При моделировании рыночного поведения кроме нелинейности зависимостей, встречается такая особенность, как требование  учитывать поведение конкурентов. Даже советские экономисты признавали, что действие объективных экономических законов осуществляется через деятельность множества хозяйственных подразделений. В  то  же

время, осуществление решения, принятого в одном из этих подразделений, может оказать значительное влияние на те или иные характеристики экономической ситуации, в которой принимают  решения  остальные подразделения (меняются количество сырья, цены на  изделия и др.). Возникает, следовательно,  комплекс  оптимизационных задач, в каждой из которых какие-то переменные  величины  зависят от выбранных управлений в других задачах[4 (124)].

     Еще одной общей особенностью  экономических  задач  является дискретность (либо объектов планирования, либо  целевой  функции). Эта целочисленность вытекает из самой природы  вещей,  предметов, которыми оперирует экономическая наука. Т.е. не  может  быть дробным число предприятий, число рабочих и т.д. При этом дискретный характер имеют не только объекты планирования, но  и  временные промежутки, внутри которых осуществляется  планирование.  Это означает, что при планировании какого-либо  действия  всегда  следует определить, на какой срок оно осуществляется, в какие  сроки может быть осуществлено, и когда будут результаты. Таким образом, вводится еще одна дискретная переменная - временная.

     Дискретность многих экономических показателей не отделима от неотрицательности значений (реальных предметов или отрезков времени не может быть меньше нуля).

     Не следует забывать и о том, что экономическая система -  не застывшая, статичная совокупность элементов, а развивающийся, меняющийся под действие внешних и внутренних факторов механизм. При это возникает ситуация, когда решения, принятые раньше,  детерминируют частично или полностью решения, принятые позднее.

     Таким образом, легко заметить, что экономические задачи, решаемые математическими методами,  имеют  специфику,  определяемую особенностями экономических систем, как более высоких форм движения по сравнению с техническими или биологическими системами.  Эти особенности экономических систем сделали недостаточными те  математические методы, которые выросли из потребностей  других  наук. Т.е. потребовался новый математический аппарат, причем не столько более сложный, сколько просто учитывающий особенности экономических систем на базе уже существующих математических методов.

      Кроме того, экономические системы развиваются и  усложняются сами, изменяется их структура, а иногда и содержание, обусловленное научно-техническим прогрессом. Это делает устаревшими многие методы, применявшиеся ранее, или требует их  корректировки.  В то же время научно-технический прогресс влияет и на сами  математические методы, поскольку появление и  усовершенствование  электронно-вычислительных машин сделало возможным широкое использование методов, ранее описанных лишь теоретически, или  применявшихся лишь для небольших прикладных задач.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      3. Особенности математических методов, применяемых  к  решению экономических задач

 

     В экономических исследованиях издавна  применялись  простейшие математические  методы.  В  хозяйственной  жизни  широко  используются геометрические формулы. Так, площадь участка поля  определяется путем перемножения длины на ширину или объем  силосной траншеи - перемножением длины на среднюю ширину и глубину. Существует целый ряд формул и таблиц, облегчающих хозяйственным работникам определение тех или иных величин.[5 (52)].

     Не стоит и говорить о применении арифметики, алгебры в  экономических исследованиях, это уже вопрос о культуре исследования, каждый уважающий себя экономист владеет такими навыками.  Особняком здесь стоят так называемые методы оптимизации, чаще  называемые как экономико-математические методы.

     В 60-е годы нашего столетия развернулась дискуссия о математических методах в экономике.  Например,  академик Немчинов выделял пять базовых методов исследования при планировании:

     1) балансовый метод;

     2) метод математического моделирования;

     3) векторно-матричный метод;

     4) метод экономико-математических множителей  (оптимальных общественных оценок);

     5) метод последовательного приближения.[9 (153)].

     В то же время академик Канторович выделял математические методы в четыре группы:

     - макроэкономические модели, куда относил балансовый метод и  модели спроса;

     - модели взаимодействия экономических подразделений (на основе теории игр);

     - линейное моделирование,  включая ряд задач,  немного отличающихся от классического линейного программирования;

     - модели оптимизации, выходящие за пределы линейного моделирования (динамическое, нелинейное, целочисленное,  и стохастическое программирование).

     И с той, и с другой классификацией можно спорить,  поскольку, например модели спроса можно по ряду особенностей отнести к нелинейному программированию,  а стохастическое моделирование  уходит корнями в теорию игр. Но все это проблемы классификации,  которые имеют определенное методологическое значение,  но в данном случае не столь важны.

     С точки же зрения роли математических  методов  стоит  говорить лишь о широте применения различных методов  в  реальных  процессах планирования.

     С этой точки зрения несомненным лидером является  метод  линейной оптимизации,  который был разработан академиком Канторовичем в 30-е годы ХХ-го века.  Чаще всего задача линейного программирования применяется при моделировании организации производства. Вот как по Канторовичу выглядит математическая  модель  организации производства:

     В производстве участвуют M различных производственных факторов (ингредиентов) - рабочая сила, сырье, материалы, оборудование,  конечные и промежуточные продукты и др.  Производство использует S технологических способов производства, причем для каждого из них заданы объемы производимых ингредиентов, рассчитанные на реализацию этого способа с единичной эффективностью, т.е.  задан вектор  a_k = (a_1k, a_2k,..., a_mk ),  k = 1,2...,S,  в  котором каждая из компонент a_ik указывает объем производства   соответствующего ( i-го ) ингредиента,  если  она  положительна;  и объем его расходования, если она отрицательна ( в способе k ).

     Выбор плана означает указание  интенсивностей  использования различных технологических способов, т.е. план определяется вектором  x = (x₁, x₂,..., x_S ) c неотрицательными компонентами [4 (32)].

     Обычно на количества выпускаемых и затрачиваемых  ингредиентов накладываются ограничения: произвести нужно не  менее,  чем требуется, а затрачивать не больше, чем имеется.  Такие ограничения записываются в виде

           s

           S  a _ikx_k > b_i ; i=1,2,...,m.     (1)

          k=1 

Если i > 0, то неравенство  означает,  что  имеется  потребность в ингредиенте в размере i, если i < 0,то неравенство означает, что имеется ресурс данного ингредиентов размере - i =¦  i¦.     Далее предполагается,  что  использование  каждого  способа, связанного с расходом одного из  перечисленных  ингредиентов  или особо выделенного ингредиента в количестве Ck при  единичной  интенсивности способа k. В  качестве  целевой  функции  принимается суммарный расход этого ингредиента в плане.

               s

     f(x) = S  c_kx_k.                     (2)

             k=1

     Теперь общая задача линейного  программирования  может  быть представлена в математической форме.

     Для заданных чисел   a_ik,  c_k,  и   b_i найти

           s

     min S c_kx_k

          k=1

     при условиях

        k > 0, k = 1,2,...,s                 [1]

      s

       S  a_ikx_k > b_i, i = 1,2,...,m          [2]

     k=1

     План, удовлетворяющий условиям [1] и [2], является  допустимым, а если в нем , кроме того, достигается минимум целевой  функции, то этот план оптимальный.[K33]

     Задача линейного программирования двойственна, то есть, если  прямая задача имеет решение, (вектор x =(  x₁, x₂,..., x_k)), то  существует и имеет решение обратная задача основанная на транспонировании матрицы прямой задачи. Решением обратной задачи  является вектор  y = (  y₁,  y₂... ,y_m)компоненты которого можно рассматривать как объективно обусловленные оценки ресурсов, т.е. оценки, показывающие ценность ресурса и насколько полно он используется.

     На основе объективно обусловленных оценок американским математиком Дж. Данцигом - был разработан симплекс-метод решения задач оптимального программирования. Этот метод весьма широко применяется. Алгоритм его весьма детально проработан,  и  даже  составлены прикладные пакеты программ, которые применяются во многих  отраслях планирования.

     Метод линейной оптимизации с того момента, как он был разработан Канторовичем, не оставался без изменений, он  развивался  и продолжает развиваться. Например, формула (2) в  современной  интерпретации выглядит следующим образом. 

         S a_ij x_j <  b_i (i О I)               (3)

      j ОA1

В чем же отличие?

     Во-первых ограничение записывается не больше, либо равно , а меньше, либо равно, что больше соответствует экономическому смыслу правой стороны ограничения (bi - количество ресурсов). У  Канторовича же ресурс записывается - bi = ¦bi¦ -  т.е.  отрицательным числом, что для экономического склада ума неестественно ( как может быть ресурса меньше нуля).

     Во-вторых, суммирование производится  не  по  всем  способам производства, а лишь по определенному их подмножеству (j О A1),что также соответствует экономическим реалиям, когда по технологическим, или другим причинам не все способы производства участвуют  в каком-либо конкретном ограничении.

     Аналогично и с ресурсами, в ограничении участвуют не все ресурсы сразу , а какое-то их подмножество (i О I).

     Введением подмножеств не ограничилось совершенствование  метода линейной оптимизации. Нужды практики  заставили  разработать еще целый ряд приемов и методов для  различных  случаев  описания реалий хозяйственной практики в виде ограничений. Это такие приемы, как запись ограничений по использованию производственных  ресурсов, запись ограничений по гарантированному объему  работ  или производства продукции, приемы  моделирования  при  неизвестных значениях показателей и многие другие, на которых здесь не  стоит останавливаться.