (10) получили бы, что

                               и . 
 

3. Неявные функции и их дифференцирование.

              Если уравнение, с помощью которого  задается функция одной переменной  x, не разрешено относительно y, то эта функция называется неявной. Разрешая это уравнение относительно y, мы получаем ту же функцию, но уже заданную в явной форме. Однако часто бывает, что разрешить такое уравнение относительно y невозможно (например, ) или нецелесообразно; в этом случае уравнение так и оставляют неразрешенным, в общем виде (когда все его члены перенесены в левую часть):

                            .                                                                                        (11)

     В связи с этим встает вопрос о том, как найти производную неявной функции, не разрешая уравнения (11) относительно у.

              Если в уравнении (11), определяющем  неявную функцию  , задавать значения независимой переменной х, то для нахождения соответствующего значения у надо решать уравнение. Теперь, если в это уравнение подставить его решение, то получится тождество. Поэтому можно сказать также, что неявная функция , определенная уравнением (11), - это такая функция, которая, будучи подставлена в уравнение (11), обращает его в тождество. Дифференцируя это тождество по x согласно правилу дифференцирования сложной функции, получим:

                    .

               Отсюда при  вытекает формула для производной неявной функции

                     .                                                                                       (12) 
 

                Пример 1. Пусть y как функция от x задана соотношением . Найти .

                Для  имеем: , и согласно формуле (12)

                     . 
 

                    Пусть уравнение                                                                   (13)

     Определяет  z как неявную функцию независимых переменных xи y.

     Пользуясь формулой (12), из равенства (13) имеем:

                      , .                                                                            (14) 
 

                 Пример 2. Найти частные производные  неявной функции z, заданной уравнением .

                 Согласно формулам (14)

                        ,  
 

3. Частные производные и  дифференциалы высших порядков.

1. Частные производные высших порядков.

               Частные производные функции нескольких переменных сами являются функциями этих переменных и могут иметь частные производные. Для исходной функции эти последние производные будут частными производными второго порядка. Так, для функции двух независимых переменных можно определить (предполагается, что все производные существуют) четыре частные производные второго порядка, которые обозначаются символами

               ,         ,

               ,       .

       Частные производные  и , отличающиеся порядком дифференцирования, называются смешанными частными производными второго порядка.

                 Аналогично определяются частные производные третьего, четвертого и старших порядков.

                Пример. Найти частные производные  второго порядка функции .

     Имеем:

                              , ,,

      , , , .

     Здесь = . Оказывается, имеет место следующая теорема.

                Теорема. Смешанные производные второго порядка равны, если они непрерывны: = .

                 Следствие. Смешанные производные высших порядков равны, если они непрерывны и получены в результате дифференцирования по одним и тем же переменным одинаковое число раз, но может быть в разной последовательность.

                 Покажем это на примере:

                             ,

     т.е.

                            .

     Здесь мы дважды пользовались только что  отмеченной теоремой: первый раз применительно к функции  (мы изменили порядок ее дифференцирования), второй раз использовали равенство = . В общем случае схема рассуждений аналогична. 

2. Признак полного дифференцирования.

                    Выясним, при каких условиях  выражение  ,             (1)

     где и непрерывны и вместе со своими частными производными первого порядка, является полным дифференциалом некоторой функции , или, кратко, полным дифференциалом.

                  Теорема. Выражение (1) есть полный дифференциал тогда и только тогда, когда выполнено равенство

                                               . 
 

     3.3. Дифференциалы высших  порядков. 

                  Заметим прежде всего, что для  функции нескольких переменных  справедливы те же общие правила  дифференцирования, что и для  функции одной переменной:

     I.    , .

     II. .

     III. .

     IV. .

                  Пусть имеется функция независимых переменных xи y, обладающая непрерывными частными производными второго порядка. Рассмотрим ее полный дифференциал

     (dx и dy – произвольные приращения), который назовем полным дифференциалом первого порядка (или, кратко, первым дифференциалом).

                  Так как  и по предложению имеют непрерывные частные производные первого порядка, то от функции , в свою очередь, можно взять полный дифференциал . Так получим полный дифференциал второго порядка (или, кратко, второй дифференциал), который обозначается .

                   Аналогично, потребовав существование  непрерывных частных производных третьего, четвертого, п-го порядков, можно получить полные дифференциалы соответственно третьего, четвертого, п-ого порядков.

                    Найдем выражения для второго  дифференциала через частные  производные. Пользуясь правилами  I, III (dx и dy не зависят от x и y, т.е. рассматриваются как постоянные) и приведенной в п. 3.1 теоремой, можно записать:

                                                                                                                                                            (2)

     (здесь  , ).

     Формула (2) обобщается на случай дифференциала  п-го порядка.