Задача управления запасами с дефицитом

     Затраты на хранение запаса, которые представляют собой расходы на содержание запаса на складе (например, процент на инвестированный капитал, затраты на переработку, амортизационные расходы и эксплуатационные расходы), обычно возрастают с увеличением уровня запаса.

     Наконец, потеря дефицита представляют собой расходы, обусловленные отсутствием запаса необходимой продукции. Обычно они связаны с ухудшением репутации поставщика у потребителя и с потенциальными потерями прибыли.

   Рисунок 2.1.1 иллюстрирует зависимость четырёх компонент затрат обобщенной модели управления запасами от уровня запаса. Оптимальный уровень запаса соответствует минимуму суммарных затрат. Отметим, что модель управления запасами не обязательно должна включать все четыре вида затрат, так как некоторые из них могут быть не значительными, а иногда учёт всех видов затрат чрезмерно усложняет функцию суммарных затрат. На практике какую – либо компоненту затрат можно не учитывать при условии, что она не составляет существенную часть общих затрат. Этот фактор необходимо иметь ввиду при изучении различных моделей, описанных в данной главе.  

Рисунок 2.1.1 - Зависимость четырёх компонент затрат обобщенной модели управления запасами от уровня запаса

 

2.2 Основные формулы для решения обобщенной задачи

     Рассмотрим простейшую модель, в которой предполагается, что расходование запаса происходит непрерывно с постоянной интенсивностью, т.е. b(t)=b.  Эту интенсивность можно  найти, разделив общее потребление  продукта на время, в течение которого он расходуется:

               

                                           (1)

            Пополнение заказа происходит партиями одинакового объема, т.е. функция a(t) не является непрерывной: a(t)=0 при всех t , кроме момента  поставки продукта, когда a(t)=n, где n  - объем партии. Так как интенсивность  расхода равна b, то вся партия будет  использована за время:

                                           (2)

        Задача управления запасами состоит  в определении такого объема  партии n , где суммарные затраты  на создание и хранение запаса  были бы минимальными.

      Обозначим суммарные затраты через С, затраты на создание запаса – С1, затраты на хранение запаса – С2 и найдем эти величины за весь промежуток времени T.

      Пусть затраты на доставку одной партии продукта, не зависимые от объема партии, равны  С1, а затраты на хранение одной единицы продукта в единицу  времени – С2. Так как за время Q необходимо запастись N единицами  продукта, который доставляется партиями объема n,  то число таких  партий k равно:

 

                                          (3)

Отсюда  получаем:

                                                (4)

Средний запас на промежуток [0,T] равен nT/2 , т.е. затраты на хранения всего запаса при линейном (по времени) его расходе  равны затратам на хранение среднего запаса.

Затраты хранения запаса за промежуток времени Q равны:

                               (5)

Функция суммарных затрат:

                                                                              (6)

Объем партии:

                                                                             (7)

Минимум общих затрат задачи управления запасами достигается тогда, когда затраты  на создание запаса равны затратам на хранение запаса.  При этом минимальные  суммарные затраты 

     

                                                                 (8)

Число оптимальных партий за время Q равно

                                                                            (9)

Время расхода оптимальной партии:

                                                                           (10) 

 

2.3 Подробное математическое описание заданного метода и задачи исследования операций.

 

     В основной модели будем полагать наличие  дефицита. Это означает, что при отсутствии запасаемого продукта, т.е. при J(t) = 0 спрос сохраняется с той же интенсивностью r(t) = b, но потребление запаса отсутствует – b(t) = 0, вследствие чего накапливается дефицит со скоростью b. График изменения уровня запаса в этом случае представлен на рис. 3. Убывание графика ниже оси абсцисс в область отрицательных значений в отличие от графика на рис. 13 характеризует накопление дефицита.

Рисунок 3 – Уровень запасов в модели управления запасами с дефицитом 

Каждый  период "пилы" Т = n / b разбивается на два временных интервала, т.е. Т = Т1 + T2 , где Т1 – время, в течение которого производится потребление запаса, T2 – время, когда запас отсутствует и накапливается дефицит, который будет перекрыт в момент поступления следующей партии.

Необходимость покрытия дефицита приводит к тому, что максимальный уровень запаса s в момент поступления каждой партии меньше на величину дефицита (п – s), накопившегося за время T2.

Из геометрических соображений легко установить, что

                                                           (11)

В данной модели в функцию суммарных затрат С наряду с затратами С1 (на пополнение запаса) и С2 (на хранение запаса) необходимо ввести затраты С3 – штраф из-за дефицита, т.е. общие издержки равны

С = С1 + С2 + С3.

Затраты С1, находят по формуле (4). Затраты С2 при линейном расходе запаса равны затратам на хранение среднего запаса, который за время потребления Т1 равен sT1 / 2; поэтому затраты С2 составят

                                                                 (12)

При расчете  затрат С3 считают, что штраф за дефицит составляет в единицу времени с3 на каждую единицу продукта.

Средний уровень дефицита за период T2 равен (п – s)T2 / 2, штраф за этот период T2 составит 1\2(c3(n – s)T2 , а за весь период θ:

                                                                   ( 13)

Суммарные затраты равны

                                                                   ( 14)

Рассматриваемая задача управления запасами сводится к отысканию такого объема партии n и максимального уровня запаса s, при которых функция С (14) принимает минимальное значение. Другими словами, необходимо исследовать функцию двух переменных С(n, s) на экстремум. Приравнивая частные производные ∂С / ∂n, ∂C / ∂s к нулю, получим после преобразований систему уравнений:

                                               ( 15)

Величина:

                                                                   ( 16)

называется  плотностью убытков из-за неудовлетворенного спроса и играет важную роль в управлении запасами. Заметим, что 0 < ρ < 1. Если значение с3 мало по сравнению с c2, то величина ρ близка к нулю: когда с3 значительно превосходит с2, то ρ близка к 1. Недопустимость дефицита равносильна предположению, что с3 = ∞ или ρ = 1.

Решая систему, получаем формулы наиболее экономичного объема партии

~n0 и максимального уровня запаса s0 для модели с дефицитом:

                                   ( 17)

                                            ( 18)

Следует учесть, что в силу (16) и (18)

    и                            ( 19)

     Поэтому утверждение о том, что плотность  убытков из-за неудовлетворенного спроса равна ρ, означает, что в течение (1 – ρ) 100 % времени от полного периода  T запас продукта будет отсутствовать.

     Из  сравнения формул (17) и (18) следует, что оптимальные объемы партий для задач с дефицитом и без дефицита при одинаковых параметрах связаны соотношением

                                                                   ( 20) 

откуда  следует, что оптимальный объем  партии в задаче с дефицитом всегда больше, чем в задаче без дефицита.

     Детерминированные методы управления запасами, основанные на вычислении экономического объема заказа обладают существенным недостатком. Этот недостаток связан с ограничениями, накладываемыми самим понятием "детерминированный  экономический процесс", а также  введением ограничений, связанных  с методом вычисления величины экономического объема заказа.

 

3 Алгоритмическое обеспечение

Рисунок 3.1 – Блок-схема алгоритма модели 

Пример:

     Потребность сборочного предприятия в деталях  некоторого типа составляет 120 000 деталей в год, причем эти детали расходуются в процессе производства равномерно и непрерывно. Детали заказываются раз в год и поставляются партиями, одинакового объема, указанного в заказе. Хранение детали на складе стоит 0,35 ден.ед. в сутки, а поставка партии - 10 000 ден.ед. Известно, что отсутствие на сборке каждой детали приносит в сутки убытки в размере 3,5 ден.ед.

     Определить  наиболее экономичный объем партии и интервал между поставками, который  нужно указать в заказе.

     Решение:

      По  условию затраты на 1 партию составляют с1 = 10 000 ден.ед., затраты хранения единицы запаса в сутки с2 = 0,35 ден.ед., штраф за дефицит с3 = 3,5 ден.ед., общий промежуток времени Q = 1 год = 365 дней, а общий объем запаса за этот период N = 120 000 ден.ед..  

Таблица 1 – Условие задачи

 

По формуле (7) а по (10)

     Найдем  плотность убытков из-за неудовлетворительного  спроса по формуле (16)

     _{То  есть 100(1-0,909) = 9,1% времени  между  поставками детали на сборке будут  отсутствовать.}

     _{Теперь  оптимальный размер партии по формуле  (20)}

     В силу 10 формулы пропорционально  увеличению должен увеличиться интервал между поставками, т.е.

Таблица 2 – Решение  задачи