Типовые модели менеджмента

Определить оптимальный план производства продуктов каждого вида с целью получения максимальной прибыли от продаж.

Экономико-математическая модель.

Исходя из условия, делается вывод о том, что эта задача является задачей линейного программирования.

Обозначим за неизвестные переменные (i =1….2) объем производства соответствующего продукта.

Значения таблицы представляют собой матрицу с коэффициентами ( ).

В общем виде  система ограничений имеет вид:

С учетом значений задачи получаем.

Дополнительные ограничения:

, .

Необходимо найти оптимальный план выпуска продукций (т.е. ), который обеспечит максимальную выручку. Пусть f – выручка от реализации продукций. Тогда

В общем виде целевая функция примет вид:

,

где   – рыночные цены соответствующих изделий (i =1….5);

– объем производства соответствующих изделий.  

Исходя из условий задачи:

Для некоторых производственных задач целесообразно найти оптимальный план производства, содержащий целые значения. Поэтому в дополнительные ограничения следует добавить: (i =1,2).

Табличная модель.

Модель производственной задачи состоит из таблицы

До оптимизации ячейки переменных [В2:С2] заполняются произвольным набором значений (не противоречащим ограничениям). Таким образом, задается первое приближение. Кроме того это необходимо, чтобы увидеть расчет всех ячеек, заполненных формулами.

Рис. 1.1. Табличное представление модели

Замечание: Важно строго следить за форматированием ячеек. Ячейки, содержащие значения и расчетные формулы должны быть отформатированы числовым (при необходимости финансовым) форматом.

Более наглядно заполнение ячеек табличной формы задачи представлено на рисунке 1.2.

Рис. 1.2. Табличная модель с представленными формулами

Следующим шагом необходимо скопировать значение целевой функции в любую пустую ячейку, применяя команду, Специальная вставка отметить флажок значение.

Оптимизация. Сервис Поиск решений.

Рис. 1.3. Диалоговое окно надстройки Поиск решения

Рис. 1.4. Решение производственной задачи

Замечаем, что оптимум значительно больше предыдущего значения целевой функции.

Вывод: Оптимальный план производства, при данных условиях, состоит в том, что мы будем производить только продукт 1 в объеме 2,4 ед., и получим прибыль – 9,6 ед.

 

 

Задача 1

Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

Тип сырья	Нормы расхода сырья на одно изделие				Запасы сырья
	А	Б	В	Г
I	1	2	1	0	18
II	1	1	2	1	30
III	1	3	3	2	40
Цена изделия	12	7	18	10

Требуется:

1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теоремы двойственности.
3. Пояснить нулевые  значения переменных в оптимальном плане.
4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

• проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

• определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья I и II видов на 4 и 3 единицы соответственно и уменьшении на 3 единицы сырья III вида;
• оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 10 ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.

Решение:

1. Обозначим через x1, x2, x3, x4 – количество четырех видов продукции соответственно и запишем математическую модель задачи критерию «максимум стоимости»:

max (12x1 + 7x2 + 18x3 + 10x4)

x1 + 2x2 + x3 ≤ 18

x1 + x2 + 2x3 + x4 ≤ 30

x1 + 3x2 + 3x3 + 2x4 ≤ 40

xj ≥ 0, j = 1, 2, 3, 4.

Приведем задачу к каноническому виду

max (12x1 + 7x2 + 18x3 + 10x4)

x1 + 2x2 + x3 + x5 = 18

x1 + x2 + 2x3 + x4 + x6 = 30

x1 + 3x2 + 3x3 + 2x4 + x7 = 40

xj ≥ 0, j = 1-7.

Решим каноническую задачу симплекс-методом.

Базис	Z	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	Реш	b/aij	Комм
z	1	-12	-7	-18	-10	0	0	0	0		не опт
x5	0	1	2	1	0	1	0	0	18	18
x6	0	1	1	2	1	0	1	0	30	15
x7	0	1	3	3	2	0	0	1	40	13,33	x3 в Baz
z	1	-6	11	0	2	0	0	6	240		не опт
x5	0	2/3	1	0	- 2/3	1	0	- 1/3	4,67	7	x1 в Baz
x6	0	1/3	-1	0	- 1/3	0	1	- 2/3	3,33	10
x3	0	1/3	1	1	2/3	0	0	1/3	13,33	40

 

z	1	0	20	0	-4	9	0	3	282		не опт
x1	0	1	1,5	0	-1	1,5	0	-0,5	7
x6	0	0	-1,5	0	0	-0,5	1	-0,5	1
x3	0	0	0,5	1	1	-0,5	0	0,5	11	11	x4 в Baz
z	1	0	22	4	0	7	0	5	326		опт
x1	0	1	2	1	0	1	0	0	18
x6	0	0	-1,5	0	0	-0,5	1	-0,5	1
x4	0	0	0,5	1	1	-0,5	0	0,5	11

 

Задача решена, получена оптимальная симплекс-таблица.

z = 326 – максимальное значение целевой функции. Решение x1 = 18, x2 = 0, x3 = 0, x4 = 11.

В этой модели функциональные ограничения отражают условия ограниченности запасов сырья используемых в производстве продукции.

Проверим, как удовлетворяется система функциональных ограничений планом X* = (x1 = 18, x2 = 0, x3 = 0, x4 = 11):

18 + 2 ∙ 0 + 0 = 18

18 + 0 + 2 ∙ 0 + 11 = 29 ≤ 30    (*)

18 + 3 ∙ 0 + 3 ∙ 0 + 2 ∙ 11 = 40

Значение целевой функции на этом плане равно

f(X) = 12 ∙ 18 + 7 ∙ 0 + 18 ∙ 0 + 10 ∙ 11 = 326.

2. Двойственная задача  имеет вид:

min (18y1 + 30y2 + 40y3)

y1 + y2 + y3 ≥ 12

2y1 + y2 + 3y3 ≥ 7

y1 + 2y2 + 3y3 ≥ 18

y2 + 2x3 ≥ 10

yj ≥ 0.

Для нахождения оценок y1, y2, y3 используем вторую теорему двойственности. Поскольку второе ограничение в (*) выполняется как строгое неравенство, то y2 = 0. Так как x1 > 0 и x4 > 0 , то

y1 + y2 + y3 – 12 = 0

y2 + 2x3 – 10 = 0.

Итак, для получения двойственных оценок имеем систему линейных уравнений:

y2* = 0

y1* + y2* + y3* = 12

y2* + 2x3* = 10,

т.е. y1* = 7, y2* = 0, y3* = 5.

Вычислим значение целевой функции двойственной задачи:

φ(Y) = 18 ∙ 7 + 30 ∙ 0 + 40 ∙ 5 = 326, т.е. f(X) = φ(Y) = 326.

3. Значение переменных x2 и x3 в оптимизационном плане равно нулю. Это говорит о том, что изделия Б и В невыгодно изготавливать.

4. По первой теореме  двойственности мы можем утверждать, что действительно найдены оптимальные значения двойственных переменных.

Экономико-математический анализ оптимальных решений базируется на свойствах двойственных оценок. В пределах устойчивости двойственных оценок имеют место следующие свойства.

1. Величина двойственной оценки того или иного ресурса показывает, насколько возросло бы максимальное значение целевой функции, если бы объем данного ресурса увеличился на одну единицу.

В рассматриваемом примере увеличение запасов сырья I типа привело бы к увеличению общей стоимости на 7 у.е. (y1 = 7), увеличение запасов сырья III типа привело бы к увеличению общей стоимости на 5 у.е. (y3 = 5), а увеличение запасов сырья II типа не повлияет на оптимальный план выпуска продукции и на общую стоимость.

2. Двойственные оценки отражают сравнительную дефицитность различных видов ресурсов в отношении принятого в задаче показателя эффективности. Оценки показывают какие ресурсы являются более дефицитными, какие менее дефицитные и какие совсем не дефицитными.