Д/з: Две функции равны, если:

1. .
2. совпадают законы соответствия.

 

Пример:  1) Равны  ли функции  и

      Нет, так как                   .

2)      и      

      

Д/з: Две функции совпадают на множестве X₁, с вкл. в пересечение областей определения функций , если для любой совпадает с . 

               

Пример: и совпадают на множестве

Д/з: выписать определения  чётных, нечётных, периодичных функций; их свойства и свойства симметрии  графиков, сп. зад. функций с примерами. 
 
 
 
 
 

Общие свойства функций. 

1) Ограниченность. Сводится к ограниченности множества  значений.

    Функция  ограничена, существует  , что для

- огранич.

- неогранич.;   при

2) Монотонность.

Д/з: Функция называется возрастающей на промежутке X, если для любого промежутку;

Убывающей, если

Замечание: если неравенства нестрогие, то говорят  о неубывании в 1 случае и невозрастании (либо неизм., убыв.) во 2 случае.

Невозрастающие  и неубывающие функции – монотонные. При строгом неравенстве строгомонотонные.

Пример:

      Докажем, что она убывающая на любом  промежутке.

      Например:

      Пусть

      

      Понятие монотонности только для промежутков.

Промежуток –  множество, обладающее свойством:

    наряду  с любым 2-мя числами  и  ему принадлежат все числа, заключённые между ними  .

     Понятие сложной функции. (композиции функции)

 

Пусть даны отображения  и , такие, что пересечения и - непустое множество Æ.

Тогда вводится новое отображение, , которое включает новой функции   

               и закон соответствия получается по формуле: 

- отображ.  сложная функция (композиция).

Пример: 

 

      Обратная  функция: 

      При взаимооднозн. отображении X на Y с пом. функции эти множествасимм. относительно этого отображения, т.е. наряду с функцией существует обр. ф-я

Д/з:  называется обратной взаимооднозн. ф-и , если каждому элементу ставят в соотв. так, что .

Замечание:   y взаимнообр. ф-й D(f) и E(f) мен. местами

Замечание 2: если для обр. функций сделать замену переменных , чтобы то гр-ни функций и симм. отн. бессектр. 1 и 3 квадратов. 

Пример: обр. ф-я –

     
 

 
 

   Элементы  теории пределов.

Теория пределов формализует (перев. на мат. яз.) фразы: и Зн-я  неогранич. приалинс-ся к числу A, когда x неогр. приалинс-ся к числу ф; или _n Зн-я неогр. приыл. к A тогда, когда и т.д.

Д/з: Р/м 

        втом  числе и для x, сколько угодно к 0, т.е. хотя зн-я этой т. не имеет. 

      Определение предела в терминах окресностей.

Число А называется пределом при , и обозначается , если для любой e-окресности числа А найдется проколатая окресность, так что ля всех х из этой окресности значения будут принадлежать e-окресности числа А.

     Конечный  предел ф-ии (А-вещ. число)

Число А-конечный предел ф-ии в т. а, если

Частные случаи (геометрическая иллюстрация)

Конечный предел в конечной т.

а –  вещественное число 

Общие свойства конечного предела

1. Если - const, то ее предел сущ. и равен этой же const.

  , то

2. Если конечный предел сущ., то он единственный

 

3. Для f(x), имеет конечный предел в т. а, сущ. такая прколотая окрестность этой т., в которой ф-ия ограничена.

4. Если ф-ия имеет в т. а, конечный предел, неравный нулю то найдется такая в т. а, в которой - ограниченная.
5. Если f(x), имеет в т. а отрицательный конечный предел, то найдется такое значение этой точки, в котором ф-ия отрицателная.

 
 
 
 
 

Бесконечно  малые ф-ии и их свойства: 

Опр: - бесконечно малая при , если

Свойства:

Пусть и являются бесконечно малыми при , а - ограничена, то бесконечно малыми является алгебраическая сумма ф-ий f(x) и j(x), произведения их и произведения ф-ий на ограниченную. 

Представвление  ф-ии, имеющей конечный предел.

Теорема: Для того чтобы ф-ия имела конечный предел А в точке х=а, небходимо и достаточно, чтобы =А+a(х), где a(х)- бесконечно малая при .

Доказательство:

Алгебраические свойства фунцций имеющих конечный предел в точке а. 

Пусть , тогда:

1. Существует предел алгебраической суммы этих ф-ий,равный алгебраической сумме этих пределов.

2. Существует  предел произведения ф-ий Þ произведение пределов

 

3. Если предел знаменателя неравен 0 и B неравно 0 то

Следствие.

Из 1 и 2 следует, что константы можно  выносить за знак предела

 

Бесконечно  большие и их свойства

Опр. Ф-ия называется бесконечно большой в точке а, если ее предел в этой точке равен бесконечности.

Свойства

Пусть и - бесконечно большие ф-ии в точке а.

Ф-ия j(х) имеет предел в точке а, отличный от 0

Ф-ия a(х) и b(ч) – бесконечно малые

Тогда справедливы следующие утверждения:

1. Произведение двух бесконечно больших ф-ий – бесконечно большая ф-ия.

2. Произведение  бесконечно больших на ф-ию, имеющую  отличный от нуля предел - бесконечно большая.

 

3. Ф-ия, обратная величине бесконечно большой – есть бесконечно малая, и наоборот.

Доказательство 2):