Принятие управленческих решений

Критерий Лапласа: поскольку вероятности возникновения той или иной ситуации Yj неизвестны, будем их все считать равновероятными. Тогда для каждой строки матрицы выигрышей подсчитывается среднее арифметическое значение оценок. Оптимальному решению будет соответствовать такое решение, которому соответствует максимальное значение этого среднего арифметического, то есть

Критерий Вальда: в каждой строке матрицы выбираем минимальную оценку. Оптимальному решению  соответствует такое решение, которому соответствует максимум этого минимума, то есть

Этот критерий очень осторожен. Он ориентирован на наихудшие условия, только среди  которых и отыскивается наилучший, и теперь уже гарантированный  результат.

Критерий Сэвиджа: в каждом столбце матрицы находится  максимальная оценка и составляется новая матрица, элементы которой определяются соотношением:

Величину rij называют риском, под которым понимают разность между максимальным выигрышем, который имел бы место, если бы было достоверно известно, что наступит ситуация Yj, и выигрыш при выборе решения Xi в условиях Yj. Эта новая матрица называется матрицей рисков.  Далее из матрицы рисков выбирают такое решение, при котором величина риска принимает наименьшее значение в самой неблагоприятной ситуации, то есть

Сущность этого  критерия заключается в минимизации риска. Как и критерий Вальда, критерий Сэвиджа очень осторожен. Они различаются разным пониманием худшей ситуации: в первом случае – это минимальный выигрыш, во втором – максимальная потеря выигрыша по сравнению с тем, чего можно было бы достичь в данных условиях.

Критерий Гурвица: вводится некоторый коэффициент , называемый коэффициентом оптимизма, 0 1. В каждой строке матрицы выигрышей находится самая большая оценка и самая маленькая . Они умножаются соответственно на   и (1- ) и затем вычисляется их сумма. Оптимальному решению будет соответствовать такое решение, которому соответствует максимум этой суммы, то есть

При =0 критерий Гурвица трансформируется в критерий Вальда. Это случай ”крайнего пессимизма”. При =1 (случай крайнего оптимизма) человек, принимающий решение, рассчитывает на то, что ему будет сопутствовать самая благоприятная ситуация. Коэффициент оптимизма назначается субъективно, исходя из опыта, интуиции и т.п. Чем более опасна ситуация, тем более осторожным должен быть подход к выбору решения и тем меньшее значение присваивается коэффициенту .      

Примером принятия решения в условиях неопределённости может служить рассмотренная  ранее задача выбора метода кодирования  картографической информации, когда  вероятности появления того или иного вида этой информации неизвестны.

Многокритериальные  задачи принятия решений.

Пусть, как и  прежде, необходимо выбрать одно из множества решений X из области  x их допустимых значений. Но, в отличие от рассмотренного ранее, каждое выбранное решение оценивается совокупностью критериев f1,f2,…,fk, которые могут различаться своими коэффициентами относительной важности ( 1… k). Критерии fq, q=1..k, называют частными или локальными критериями, они образуют интегральный или векторный критерий оптимальности F={fq}. Коэффициенты образуют вектор важности . Каждый локальный критерий характеризует некоторую локальную цель принимаемого решения.

Оптимальное решение X должно удовлетворять соотношению:

где: F – оптимальное  решение интегрального критерия;

opt – оператор  оптимизации, он определяет выбранный  принцип оптимизации.

Область допустимых решений  x может быть разбита на две непересекающиеся части:

 – область согласия, в которой качество решения может быть улучшено одновременно по всем локальным критериям или без снижения уровня любого из критериев;

 – область компромиссов, в  которой улучшение качества решения  по одним локальным критериям  приводит к ухудшению качества  решения по другим.

Очевидно, что оптимальное решение может принадлежать только области компромиссов, так как в области согласия решение может и должно быть улучшено по соответствующим критериям.

Выделение области  компромисса сужает область возможных  решений, но для выбора одного-единственного  варианта решения необходимо выбрать схему компромисса, то есть раскрыть смысл оператора оптимизации opt. Этот выбор осуществляется субъективно.

Рассмотрим основные схемы компромисса, предполагая  вначале, что все локальные критерии нормализованы (то есть имеют одинаковую размерность или являются безразмерными величинами) и одинаково важны. Рассмотрение удобно вести, перейдя от пространства x выбираемых решений X к пространству k возможных (допустимых) локальных критериев F={f1,f2,…,fk}, деля его на область согласия и область компромиссов.

Тогда сформулированную ранее модель оптимизации можно  переписать в виде:

Основными схемами  компромисса являются:

- принцип равномерности;

- принцип справедливой  уступки;

- принцип выделения  одного оптимизируемого критерия;

- принцип последовательной уступки.

Принцип равномерности  провозглашает целесообразность выбора такого варианта решения, при котором  достигалась бы некоторая  “равномерность”  показателей по всем локальным критериям. Используют следующие реализации принципа равномерности:

- принцип равенства;

- принцип максимина;

- принцип квазиравенства.

Принцип равенства  формально выражается следующим  образом:

, то есть оптимальным считается вариант, принадлежащий области компромиссов, при котором все значения локальных критериев равны между собой. Однако случай f1=f2=…=fk может не попасть в область компромиссов или вообще не принадлежать к области допустимых вариантов.

Принцип максимина  формально выражается следующим  образом:

 

В случае применения этого принципа из области компромиссов выбирается вариант с минимальными значениями локальных критериев и среди них ищется вариант, имеющий максимальное значение. Равномерность в этом случае обеспечивается за счёт “подтягивания” критерия с наименьшим уровнем.

Принцип квазиравенства заключается в том, что стремятся достичь приближённого равенства всех локальных критериев. Приближение характеризуется некоторой величиной . Это принцип может быть использован в дискретном случае.

Следует отметить, что принципы равенства, несмотря на их привлекательность, не могут быть рекомендованы во всех случаях. Иногда даже небольшое отклонение от равномерности может дать значительный прирост одному из критериев.

Способы нормализации критериев.

Проблема нормализации критериев возникает во всех задачах  векторной оптимизации, в которых локальные критерии оптимальности имеют различные единицы измерения. Исключение составляют те задачи, в которых в качестве схемы компромисса применяется принцип относительной уступки.

В основу нормализации критериев положено понятие “идеального вектора”, то есть вектора с “идеальными” значениями параметров

.

В нормализованном  пространстве критериев вместо действительного  значения критерия fq рассматривается  безразмерная величина:

Если лучшим считается большое значение критерия и если  

Успешное решение  проблемы нормализации во многом зависит  от того, насколько правильно и  объективно удаётся определить идеальные  значения . Способ выбора идеального вектора и определяет способ нормализации. Рассмотрим основные способы нормализации.

Способ 1: идеальный вектор определяется заданными величинами критериев:

Недостатком этого  способа является сложность и  субъективность назначения , что приводит к субъективности оптимального решения.

Способ 2: в качестве идеального вектора выбирают вектор, параметрами которого являются максимально возможные значения локальных критериев:

Недостатком этого  способа является то, что он существенно  зависит от максимально возможного уровня локальных критериев. В результате равноправие критериев нарушается и предпочтение автоматически отдаётся варианту с наибольшим значением локального критерия.

Способ 3: в качестве параметров идеального вектора принимают  максимально возможный разброс  соответствующих локальных критериев, то есть

Известны и  другие способы нормализации. Нормализация критериев по существу является преобразованием пространства критериев, в котором задача выбора варианта приобретает большую ясность.