Арифметичні та алгебраїчні задачі

Відповідь

Ясно, що всі вказані суми повинні рівнятися 26. Одне з численних рішень наведено на малюнку.

 

3.2 «Сліди на снігу». Чотири школяра, що живуть відповідно в будинках А, В, С і D, відвідують різні школи. Одного ранку після бушуючої всю ніч хуртовини особливо добре було видно, що сліди чотирьох хлопчиків ніде не перетинають один одного і не виходять за межі квадрата. Візьміть олівець і продовжите їх шляхт так, щоб хлопчик А потрапив в школу А, хлопчик В - у школу B і т. д. і щоб ці шляхи не перетиналися.

Відповідь

Рішення зрозуміло з малюнка

 

 

 

3.3 «Шлях мухи». Муха сіла на лівий верхній квадрат шахової дошки, а потім проповзла по всім білим квадратам. При цьому вона жодного разу не заповзла на чорний квадрат і не пройшла по одному і тому ж перетинанню (де перетинаються вертикальна і горизонтальна лінії) більше одного разу.

 

Не могли б ви накреслити шлях мухи? Його можна проробити, рухаючись 17 прямими курсами.

Відповідь

 

На малюнку показаний шлях, що задовольняє всім заданим умовам.

3.4 «Подаровані картини». У багатого колекціонера було 10 цінних картин. Йому захотілося зробити одному музею подарунок, але колекціонер ніяк не міг збагнути, скількома варіантами подарунка він може їх подарувати: адже подарувати можна будь-яку одну картину, будь-які дві, будь-які три картини і т. д., можна навіть подарувати всі десять картин.

Відповідь

Помножте 2 стільки разів на себе, скільки всього картин, і відніміть 1. Так, 2 в десятій степені дорівнює 1024. Віднімаючи 1, ми отримуємо 1023 - правильну відповідь. Припустимо, що у нас тільки три картини. Тоді одну з них можна вибрати трьома способами, дві - теж трьома способами і три - одним, що в сумі дає 7 способів. Але 7 якраз і дорівнює 23 - 1.

3.5 «Семеро дітей». Чотири хлопчики і три дівчинки сідають випадковим чином в один ряд.

Яка ймовірність того, що дві дитини на кінцях ряду виявляться дівчатками?

Відповідь

Діти можуть сісти 5040 різними способами, з них у 720 випадках на обох кінцях виявляться дівчинки. Отже, шукана ймовірність дорівнює . Це, зрозуміло, можна висловити по-іншому, сказавши, що є 1 шанс проти 6 за те, що на кінцях виявляться дівчинки.

 

4. Головоломки з сірниками

 

4.1 «Головоломка з сірниками». Взявши коробку сірників, виявлено, що можна скласти з них будь-яку пару правильних багатокутників, зображених на малюнку, причому на це кожен раз йдуть всі сірники. Так, якщо б було 11 сірників, можна було би з них скласти, як показано, або трикутник і п'ятикутник, або п'ятикутник і шестикутник, або квадрат і трикутник (витративши на трикутник тільки 3 сірники); але з 11 сірників не можна скласти ні трикутник з шестикутником, ні квадрат з п'ятикутником, ні квадрат з шестикутником. Зрозуміло, на кожну сторону фігури повинна піти однакова кількість сірників.

Яке найменше число сірників може бути у коробці?

Відповідь

Найменше можливе число дорівнює 36 сірникам. Ми можемо скласти трикутник і квадрат з 12 і 24 сірників, трикутник і п'ятикутник - з 6 і 30 сірників, трикутник і шестикутник - з 6 і 30 сірників, квадрат і п'ятикутник - з 16 і 20 сірників, квадрат і шестикутник - з 12 і 24 сірників, а п'ятикутник і шестикутник - з 30 і 6 сірників. Ці пари чисел можна варіювати у всіх випадках, за винятком четвертого і останнього. Загальне число сірників не може бути менше 36. Для трикутника і шестикутника потрібно взяти число сірників, яке ділиться на 3; на квадрат і шестикутник йде парне число сірників. Отже, шукане число повинне знаходитися серед чисел, що діляться на 6, таких, як 12, 18, 24, 30, 36, але менше ніж з 36 сірників не можна скласти п'ятикутник і шестикутник.

 

 

4.2 «Хитромудра головоломка з сірниками». Покладіть 6 сірників, як показано на малюнку, і потім пересуньте однин із них, не торкаючись інших, так, щоб вийшов арифметичий дріб, що дорівнює 1. Сірник, що зображає горизонтальну межу дробу, чіпати не можна.

 

 

Відповідь

Слід пересунути другу I в VII так, щоб вийшов знак квадратного кореня. Корінь квадратний з 1 дорівнює, зрозуміло, 1, отже, отриманий дріб дорівнює 1.

 

 

5. Різні головоломки

5.1 «Просте» додавання». Чи можете ви показати, що чотири плюс шість одно одинадцяти?

Відповідь 

Додайте IV, перевернуте «догори ногами», до VI, і ви отримаєте XI.

5.2 «Календарна головоломка». При наших нинішніх календарних правилах перший день сторіччя ніколи не зможе припасти на неділю, середу або п'ятницю. Спробуйте пояснити цю таємницю найпростішим чином.

Відповідь

Кожен рік, що ділиться на 4, є високосним, за винятком тих років, які діляться на 100; із цих останніх високосними будуть тільки ті, які діляться на 400, а ті, що залишилися, не є високосними. Зазвичай цю обставинау не беруть до уваги. Так, 1800 р. не був високосним, не був ним і 1900 р.; однак 2000, 2400, 2800 рр.. і т. д. будуть високосними. Першим днем ​​нашого століття був вівторок 1 січня 1901 р.

У нашому столітті всього 25 високосних років, оскільки 2000 високосний. Отже, він містить 36 525 (365 × 100 + 25) днів, або 5217 тижнів і 6 днів; тому 1 січня 2001 настане на 6 днів пізніше вівторка. Століття, що починається 1 січня 2001 р., буде містити тільки 24 високосних роки, оскільки 2100 невисокосний, і 1 січня 2101 настане на 5 днів пізніше понеділка, тобто в суботу, оскільки в цьому столітті буде 5217 тижнів і тільки 5 зайвих днів. Результати:

1 січня 1901 - вівторок

1 січня 2001 - понеділок. На 6 днів пізніше (2000 р. високосний)

1 січня 2101 - субота. На 5 днів пізніше

1 січня 2201 - четвер. На 5 днів пізніше

1 січня 2301 - вівторок. На 5 днів пізніше

1 січня 2401 - понеділок. На 6 днів пізніше (2400 високосний)

Таким чином, ми бачимо, що перші дні послідовних століть циклічно повторюються в порядку: вівторок, понеділок, субота, четвер; тому вони ніколи не припадуть на неділю, середу або п'ятницю.