Функционально полные системы логических функций. Алгебраический подход

 

Количество входных  переменных в заданном выражении  равно трем (A,B,C). Значит, количество входных наборов Q=23=8.

     

                                                   10

 Столбцы таблицы  истинности соответствуют значениям  исходных выражений A,B,C, промежуточных  результатов  и (B V C), а также

искомого окончательного значения сложного арифметического  выражения :

 

4. Логические  функции и их преобразования. Законы логики

Для операций конъюнкции, дизъюнкции и инверсии определены законы булевой алгебры, позволяющие производить  тождественные (равносильные) преобразования логических выражений. 

Законы логики

     1. ¬¬ А <=> A закон двойного  отрицания;

     2. A&B <=> B&A коммутативность конъюнкции;

     3. AVB <=> BVA коммутативность дизъюнкции;

     4. A&(B&C) <=> (A&B)&C ассоциативность  конъюнкции;

     5. AV(BVC) <=> (AVB)VC ассоциативность дизъюнкции;

     6. A&(BVC) <=> (A&B)V(A&C) дистрибутивность  конъюнкции относительно дизъюнкции;

     7. AV(B&C) <=> (AVB)&(AVC) дистрибутивность  дизъюнкции относительно конъюнкции;

                                               11

     8. A&A <=> A

     9. AVA <=> A

     10. AV¬A <=> И закон исключенного третьего;

     11. A&¬A <=> Л закон непротиворечия;

     12. A&И <=> A

     13. AVИ <=> И

     14. A&Л <=> Л

     15. AVЛ <=> A

     16. ¬(A&B) <=> ¬ A V ¬ B законы де Моргана;

     17. ¬(AVB) <=> ¬ A & ¬ B

     18. A => B <=> ¬ A V B замена импликации. 

Основываясь на законах, можно выполнять упрощение  сложных логических выражений. Такой  процесс замены сложной логической функции более простой, но равносильной ей, называется минимизацией функции.

     Пример 1. Упростить выражения  так, чтобы в полученных формулах не содержалось отрицания сложных высказываний.

     Решение

 

                                  

                                         

Пример 2. Минимизировать функцию 

                                                12 

Решение

      

При упрощении  выражения использовались формулы  поглощения и склеивания.

     Пример 3. Найти отрицание следующего  высказывания: "Если урок будет  интересным, то никто из учеников (Миша, Вика, Света) не будет смотреть  в окно".

     Решение

     Обозначим  высказывания:

     Y - "Урок интересный";

     M - "Миша смотрит в окно";

     B - "Вика смотрит в окно";

     C - "Света смотрит в окно".

    

     При  упрощении выражения использовались  формула замены операций и  закон де Моргана.

     Пример 4. Определить участника преступления, исходя из двух посылок:

    1) "Если Иванов не участвовал или Петров участвовал, то Сидоров участвовал";

     2) "Если Иванов не участвовал, то Сидоров не участвовал". 

                                                13

     Решение

     Составим  выражения:

     I - "Иванов участвовал в преступлении";

     P - "Петров участвовал в преступлении";

     S - "Сидоров участвовал в преступлении".

     Запишем  посылки в виде формул:

    

     Тогда

      

Проверим результат, используя таблицу истинности:

 

                                          

Ответ: Иванов участвовал в преступлении.

                                                       14 

Построение логической функции по ее таблице истинности

     Мы  научились составлять таблицу  истинности для логической функции.  Попробуем решить обратную задачу. Пусть дана таблица истинности  для некоторой логической функции Z(X,Y): 
 

 

Рассмотрим строки, где значение истинности функции Z истинно (Z=1). Функцию для этой таблицы  истинности можно составить следующим  образом: Z(X,Y) = (¬ X& ¬Y)V(X& ¬Y).

     Каждой  строке, где функция истинна (равна  1), соответствует скобка, представляющая  собой конъюнкцию аргументов, причем  если значение аргумента О, то мы берем его с отрицанием. Все скобки соединены между собой операцией дизъюнкции. Полученную формулу можно упростить, применив законы логики:

     Z(X,Y) <=> ((¬X& ¬Y) VX)&(( ¬X&Y)V ¬Y) <=> (XV( ¬X& ¬Y)) &( ¬YV(¬X&¬Y)) <=> ((XV¬X)&(XV ¬Y))&(( Y¬V ¬X)&( ¬YV ¬Y)) <=> (1&(XV ¬Y))&(( ¬YV ¬X)& ¬Y)<=> (XV ¬Y)&(( ¬YV ¬X)& ¬Y).

     Проверьте  полученную формулу: составьте  таблицу истинности для функции  Z(X,Y).

     Запишите  правила конструирования логической  функции по ее таблице истинности:

     1. Выделить в таблице истинности  те строки, в которых значение  функции равно 1.

     2. Выписать искомую формулу в  виде дизъюнкции нескольких логических  элементов. Число этих элементов  равно числу выделенных строк.

                                                       15

     3. Каждый логический элемент в  этой дизъюнкции записать в  виде конъюнкции аргументов функции.

     4. Если значение какого-либо аргумента  функции в соответствующей строке  таблице равно 0, то этот аргумент  мы берем с отрицанием.

                       5. Построение логических схем

Знания из области  математической логики можно использовать для конструирования электронных  устройств. Нам известно, что 0 и 1 в  логике не просто цифры, а обозначение  состояний какого-то предмета нашего мира, условно называемых "ложь" и "истина". Таким предметом, имеющим  два фиксированных состояния, может  быть электрический ток. Устройства, фиксирующие два устойчивых состояния, называются бистабильными (например, выключатель, реле). Если вы помните, первые вычислительные машины были релейными. Позднее были созданы новые устройства управления электричеством - электронные схемы, состоящие из набора полупроводниковых элементов. Такие электронные схемы, которые преобразовывают сигналы только двух фиксированных напряжений электрического тока (бистабильные), стали называть логическими элементами.

 На элементарном  уровне конъюнкцию можно представить  себе в виде последовательно  соединенных выключателей, а дизъюнкцию - в виде параллельно соединенных  выключателей:

 
 

                                             16

Логические элементы имеют один или несколько входов и один выход, через которые проходят электрические сигналы, обозначаемые условно 0, если "отсутствует" электрический  сигнал, и 1, если "имеется" электрический  сигнал. Простейшим логическим элементом  является инвертор, выполняющий функцию  отрицания. Если на вход поступает сигнал, соответствующий 1, то на выходе будет 0. И наоборот. У этого элемента один вход и один выход. На функциональных схемах он обозначается:

 

Логический элемент, выполняющий логическое сложение, называется дизъюнктор. Он имеет, как минимум, два входа. На функциональных схемах он обозначается:

                                                      

Логический элемент, выполняющий логическое умножение, называется конъюнктор. Он имеет, как минимум, два входа. На функциональных схемах он обозначается:

 
 

                                             17

Специальных логических элементов для импликации и эквивалентности  нет, т.к. А => В можно заменить на ¬А V В ; А <=> В можно заменить на (A & B)V(¬A & ¬B). 

     Другие  логические элементы построены  из этих трех простейших и  выполняют более сложные логические  преобразования информации. Сигнал, выработанный одним логическим  элементом, можно подавать на  вход другого элемента, это дает  возможность образовывать цепочки  из отдельных логических элементов.  Например:

 

Эта схема соответствует  сложной логической функции F(A,B)= ¬ (А V В).

     Попробуйте  проследить изменения электрического  сигнала в этой схеме. Например, какое значение электрического  сигнала (0 или 1) будет на выходе, если на входе: А=1 и В=0.

     Такие  цепи из логических элементов  называются логическими устройствами. Логические устройства же, соединяясь, в свою очередь образуют функциональные  схемы (их еще называют структурными  или логическими схемами). По заданной  функциональной схеме можно определить  логическую формулу, по которой  эта схема работает, и наоборот.