План:

1.МАТЕМАТИЧЕСКАЯ  ЛОГИКА……………………………….….…3 стр.

1.1 ПРЕДМЕТ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ……………….…....3 стр.

2.КАЛЬКУЛЯЦИЯ  ВЫСКАЗЫВАНИЙ………………………………..3 стр.

2.1ВЫСКАЗЫВАНИЕ……………………………………………………..3 стр.

2.2ОТРИЦАНИЕ КОНЪЮНКЦИЯ…………………………………….4 стр.

3.АЛГЕБРА  ЛОГИЧЕСКИХ ЗНАЧЕНИЙ……………………………..5 стр.

4.НЕКОТОРЫЕ  ДРУГИЕ ЛОГИЧЕСКИЕ  ОПЕРАЦИИ…………….6 стр.

4.1 ИМПЛИКАЦИЯ……………………………………………………….6 стр.

4.2 ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ……………………………………………….7 стр.

5. Заключение………………………………………………………………8 стр.

6.Использованная  литература……………………………………………9 стр. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1.МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА

 
 
1.1ПРЕДМЕТ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ

 Простейшие  закономерности выводов открывались  человечеством эмпирическим путем в ходе общественного производства (например, простейшие соотношения арифметики и геометрии). Открытие более сложных законов связано с результатами науки формальной логики. Первое крупное обобщение формальной логики принадлежит Аристотелю. В формальной логике с самого начала применялись (в единичных случаях) математические методы, но развитие логики не успевало за применением таких методов по сравнению с другими областями математики. Поэтому формальная логика отстала от потребностей науки (в первую очередь от требований математики); отставание оказалось особенно очевидным в новую эру. Главными недостатками формальной логики являлись следующие .

 1. Она  не сумела привести законы  выводов к небольшому количеству  надежных логических законов;  поэтому подтвердила правильность  некоторых выводов на основе экспериментов, которые позже были опровергнуты примерами, доказывающими обратное.

 2. Она  была неспособна анализировать  значительную часть выводов, применяемых  в повседневной и научной жизни;  доказать правильность или неправильность  таких выводов. (Например, не могла  доказать, что из правильности предложения «Каждая трапеция является четырехугольником» вытекает правильность предложения «Кто рисует трапецию, тот рисует четырехугольник).

 Задача  математизации формальной логики была поставлена и осуществлена Лейбницем. Его работу продолжили математики XIX века. На рубеже столетия с открытием противоречий в теории множеств (см. гл. «Теория множеств») развитие математической логики получило широкий размах. В настоящее время результаты математической логики используются во всех традиционных областях формальной логики; открыты                      совершенно новые области. В настоящее время «традиционная» формальная логика по сравнению с математической логикой имеет значение только для истории науки.

 Математическая  логика не претендует на открытие законов мышления вообще, или еще в меньшей степени на анализ философских проблем, связанных с человеческим мышлением. Эти вопросы больше относятся к «логике» (в более общем смысле слова) и к философии. (В дальнейшем под словом «логика» будем подразумевать математическую логику.)

 2.КАЛЬКУЛЯЦИЯ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

 2.1ВЫСКАЗЫВАНИЕ

 Предметом калькуляции высказываний является анализ таких схем вывода, при которых  с заменой переменных на высказывания, получаются правильные выводы.

 Под термином высказывания подразумевается такое изъявительное предложение, которое является однозначно или правильным, или ложным ; итак:

 а) оно  не может одновременно быть и правильным, и ложным (принцип непротиворечивости);

 б) исключено, чтобы оно было и неправильным, и неложным (принцип исключения третьей возможности).

 Свойства  «правильное» и «ложное» подразумеваются  в их обычном смысле; они не нуждаются  в дальнейшем анализе.

 При данных обстоятельствах приведенные  выше изъявительные предложения удовлетворяют (с «хорошим приближением») этим двум условиям;

 их  можно считать высказываниями. Поэтому  логика, построенная на этих двух условиях, может получить весьма широкое применение. Естественно, существуют такие «тонкие обстоятельства», при которых некоторых изъявительных предложений нельзя считать высказываниями (например, если дано предложение : «Иван просыпается», вряд ли можно сомневаться в правильности или ложности предложения «Иван спит»). Математические термины определяются таким образом, что предложения, выражающие соотношения между ними, всегда считаются высказываниями; такое положение существует во всех точных науках.

 Понятие «высказывание» иногда обозначается словами  «утверждение», «суждение».

 В выводах  могут фигурировать высказывания (либо в виде предпосылок, либо как окончательный вывод), возникшие из одного или нескольких высказываний, путем применения некоторого грамматического метода; они называются сложными высказываниями. Во многих случаях правильность вывода зависит от вида формирования сложного высказывания. Поэтому необходимо заниматься видом формирования сложных высказываний некоторых типов.

 Под термином калькуляции высказываний подразумевается такой метод, с  помощью которого из одного или нескольких высказываний (членов операции калькуляции  высказываний) получается такое высказывание (результат операции), правильность или ложность которого однозначно определяется правильностью или ложностью членов.

 2.2ОТРИЦАНИЕ И КОНЪЮНКЦИЯ

 Двумя простейшими примерами вышеприведенной  операции являются отрицание и конъюнкция. (Операция и результат операции здесь обозначается одним и тем же названием.)

 Под отрицанием высказывания А подразумевается  высказывание «Неправильно, что А» (или некоторая грамматически преобразованная форма данного высказывания).

 По  значению выражения «неправильно» отрицание А правильно тогда и только тогда, если самое А неправильно; следовательно, отрицание действительно есть операция калькуляции высказываний (в соответствии с вышеприведенным определением).

 Пример: Отрицанием предложения «мотор работает» является предложение «неправда, что мотор работает» или, иначе: «мотор не работает».

 Отрицание является одночленной операцией. Отрицание  «А» обозначается символом «~А» (читается : «не А»). Применяются также и обозначения «~ А», «— А», «А».

 Под конъюнкцией двух высказываний А и В подразумевается высказывание «А и В» (или некоторая грамматически измененная форма данного высказывания). По значению союза «и» конъюнкция является правильной тогда и только тогда, если оба ее члена правильны.

 Таким образом, конъюнкция также является операцией калькуляции высказываний. Операция конъюнкции «А и В» представляет собой двучленную операцию; ее обозначают, «А & В», «АВ». При возникновении конъюнкции союз «и» иногда заменяется другим союзом (например, «Анатолий здесь, но Бориса нет» или «Анатолий здесь, хотя Борис ушел» и т. д.). Это не влияет на правильность или ложность результата, имеет только эмоциональное значение. Иногда союз вообще пропускается. Если сказуемые двух предложений, связанных между собой путем конъюнкции, совпадают, то общее сказуемое представлено только в одном из предложений. Например, конъюнкция «я питаюсь хлебом и питаюсь водой» после преобразования имеет следующий вид: «я питаюсь хлебом и водой».

 Изучение  остальных операций калькуляции  высказываний уточняется и облегчается с помощью следующего рассуждения.

 Пусть свойства высказываний «правильное» и  «ложное» называются логическими значениями и обозначаются знаками пил. Правильность (или ложность) некоторого высказывания А выражается и в такой форме, что логическим значением высказывания А является п (или л).

 Если  задаются логические значения отдельных  членов в некоторой операции калькуляции  высказываний, то данной операцией  логическое значение результата определяется однозначно. Это позволяет определение таких операций для логических значений (кроме вышеприведенного определения для высказываний) следующим образом: На место и членов и результата подставляются логические значения; причем, вместо результата подставляется логическое значение высказывания, образующееся данной операцией из высказываний с соответствующими членам логическими значениями.

 Например, отрицания логических значений определяются так:

  (так  как отрицание правильного высказывания является ложным),

    (так как отрицание ложного  высказывания является правильным);

 а конъюнкции логических значений так:

 (так  как конъюнкция двух правильных  высказываний является правильной),

   (так как если одно или оба  из двух высказываний являются  ложными, то и их    конъюнкция  будет ложной)

 На  основе вышеприведенного рассуждения  изучение операций, проведенных на высказываниях, может быть заменено изучением операций, проведенных на логических значениях. Этого достаточно для исследования выводов (на уровне калькуляции высказываний). 

3.АЛГЕБРА ЛОГИЧЕСКИХ ЗНАЧЕНИЙ

 Операции, проводимые на логических значениях, называются логическими операциями. Для выражения любых логических значении вводятся логические переменные; они обозначаются символами p, q, r, ..., р, р, … Итак, логические переменные могут принимать два «значения»:

п или л.

 При использовании нескольких операций последовательно порядок выполнения отдельных операции обозначается скобками; например, ~(р) А q) (иногда скобки опускаются). Например, вместо выражения (7p)/\q пишется 7р /\ q при предварительном пояснении, что в случае появления выражения без скобок знак относится только к следующему знаку.

 В общем  смысле слова n-членной логической операцией называется каждая такая функция, областью существования которой является упорядоченное множество всех выражений, образуемых из логических значений пиле длиной выражения n, а значением ее является одно из двух логических значений п и л.

Любая логическая операция может быть выражена через операции отрицания и конъюнкции.

 4.НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ

 В области  операций на логических переменных помимо отрицания и конъюнкции оказываются  полезными некоторые другие операции.

 В области  одномерных логических операций фактический  интерес представляет только отрицание.

 дизъюнкция

 Операция  называется дизъюнкцией и обозначается символом «p\/q» (иначе ее называют альтернацией, адъюнкцией, логическим сложением), или «р + q». Дизъюнкция выражается с помощью операций конъюнкции и отрицания.

 Связь, созданная между двумя высказываниями при помощи уступительного союза «или», является такой операцией, которой в области логических значений соответствует операция дизъюнкции:   высказывание является ложным тогда и только тогда, если оба высказывания ложны.

 (Союз  «или» в таком случае применяется  в значении допущения, если допускается правильность обоих высказываний). Например: «выпал дождь или полили парк». Поэтому такое соединение двух высказываний также называется дизъюнкцией. (Символ «V» читается также как «или»).

 Операция  конъюнкция выражается с помощью операций дизъюнкции.

   Таким образом, руководствуясь  теоремой, что каждая логическая операция может быть выражена с помощью только операций дизъюнкции и отрицания

 «ни-ни»

 4.1 ИМПЛИКАЦИЯ

 Операция  «р влечёт q» и называется импликацией (с предварительным членом р и с последующим членом q).

 Допустим, что если р = п, то значение выражения  р влечёт q будет или п, или л  в зависимости от того, является ли значение q п, или л. Это аналогично тому, что высказывание типа «если А, то В», в котором первый член А является правильным, считается или правильным, или ложным в зависимости от того, правильный или ложный второй его член В. Поэтому соединению типа «если А, то В» соответствует импликация в области логических значений. Но в то же время при ложном высказывании А предложение типа «если А, то В» может вообще не считаться высказыванием Например: если горит лампочка, то лифт работает.