Арифметичні та алгебраїчні задачі

ВСТУП

 

За словами відомого математика Андре Вейля, «в математиці, так само як у музиці, літературі та більшості інших областей людської діяльності, термін «класичний» може розумітися в суто хронологічному сенсі. Тоді він позначає щось, що передує всьому, що прийнято називати «сучасним», і може бути використаний для опису і глибокої давнини, і досягнень минулого року. Іноді ж до цього терміну вдаються для того, щоб похвалити ту чи іншу роботу, яка, на думку мовця, може мати неминуще значення».

До задач Генрі Ернеста Дьюдені в рівній мірі можна застосувати обидва тлумачення Вейля. Ці завдання, або, як їх вважав за краще називати сам Дьюдені, головоломки, безумовно належать до числа класичних, якщо підходити до їх оцінки з хронологічними масштабами: понад півстоліття відділяє нас від того часу, коли була створена сама «юна» з них. Настільки ж безперечно заслуговують вони і епітета «класичні», що розуміється в другому значенні. І це не просто похвала: головоломки Дьюдені міцно ввійшли в золотий фонд цікавої математики. Вони користуються настільки широкою популярністю, що часом їх творець залишається незаслужено забутим! Марно стали б ми шукати статті про Дьюдені в біографічних словниках і довідниках і лише в «Біографічному словнику Вебстера» зустріли б згадку про Генрі Е. Дьюдені, але - на жаль! - Не про містера, а про місіс Дьюдені - дружину прославленого майстра головоломок, колись відому письменницю, автора понад тридцяти романів. Тим часом яскрава і своєрідна особистість Генрі Е. Дьюдені не може не зацікавити шанувальників його таланту.

Генрі Ернест Дьюдені народився 10 квітня 1857 р. на півдні Англії, в графстві Суссекс. Його дід був простим пастухом і великим любителем математики, яку він вивчав самостійно, а згодом навіть викладав, ставши шкільним вчителем в невеликому містечку Льюіс, неподалік від Лондона. Учителем був і батько Генрі. Самому Дьюдені також не довелося вивчати математику в коледжі. Як і його дід, він був талановитим самоуком.

Свої перші невеликі завдання Г. Дьюдені почав публікувати в різних журналах, спочатку під псевдонімом «Сфінкс», а потім під власним прізвищем. Протягом двадцяти років Г. Дьюдені вів розділ математичних розваг в популярному щомісячнику «Strand Magazine».

У 1907 р. вийшла в світ перша книга Г. Дьюдені «Кентерберійські головоломки», що згодом неодноразово перевидавалася. За нею послідували «Математичні розваги» (1917), «Кращі головоломки зі всього світу» (1925) та «Сучасні головоломки» (1926). Посмертно (Г. Дьюдені помер 24 квітня 1930 р.) вийшли ще дві збірки головоломок: «Цікаві завдання й головоломки» (1931) і «Копальні головоломок» (1935).

Важливу роль у житті Г. Дьюдені зіграло дружнє суперництво з іншим відомим майстром головоломок - американцем Семом Лойд. Дьюдені і його заокеанський колега вели жваве листування і навіть, за визнанням самого Дьюдені, уклали неофіційну угоду про обмін ідеями. В утворенному «трансатлантичному тандемі» Г. Дьюдені часто виконував роль генератора ідей, тоді як Сем Лойд був особливо сильний в «белетризації» завдань і вигадуванні помітних назв. На жаль, Лойд ніколи не посилався на джерела, на відміну від Дьюдені, незмінно називав тих, хто повідомив йому хоча б ідею задачі. Перевагу Дьюдені-математика визнавав і сам Лойд (в архіві Дьюдені збереглися листи, в яких Лойд просить допомогти йому у вирішенні деяких складних головоломок).

Особливого мистецтва Г. Дьюдені досяг у вирішенні геометричних задач на розрізання. Зокрема, йому вдалося розрізати квадрат на чотири частини, з яких можна скласти рівносторонній трикутник. З доповіддю про це завдання Г. Дьюдені виступав перед членами Королівського математичного товариства.

Дьюдені по праву користувався репутацією блискучого знавця магічних квадратів та інших комбінаторних задач. Йому належить стаття про магічні квадрати, яка опублікувана в чотирнадцятому виданні «Британської енциклопедії».

Один з найбільш плідних авторів у своїй області, творець сотень першокласних головоломок, Генрі Дьюдені виступав і як теоретик цікавої математики. Його перу, зокрема, належить стаття «Психологічна сторона захоплення головоломками», опублікована в грудневому номері журналу Nineteenth Century Magazine за 1926 р.

Інтереси Г. Дьюдені аж ніяк не вичерпувалися математикою. Він добре грав у шахи і ще краще вирішував шахові задачі, захоплювався більярдом і міг годинами грати в крикет. Правда, його манера гри була дещо екстравагантною: використовуючи свої пізнання в математиці і доскональне знайомство з рельєфом галявини, на якій розігрувалися крикетні баталії, Дьюдені любив вражати уяву своїх партнерів безглуздими (зрозуміло, лише на перший погляд) ударами. Втім, незабаром з'ясувалося, що кулі, послані, здавалося б, в невірному напрямі, як не дивно, потрапляють в потрібні ворітця.

Дружина Дьюдені, Еліс, відгукувалася про свого чоловіка як про блискучого піаніста і органиста. Він глибоко вивчав старовинний хоровий спів і навіть керував церковним хором. Палкий шанувальник Вагнера, Дьюдені самостійно переклав усі його твори для фортепіано.

Складання і рішення головоломок було для Дьюдені не просто професією, а й покликанням, справою життя. Якщо цікава ідея приходила йому в голову за обідом, він міг малювати геометричні фігури прямо на скатертині. Якось, переглядаючи газети, Дьюдені наткнувся на шифроване послання, в якому якийсь чоловік умовляв юну дівчину зустрітися з ним потайки від батьків. Розкривши шифр, Дьюдені помістив в тій же газеті на тому ж місці шифроване застереження дівчині: «Не довіряйте йому. Він замишляє недобре. Доброзичливець». Незабаром з'явилася відповідь: дівчина дякувала за своєчасно подану пораду.

Гумор і швидкість реакції присущі Дьюдені навіть у скрутних ситуаціях. Так, спіткнувшись під час прогулянки за повідець своєї собаки, яка носила дивну, явно з математичним «присмаком» кличку Випадок, і зламавши собі руку, Дьюдені зауважив: «Випадок призводить до наслідків, які нам не дано передбачити заздалегідь».

 

1. Арифметичні та алгебраїчні задачі

 

1.1 «Банківський чек». Якийсь чоловік прийшов у банк, щоб отримати гроші по чеку. Касир, оплачуючи чек, помилився і замість належних йому доларів видав таке ж число центів і відповідно замість центів - доларів. Людина, не перерахувавши гроші, поклала їх у кишеню, та ще й упустила монетку в 5 центів, а прийшовши додому, виявила, що грошей у неї рівно вдвічі більше, ніж було вказано в чеку. На яку суму був виписаний чек?

Відповідь

Чек був виписаний на суму 31 долар 63 центи. Людина отримала 63 долари 31 цент. Після втрати п'ятицентової монетки залишилося 63 долара 26 центів, що в два рази перевищує суму, вказану в чеку.

1.2 «У булочній». У булочній є три сорти булочок. На 1 цент можна купити або одну булочку першого сорту, або дві булочки другого сорту, або, нарешті, три булочки третього сорту. Діти (серед яких хлопчиків і дівчаток було порівну) отримали на покупку булочок 7 центів, причому кожній дитині відводилася з них одна і та ж сума. Скільки булочок кожного сорту купили діти, якщо ні одна булочка не була розрізана?

Відповідь

Група дітей складалася з трьох хлопчиків і трьох дівчаток. Кожна дитина отримала по дві булочки третього сорту і по одній булочці другого сорту, загальна вартість усіх булочок і складає 7 центів.

1.3 «Гра навпаки». Семеро приятелів вирішили грати в карти з не зовсім звичайними правилами. Той, хто виграє, повинен буде сплатити кожному з решти гравців стільки грошей, скільки у того було в кишені. Гравці зіграли сім партій і, як це не дивно, виграли по черзі в алфавітному порядку своїх імен, що починалися відповідно з А, В, С, D, E, F і G.

Закінчивши гру, приятелі виявили, що у кожного залишилося рівно по 1 долару 28 центів. Скільки грошей було у кожного гравця перед початком гри?

Відповідь

У гравців А, В, С, D, E, F і G перед початком гри було відповідно 4 долари 49 центів, 2 долари 25 центів, 1 долар 13 центів, 57 центів, 29 центів, 15 центів і 8 центів. Відповідь можна отримати, рухаючись від кінця завдання до початку, однак більш простий спосіб такий: 7 + 1 = 8; 2 × 7 + 1 = 15; 4 × 7 + 1 = 29 і т. д. (перші співмножники являють собою послідовні ступені двійки, тобто числа 2, 4, 8, 16, 32 і 64).

1.4 «Спадок». Один чоловік залишив своїм трьом синам і госпіталю у спадок в 1320 доларів. Якби та частина спадщини, виділена госпіталю, дісталася старшому синові, той отримав би стільки, скільки два його брати разом. Якби «госпітальна» частина спадщини додалася до спадщини середнього сина, то останній отримав би вдвічі більше обох своїх братів разом. Нарешті, якщо б ця частина спадщини дісталася молодшому синові, то той отримав би втричі більше, ніж обидва його брата разом. Скільки доларів отримав кожен із синів і яка сума була заповідана госпіталю?

Відповідь

Старший син отримав у спадок 55 доларів, середній - 275, молодший - 385 і госпіталю була заповідана сума 605 доларів, що разом складає 1320 доларів.

1.5 «Загадкова спадщина». Хтось заповідав розпорядитися сумою грошей, яка була трохи менше 1500 доларів. Таким чином, п'ятеро його дітей і нотаріус отримали такі суми, що квадратний корінь із частки старшого сина, половина частки другого сина, частка третього сина, зменшена на 2 долари, частка четвертого сина плюс 2 долари, подвоєна частка дочки і квадрат гонорару нотаріуса дорівнювали між собою. Всі спадкоємці та нотаріус отримали по цілому числу доларів, причому на виплату часткою спадщини і гонорару нотаріусу пішли всі гроші. Яка сума була залишена у спадок?

Відповідь

У спадок залишено 1464 долара (трохи менше ніж 1500). Частки кожного з п'яти дітей дорівнюють відповідно 1296, 72, 38, 34 і 18 доларам. Гонорар нотаріуса становить 6 доларів.

 

2. Геометричні завдання

 

2.1 «За допомогою одного циркуля». Чи можете ви побудувати 4 вершини квадрата за допомогою лише одного циркуля? У вас є тільки аркуш паперу і циркуль. Вдаватися до різного роду трюкам, начебто складання паперу, не дозволяється.

Відповідь

Щоб відзначити вершини квадрата за допомогою одного циркуля, спочатку малюють коло. Потім, зафіксувавши розчин циркуля і почавши з будь довільно взятої на окружності точки A, відзначають точки B, C і D. З точок A і D як з центрів розчином AC описують дві дуги, що перетинаються в точці E. Відстань EO дорівнює стороні шуканого квадрата. Отже, якщо ми зробимо з A зарубки F і G радіусом OE, то A, F, D, G і будуть шуканими вершинами квадрата.

2.2 «Чотири шашки».

 

 

 

Чотири шашки стоять на клітинах якоїсь шахової дошки (не обов'язково 8x8) точно в тому положенні, як це зображено на малюнку. Клітини дошки намальовані симпатичним чорнилом, тому їх не видно.

Скільки квадратів містить дошка і як їх відновити? Відомо, що кожна з шашок стоїть в середині свого квадрата, шашки розташовані по одній на кожній стороні дошки і що всі кути дошки вільні.

Ця головоломка дійсно важка до тих пір, поки ви не вгадаєте метод рішення; після цього отримати відповідь буде неймовірно легко.

Відповідь

З'єднаємо прямі точки A і D (див. малюнок) і побудуємо відрізок CE, перпендикулярний і рівний відрізку AD. Тоді точка E співпаде з центром одного з квадратів. Проведемо пряму EB і продовжимо її в обидві сторони. Проведемо також через C пряму FG паралельно EB, а через A і D - перпендикуляри до EB і FG. Оскільки Н є центр кутового квадрата, то, прийнявши відрізок HE за одиницю довжини, ми виявимо, що дошка має розміри 10×10.

Якби не було дано розміри шашок, то ми могли б розбити дошку на більш дрібні квадрати. Але оскільки розміри шашок видно з малюнка, подальше розбиття дошки неможливо: в більш дрібних квадратах наші шашки просто не вмістяться. Так як відстань між центрами квадратів рівна стороні квадрата, ми легко можемо відновити всю дошку, що і показано на малюнку.

2.3 «Головоломка художника». Один художник вирішив придбати полотно для мініатюри, площа якої повинна становити 72 см2. Щоб натягнути мініатюру на підрамник, зверху і знизу повинні бути смуги чистого полотна шириною 4 см, а з боків 2 см.

Які найменші розміри необхідного полотна?

Відповідь

Полотно має бути розміром 10×20 см, ширина мініатюри складе 6 см, а висота 12 см. Неважко перевірити, що надлишки при цьому виявляться такими, як потрібно за умовою завдання.

2.4 «Хрест з фішок». Розташуйте 20 фішок у формі хреста. Скільки ви нарахуєте різних випадків, коли чотири фішки самі по собі утворюють правильний квадрат?

Наприклад, квадрати утворюють фішки, складові кінці хреста, фішки, розташовані в центрі, а також фішки, які відзначені буквами А і В.

 

 

Які 6 фішок слід прибрати, щоб ніяка четвірка залишившихся фішок не розташовувалася в вершинах якого-небудь квадрата?

Відповідь

Всього таких квадратів 19. З них 9 того ж розміру, що і квадрат, поміченній літерами a, 4 того ж розміру, що і квадрат, відзначений літерами b, 4 розміру c і 2 розміру d. Якщо прибрати 6 фішок, зазначених буквою e, то з решти фішок не можна буде утворити жодного квадрата.

2.5 «Автомобіль і коло». Автомобіль їде по колу. Його колеса, розташовані з зовнішнього боку круга, рухаються удвічі швидше коліс, розташованих з внутрішньої сторони.

Чому дорівнює довжина кола, яку проходять зовнішні колеса, якщо відстань між колесами на обох осях 1,5 м?

Відповідь

Оскільки зовнішні колеса рухаються удвічі швидше внутрішніх, то довжина кола, яку вони описують, в 2 рази більше довжини внутрішнього кола. Отже, діаметр одного кола більше діаметру іншого в 2 рази. Так як відстань між колесами дорівнює 1,5 м, то діаметр більшого кола дорівнює 6 м. Помноживши 6 м на 3,1416 (звичайне наближене значення числа π), ми отримаємо 18,85 м - довжину кола більшого кола.

 

3. Комбінаторні та топологічні задачі

 

3.1 «Троянди, трилисники і чортополох». Додайте числа від 1 до 12 таким чином, щоб співпали сім їх сум: уздовж кожного з двох центральних стовпців, уздовж кожної з двох центральних рядків, по всіх чотирьох трояндам, по всіх чотирьох трилисника, по всіх будяках.