Шпаргалка по "Математическому программированию"

1. направления использования мат. моделей в экономике.

     Математические  модели позволяют определять оптимальные  значения неизвестных параметров экономических  систем, что является важным в процессе принятия решений. Математическое программирование как раз и дает аппарат, позволяющий оптимизировать процесс отбора лучших вариантов планов в процессе управления в экономических системах.

     Используется  в матстастике, оптимизационные  методы, методы экономич. кибернетики, экспериментальные задачи.

     При изучении сложных процессов и явлений в экономике очень часто применяется моделирование – вполне определенное конкретное отображение рассматриваемых характеристик изучаемого объекта. Суть его состоит в том, что изучаемое явление воспроизводится в экспериментальных условиях с помощью модели в другом временном и пространственном масштабе. Модель – это специально создаваемый объект, с помощью которого воспроизводится вполне определенные характеристики исследуемой системы с целью ее изучения. Математическое моделирование является наиболее совершенным и вместе с тем эффективным методом получения информации об исследуемом объекте. Оно представляет собой мощное средство анализа в экономике. Результаты исследования с помощью моделей будут иметь  практический интерес тогда, когда построенная модель будет достаточно адекватна рассматриваемому явлению, т.е. достаточно хорошо отображать реальную ситуацию.  

 

2. математическое  програмирование как наука, его  структура. Задачи оптимизации. Трудности применения классических методов оптимизации при решении экономических задач. 

  Математическое  программирование – это раздел прикладной математики, который разрабатывает теоретические основы и методы решения экстремальных задач.

  К математическому программированию относятся ряд разделов, основные из которых следующие:

1. Линейное программирование. К данному разделу относятся задачи, в которых неизвестные переменные входят в математические соотношения в первой степени.

2. Нелинейное программирование. К данному разделу относятся задачи, в которых целевая функция и (или) ограничения могут быть нелинейными.

3. Динамическое программирование. К данному разделу относятся задачи, в которых процесс решения можно разбить на отдельные этапы.

4. Целочисленное программирование. К данному разделу относятся задачи, в которых неизвестные переменные могут принимать только целочисленные значения.

5. Стохастическое программирование. К данному разделу относятся задачи, в которых содержатся случайные величины в целевой функции или ограничениях.

6. Параметрическое  программирование. К данному разделу относятся задачи, в которых коэффициенты при неизвестных переменных в целевой функции или ограничениях зависят от некоторых параметров. 

  Для решения задач математического  программирования сложно использовать классические методы нахождения экстремума т. к. в задачах математического программирования целевая функция достигает своего экстремального значения на границе области допустимых значений неизвестных переменных, а производные в граничных точках не существуют. Полный перебор допустимых точек невозможен из-за значительного их количества. 
 

 

3. Понятие математической модели, виды мат. моделей

  Математическая  модель – это записанная в математических символах и выражениях абстракция  реального явления или процесса. Математические модели экономических процессов и явлений называются экономико-математическими моделями

Модели делятся  на:

1. линейные, в которых все зависимости описываются линейными соотношениями,
2. нелинейные, в которых имеются нелинейные соотношения;
3. стохастические, в которых учитывается случайный характер изучаемых процессов,
4. детерминированные, в которых учитываются усредненные значения всех параметров.
5. динамические модели, в которых исследуемые системы рассматриваются в развитии в течение нескольких периодов,
6. статические, в которых фактор времени не учитывается.
7. оптимизационные модели, в которых выбор осуществляется в зависимости от экстремизации некоторого критерия,
8. неоптимизационные, в которых критерия оптимальности нет.
9. макромодели (всего хозяйства в целом)
10. микромодели (отдельных звеньев или процессов экономики).

 

Виды  математических моделей: линейные, нелинейные, квадратические, целочисленные, дискретные, параметрические, дробно-линейные, динамические, стохастические

 

4. Общая постановка задач математического програмирования.

Рассмотрим  общую постановку задачи математического  программирования.

Общая задача математического программирования состоит в определении оптимального значения целевой функции, причем значения переменных должны принадлежать некоторой области допустимых значений. Математически определение оптимального решения выражается в нахождении экстремума (max или min) функции многих переменных

Z = f (x1, x2, …, xn)

в заданной области изменения этих переменных

gi (x1, x2,…, xn)Ribi            (i = 1, 2,…, m),

где Ri - один из знаков ≥, =, ≤. 
 

 

5. Задача об оптимизации  плана выпуска продукции. Экономическая постановка и построение математической модели задач. 

Экономическая постановка:

Предприятие производит n видов продукции с использованием m видов сырья. Для производства единицы продукции используется строго определённое количество сырья того или иного вида. Сырьё каждого вида на предприятии ограничено. Предприятие получает определённую прибыль от реализации единицы продукции. Необходимо найти такой план производства продукции, при котором предприятие получит максимальную общую прибыль.

Математическая  постановка:

Введём  обозначения заданных параметров.

Пусть j – индекс вида продукции  j = 1, n

i– индекс вида ресурсов i = 1, m

а_ij – затраты сырья i-го вида на производство единицы продукции j-го вида;

Аi – заданное ограничение на имеющийся объём ресурсов i-го вида;

Рj – прибыль, получаемая от реализации единицы продукции j-го вида;

Введём  неизвестные переменные:

xj –  объём выпускаемой продукции j-го вида.

В терминах введённых обозначений данная задача запишется следующим

образом: 

z = Р1x₁ + Р2x₂ + … +Pnx_n →  max  

а11x₁ + а12x₂ +…+ а1nx_n ≤ A1

а21x₁ + а22x₂ +…+ а2nx_n ≤ A2

…………………………….

a m1x1 + а m2x2 +…+ а m n x_n ≤ Am 

xj ≥ 0,   j = 1, n

 

 

6. Задача о рационе. Экономическая постановка и построение математической модели задачи. 

Экономическая постановка

В некотором  фермерском хозяйстве производится откорм животных. Для откорма используется n видов кормов. Известно содержание питательных веществ (кальций, фосфор и др.) в единице корма каждого вида. Для полноценного питания животных необходимо потребление питательных веществ не меньше заданных количеств. Известна стоимость единицы каждого корма. Необходимо определить рацион кормления животных, при котором общие затраты на откорм будут минимальными. 

Математическая  постановка:

Введём  обозначения заданных параметров:

j –  индекс вида кормов, j = 1, n

i –  индекс вида питательных веществ, i = 1, m

аij – содержание i-го питательного вещества в единице корма j-го вида;

Аi – необходимое суточное потребление питательного вещества i –го вида;

Сj – стоимость единицы кормов j-го вида. 

Введём  неизвестные переменные:

хj – суточный объём кормления животных j-м видом корма. 

В терминах введённых обозначений данная задача запишется следующим

образом: 

z = С1x1 + С2x2 + … +Сnxn    →   min

а11x1 + а12x2 +…+ а1nxn ≥ A1

а21x1 + а22x2 +…+ а2nxn ≥ A2

…………………………….

am1x1 + аm2x2 +…+ а mnxn ≥Am 

xj ≥ 0,   j = 1, n

 

7. Транспортная задача. Экономическая постановка и построение математической модели задачи.

Экономическая постановка:

Имеется m поставщиков однородной продукции и n потребителей этой продукции. Известны удельные затраты на доставку единицы продукции от каждого поставщика каждому потребителю. Запасы продукции у поставщиков ограничены. Известны так же потребности в продукции каждого потребителя.

Необходимо определить такой план перевозки продукции  от поставщиков к потребителям, при котором общие затраты на перевозку будут минимальными.

Математическая  постановка:

Введём обозначения  заданных параметров:

j –  индекс потребителей, j = 1, n

i –  индекс поставщиков, i = 1, m

Аi – объём имеющейся продукции у i-го поставщика;

Вj – объём потребность в продукции j-го потребителя;

Cij –  удельные затраты на перевозку единицы продукции от i-го поставщика j-му потребителю.

Введём  неизвестные переменные:

хij – объём перевозки продукции от i-го поставщика j-му потребителю. 

В терминах введённых обозначений данная задача запишется следующим образом:

z = С11x11 + С12x12 +…+С1nx1n + С21x21 +…+ Сm(n -1)xm (n-1) + Сmnxmn →  min

Ограничения задачи.

I. От каждого поставщика можно вывести продукцию не более имеющегося количества:

x11 + x12 +…+ x1n ≤ A1

x21 + x22 +…+ x2n ≤ A2 (2)

…………………….

xm1 + xm2 +…+ xmn ≤ Am 

II. Потребность  каждого потребителя в продукции  должна быть удовле-

творена:

x11 + x21 +…+ xm1 ≥ B1

x12 + x22 +…+ xm2 ≥ B2

……………………. (3)

x1n + x2n +…+ xmn ≥ Bn

III. Условие неотрицательности:           xij ≥ 0, i = 1, m ; j = 1, n

Часто удобно записывать математическую постановку в свёрнутом  виде: