В связи с предположением о существовании  альтернативных форм изменения математической величины встает задача получения зависимостей, связывающих изменения функции и аргументов, подобно теореме Лагранжа о среднем для приращений. Получение таких зависимостей базируется на классической теореме Лагранжа.

     Получим зависимость индекса функции  от индекса аргумента. Пусть задана зависимость . Тогда . Рассмотрим логарифм индекса аргумента . Аналогично для индекса функции

     Теорема о среднем в знакомой нам всем форме имеет вид  _.

     А теорема Лагранжа, в которой разности заменены частными (индексами) . Имеем , где - производная, выраженная через частные.

     Классически производная определяется следующим  образом  .

     Введем  замену ,  . Предположим, что переменные и положительны. Пусть , . При этом  , , , , . Операция логарифмирования переводит частные в разности: , .

     Производная преобразованной функции имеет вид [3]  , причем .

     После возврата к исходным переменным имеем 

      ,

     тогда .

     После окончательного возврата к исходным переменным имеем  .  Полученное выражение является определением производной, выраженной через частные.

     Тогда теорема Лагранжа примет вид:

                                                 .                                                 (2) 

     Рассматривая  различные формы изменения величины, указанные выше, можно получить еще  семь разных зависимостей, представляющих собой формулу конечных приращений Лагранжа (подобно мультипликативной, индексной зависимости) [6]:

• зависимость индекса функции от приращения аргумента:

                                       ,                                       (3)

• зависимость индекса функции от относительного приращения аргумента:

                                      ,                                        (4)                             

• зависимость приращения функции от индекса аргумента:

                                   ,                                          (5)

• зависимость приращения функции от относительного приращения аргумента:

                                    ,                                       (6)

• зависимость относительного приращения функции от приращения аргумента:

                                    ,                                          (7)

• зависимость относительного приращения функции от индекса аргумента:

                                    ,                                         (8)

• зависимость относительного приращения функции от относительного приращения аргумента:

                                     .                                  (9) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

6. ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ  ФУНКЦИЯ КОББА-ДУГЛАСА

 

     Трудно  себе представить, что такой сложный  объект как экономика целой страны можно было описать функцией, имеющей  простое аналитическое выражение. В 1928 г. американские экономисты К.У. Кобб и П.Х. Дуглас для описания состояния экономики того периода предложили следующую функцию:

                                                                                               (10) 

     Функция Кобба-Дугласа есть частный случай многофакторной ПФ. Откликом этой модели является объем выпуска ресурсов, а факторами – трудовые ресурсы ( ) и производственные фонды ( ). Параметры – A и . В частности - частные эластичности факторов, коэффициенты пропорциональности между изменениями величины показателя (функции) и фактора (аргумента), влияющего на этот показатель в краткосрочном периоде времени.

     До  настоящего времени функция Кобба-Дугласа  наряду с некоторыми другими широко используется для приближения производственных функций различных объектов. В более общем случае функцией Кобба-Дугласа называют функцию:

     

.

     Одним из вариантов построения ПФ Кобба-Дугласа  является рассмотрение ее как уравнения множественной регрессии.

     Уравнение множественной регрессии имеет  вид:

                                               ,                                   (11)

     где - выход (результирующий показатель), - факторы, - коэффициента уравнения, которые находятся по формуле: .

     При логарифмировании выражения (10) получаем: или                          

                                                    .                                       (12)

     Сравнивая (11) и (12), приходим к выводу, что (12) –  типичное уравнение множественной  регрессии, в котором в качестве выхода имеем логарифм результирующего показателя, а в качестве входов – логарифмы значений (трудовые ресурсы) и (производственные фонды) [7].

     Так как модель (10) не является линейной зависимостью, то для её построения нельзя применить метод наименьших квадратов (МНК). Но, если линеаризовать (12), то, возможно, используя МНК, рассчитать коэффициенты множественной регрессии (по сути, частные эластичности степенной ПФ).

     Проверка  качества построенной зависимости  включает в себя следующие этапы [2]:

• проверку статистической значимости коэффициентов уравнения (на основе  t-статистики),
• проверку общего качества уравнения регрессии (используя коэффициент детерминации ),
• проверку свойств данных, выполнимость которых предполагалась при оценивании уравнения (проверка выполнимости предпосылок МНК).

     Если  после проведенной проверки нет  оснований отвергать построенную  линейную зависимость, то возможен переход  обратно к нелинейному уравнению  степенной ПФ (10). Такой переход основан на применении действий, обратных логарифмированию. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

7. ФУНКЦИЯ, ОПИСЫВАЮЩАЯ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

     СТРУКТУРЫ ПО  ПРИВЛЕЧЕНИЮ  КЛИЕНТОВ БАНКА 

     В отделе, занимающемся работой по привлечению  клиентов, одного из крупных Липецких банков была получена модель, описывающая выполнение плана по проработке клиентов текущего квартала и некоторыми контрольными показателями предыдущего квартала. Такими показателями являлись величины среднедневных остатков, объем оборотов, полученных в результате эквайринговых операций, оборот средств в иностранной валюте и доходы, полученные от инкассации.

     Полученная  зависимость – аддитивная форма  ПФ Кобба-Дугласа – построена  как уравнение множественной  регрессии и является достаточно качественной для описания указанного экономического процесса.

     ПФ  результатов привлечения клиентов банка имеет вид:

                                                     ,                                   (13)

     где - РКО (расчетно-кассовое обслуживание, контрольный показатель – величины среднедневных остатков в национальной валюте),

            -  ВЭД (внешнеэкономическая  деятельность, контрольный показатель  – величины среднедневных остатков  в иностранной валюте),

            -  ЭКВГ (эквайринговые операции, контрольный показатель – объемы  денежных средств, полученных  от эквайринговых операций),

            -  ИНКАСС (инкассация, контрольный  показатель – объемы денежных  средств, полученных от предоставления услуг инкассаторов).

       Построение такой модели позволяет  значительно упростить планирование  выполнения нормативов, устанавливаемых  головным отделением банка.

     Модель (13) построена на основе методов математической статистики с использованием операций логарифмирования и обратных к ним. Это говорит о стохастическом характере модели.

     Сбор  информации идет по окончании отчетного  периода отдела банка (месячный отчет), следовательно, мы каждый месяц имеем  новые значения вектора входной информации. Значит, модель (13) – дискретная. По структуре модель является статической.

     Параметры модели , , и , по своей сути – частные эластичности факторов, вычисляемые по формулам  (при условии, что известна промежуточная точка ). Следовательно, можно сделать вывод, что модель (13)  линейна по параметрам. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     ЗАКЛЮЧЕНИЕ. РЕЗЮМЕ

 

     В работе рассмотрены основные понятия, касающиеся производственных функций, в частности, рассмотрен один из относительных  показателей, характеризующих ПФ –  эластичность. Сделано предположение  о существования неких форм изменения  математической величины, отличных от приращения, а именно индекса и относительного приращения. В связи с этим решена задача получения зависимостей для изменения указанных форм изменения значений функции от изменений аргументов. Полученные зависимости представляют собой неклассические формы записи теоремы о среднем (формулы конечных приращений) Лагранжа. С использованием аппарата математической статистики и эконометрик построена модель, описывающая результаты работы банковской структуры, занимающейся работой по привлечению новых клиентов. 

     Использование формул, полученных в пункте «Некоторые неклассические представления теоремы  Лагранжа» значительно упрощает расчет и планирование банком уменьшения или увеличения проработка какого-либо конкретного контрольного показателя для управления общим планом проработки клиентов.

     Например, теорема Лагранжа для индексов показателя и факторов для описанной модели примет вид:

      .

     Получение нужной формы записи теоремы о  среднем для рассмотренной модели (производственной функции) производится аналогично. 

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

 

     1. Блюмин С. Л., Суханов В. Ф., Чеботарёв  С. В. Экономический факторный  анализ: Монография. – Липецк: ЛЭГИ, 2004. – 148 с. 

     2. Бородич С.А. Вводный курс эконометрики: Учебное пособие – Мн.: БГУ, 2000. – 354 с.

     3.  Математический анализ: учеб. / В.  А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов; под ред. А. Н. Тихонова. – 3-е изд., перераб. и доп.: в  2 ч. Ч. 1. – М.: ТК Велби, Изд-во  Проспект, 2006. – 672 с.

     4. Минюк С.А.  Математические методы и модели в экономике: Учеб. пособие / Минюк С.А., Ровба Е.А., Кузьмич К.К. – Мн.: ТетраСистемс, 2002. – 432 с.

     5.  Солодовников А. С., Бабайцев В.  А., Браилов А. В., Шандра И. Г.  Математика в экономике: Учеб., Ч. 2. М.: Финансы и статистика, 2001. – 376 с.

     6. Сысоев А.С. Об одной теореме  классического математического  анализа / VI Всероссийская школа-семинар молодых ученых «Управление большими системами»: Сборник трудов. – Т1. – Ижевск: ООО Информационно-издательский центр «Бон Анца», 2009. – 400 с.