Доказательство 3):

Односторонние пределы в конечной точке и  их связь с пределом в этой точке. 

В определении  предела окрестности точки а – симметричный интервал с центром в этой точке, т.е. требуется существование значений ф-ий как справа от точки а , так и слева от нее.

Когда а – граничная точка D(f)- такая ситуация невозможна. В этом, случае вводится понятие одностороннего предела, в определении которого фигурирует левые и правые полуокрестности точки а 

- левосторонний предел, если  в левой d полуокружности точки А, значения ф-ии лежат в e-окрестности точки А  

Аналогично  дается определение правостороннего  предела.

Теорема: Для  того, чтобы в точке а существовал  предел ф-ии, необходимо и достаточно существования и равенства левостороннего и правостороннего пределов

Доказательство:

1. Необходимость:

2. Достаточность:

     Числовые  последовательности

Задача, по которой  каждому N числу, ставится в соответствие единственное вещественное число – называется числовой последовательностью. 

Числовая последовательность – ф-ия натурального аргумента.

Обозначается:

Последовательность, множество значений которой состоит  из одного числа – стационарная. 

Так как числовая последовательность – не симметричное множество, то для него не существует понятия четности, нечетности, периодичности. Зато сохраняются свойства, связанные с упорядоченностью.

  Свойства:

1. Ограниченность.
1. последовательность ограничена сверху, если
2. последовательность ограничена снизу, если
3. последовательность ограничена, если
2. Монотонность.
1. последовательность возрастает, если
2. последовательность убывает, если
3. последовательность не убывает, если
4. последовательность не возрастает, если

     Предел  последовательности

Т.к. N числа имеет 1 т. бесконечности, то для числовой последовательности существует

Замечания:

1. А может быть конечным или бесконечным

Если последовательность имеет конечный предел, то она называется сходящейся, а если нет – расходящейся.

2. Общие свойства сходящихся последовательностей аналогичны свойствам ф-ий, имеющих конечный предел.
3. Арифметические свойства сходящихся последовательностей аналогичны свойствам ф-ий, имеют конечный предел
4. Переход к пределам в неравенствах, для сходящихся последовательностей аналогичен ф-ям, имеющим конечный предел.
5. Определение бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей и их свойства аналогичны соответствующим определениям и свойствам ф-ии непрерывного аргумента.

     Критерии  существования предела последовательности

1. Критерии Коши  (произведения последовательностей)

Для существования  предела последовательностей  необходимо и достаточно, чтобы для любой..............

Последовательность, для которой выполняется признак Коши – фундаменталная

2. Критерий Вейерштрасса (монотонность последовательности)

а) неубывающие  последовательности, ограниченные сверху, имеют предел.

б) не возрастающие последовательности, ограниченные снизу, имеют предел. 

Доказательство(а):