Цель  всех этих приемов - дать более развернутую модель  какого-либо явления из хозяйственной практики, сэкономив  при  этом на количестве переменных и ограничений.

     Несмотря на  широту применения метода линейного программирования, он учитывает лишь три особенности  экономических  задач - большое количество переменных, ограниченность ресурсов и  необходимость целевой функции. Конечно, многие задачи с другими особенностями можно свести к линейной оптимизации, но это не  дает  нам

права упустить из виду другой хорошо разработанный метод  математического моделирования - динамическое программирование.      По  сути,  задача  динамического   программирования  является описанием многошаговых процессов принятие решений. Задача динамического программирования можно сформулировать следующим образом :

имеется некоторое количество ресурса х, которое  можно  использовать N различными способами. Если обозначить через х_i  количество ресурса, используемое i-m способом, то каждому способу  сопоставляется функция полезности (х_i), выражающая доход от этого  способа. Предполагается, что все доходы измеряются в одинаковых единицах и общий доход равен сумме доходов, полученных от  использования каждого способа.

     Теперь можно поставить задачу в математической форме. Найти

     max   y₁(x₁)+ y₂(x₂)+ ... + y_n(x_n)        (4) 

(общий доход от использования ресурсов всеми способами) при  условиях:

     - выделяемые количества ресурсов неотрицательны;

       [1]     x₁ > 0,..., x_N > 0

     - общее количество ресурсов равно  x .

       [2]     x₁ + x₂ + ... + x_N = x

    Для этого общей  задачи  могут  быть  построены  рекуррентные

соотношения 

       ¦₁(x) = max {j₁(x₁)},                    (5)

             0 <=X₁<= X

      ¦_k(x) = max {j_k(x_k)+ ¦_k-1(x - x_k)}.      (6)

      к = 2,3,..., N,

с помощью которых находится ее решение.

     При выводе этих рекуррентных соотношений,  по  сути, использовался следующий принцип, оптимальная стратегия обладает тем  свойством, что по отношению к любому первоначальному состоянию  после некоторого этапа решения совокупность последующих решений  должна составлять оптимальную стратегию. Этот принцип оптимальности  лежит в основе всей концепции динамического программирования. Именно благодаря ему удается при последующих переходах испытывать  не все возможные варианты, а лишь оптимальные  выходы.  Рекуррентные соотношения позволяют заменить чрезвычайно-трудоемкие  вычисления максимума по N переменным в исходной задаче решением N  задач,  в каждой из которых максимум находится лишь по одной переменной.

     Таким образом, метод  динамического  программирования  позволяет учесть такую важную особенность экономических задач, как детерминированность более поздних решений от более ранних.

     Кроме этих двух, достаточно детально разработанных  методов, в экономических исследованиях  в  последнее  время  стали  применяться множество других методов.

     Одним из подходов к  решению  экономических  задач  является подход, основанный на применении новой математической  дисциплины - теории игр.

     Суть этой теории заключается в том,  что  игрок  (участник экономических взаимоотношений) должен выбрать оптимальную  стратегию в зависимости от того, какими он представляет действия противников (конкурентов, факторов внешней среды и т.д.). В зависимости от того, насколько игрок осведомлен о  возможных  действиях противников, игры (а под  игрой  здесь  понимается  совокупность правил, тогда сам процесс игры это партия)  бывают  открытые  и закрытые. При открытой игре оптимальной  стратегией  будет  выбор максимального минимума выигрыша (в терминах Моргерштерна - "максимина") из всей совокупности решений, представленных  в  матричной форме. Соответственно противник будет стремится проиграть лишь минимальный максимум ("минимаск") который в случае игр с  нулевой суммой будет равен "максимину". В экономике же  чаще  встречаются игры с ненулевой суммой, когда выигрывают оба игрока.

     Кроме этого в реальной жизни число игроков редко бывает равно всего двум. При большем же числе игроков появляются возможности для кооперативной игры, когда игроки до начала игры могут  образовывать коалиции и соответственно влиять на ход игры.

     Стратегии игроков не обязательно должны содержать одно решение, может быть так, что для  достижения  максимального  выигрыша потребуется применять смешанную стратегию (когда  две  или  несколько стратегий применяются с какой-то вероятностью). Кроме того в закрытых играх тоже требуется учитывать вероятность того или иного решения противника. Таким образом, в теории игр стало  необходимым применение аппарата теории вероятности, который  впоследствии нашел свое применение в экономических исследованиях в  виде отдельного метода - стохастического моделирования.

     Содержание метода стохастического  программирования  состоит во введении в матрицу задачи или в целевую функцию элементов теории вероятности. В этом случае обычно берется просто среднее значение случайной величины, взятое относительно всех возможных состояний .

     В случае не жесткой, или двухэтапной  задачи  стохастического моделирования появляется  возможность  корректировки  полученного  плана после того, как станет известным состояние случайной  величины.

     Кроме этих методов применяются методы нелинейного,  целочисленного программирования и многие другие. Вкратце, сущность метода нелинейного программирования заключается в нахождении или седловинной точки, или общего максимума или минимума функции. Основная сложность здесь в трудности  определения,  является  ли  этот максимум общим или  локальным. Для  целочисленного  моделирования основная трудность как раз и заключается в трудности подбора  целого значения функции. Общим для применения этих методов на  современном этапе является возможность частичного сведения их к  задаче линейного моделирования. Возможно, в недалеком  будущем  будет найдено какое-то оригинальное решение таких задач специфическими методами, более удобными, чем современные методы решения подобных задач (для которых они есть),  и  более  точные,  нежели приближенные решения методами линейного программирования. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                            Заключение

 

     Как можно было заключить из вышеизложенного,  математические методы имеют большую степень универсальности. Основой  этой  универсальности является язык математики. Если исследователи различных специальностей часто говорят об одной и той же  проблеме  совершенно по-разному, видят разные ее особенности, и не могут связать их воедино; то перевод проблемы на математический язык  сразу выявляет общие закономерности, и даже может дать  уже  практически готовое решение, полученное ранее где-то в  другой  отрасли знаний и для других целей. То есть предпосылкой использования математики является формализация количественных и качественных сторон проблемы.

     В то же время на применение математики  в  различных  науках накладывают ограничения объективные законы, присущие той или иной форме движения. Изучение неживой материи стало  предпосылкой  для создания концепции континуума - непрерывного  пространства-времени. Эта концепция стала базой для множества открытий и не  теряет своей значимости и теперь. Но концепции непрерывности  сопутствовали не только успехи.  Одновременно  возникла  традиционность  " непрерывного мышления", трудности преодоления которого  мы  начинаем понимать только теперь, с  появлением  и  совершенствованием ЭВМ. Хотя еще и раньше детальное исследование неизбежно  требовало перехода к дискретному описанию, чем демонстрировало  недостаточность и ограниченность континуального мышления.

     Тем более континуальное мышление пробуксовывает при  попытке описания биологической формы движения, где почти все объекты различны и дискретны. Что уже тогда говорить об экономических системах, в которых дискретность доходит до максимума; когда  дискретными являются не только объекты, но и  их  взаимодействия  и  даже промежутки времени, для которых надо найти оптимальный план.

     То есть имеет смысл говорить о таких особенностях экономических систем, которые требуют принципиально новых методов  исследования. В то же время нельзя и отмежевываться от старых, проверенных методов описания. В практике  использования  формализованного описания огромную роль  играет  апроксимация  реальных  и  очень сложных режимов и связей относительно более простыми. Поэтому получать информацию с точностью, необходимой для практики,  мы  можем, оперируя с относительно простыми пространствами о объектами. Это вовсе не ставит под сомнение необходимость дальнейшего совершенствования языка математики.

     Перспективными методами исследования в экономике,  несомненно, следует считать теорию игр  и  стохастическое  моделирование.  Их роль возрастает  с  совершенствованием  электронно-вычислительных машин. Переработка все больших объемов статистической  информации позволит выявлять  более  глубокие  вероятностные  закономерности экономических явлений. Развитие же такого специфического рода вычислительных систем, как самообучающиеся системы или так называемый "искусственный интеллект" возможно, позволит широко  использовать моделирование экономических взаимоотношений с  помощью  деловых компьютерных  игр.  Играя,  самообучающиеся  системы  будут приобретать опыт принятия оптимальных решений в самых сложных ситуациях, не теряя при этом  преимущества  вычислительной  техники перед человеком - большой объем памяти, прямой доступ к ней, быстродействие.

              

      Использованная литература

 

1. Беллман Р. Динамическое программирование. Пер.  с  англ.  И.М.    Андреевой [ и др.]. Под ред. Н.Н. Воробьева. М., Изд. Иностр.  лит., 1960. 400 с.

2. Беллман Р., Дрейфус С. Прикладные задачи  динамического  программирования. Пер. с англ. Н.М. Митрофановой [и др.] Под ред. А.А. Первозванского. М., "Наука", 1965. 458 с.

3. Гатаулин А.М., Гаврилов Г.В., Сорокина Т.M. и др. Математическое моделирование экономических процессов  в  сельском хозяйстве. - М.,Агропромиздат,1990. 432 c.

4. Канторович Л.В., Горстко А.Б. Оптимальные решения в экономике.    М.,"Наука",1972. 232 c.

5. Кравченко Р.Г., Попов И.В., Толпекин С.З.  Экономико-математические методы в организации и планировании сельскохозяйственного производства. М., "Колос", 1973. 528с.

6. Моисеев Н.Н. Человек, среда, общество. Проблемы формализованного описания. - М., "Наука", 1982. 240 с.

7. Моисеев  Н.Н.  Математик  задает  вопросы.(   Приглашение    к     диалогу). М.,"Знание",1975. 191 с.

8. Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое  поведение. Пер.  с  англ.  Под  ред.  и  с  доб.  Н.Н.   Воробьева.   М.,"Наука",1970. 707 с.

9. Немчинов В.С. Избранные произведения. Том 3.Экономика и  математические методы. М.,"Наука",1967. 490 с.