О Г Л А В Л  Е Н И Е 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     ВВЕДЕНИЕ

 

     Моделирование процесса любой сферы деятельности, будь то экономика или производство, начинается с построения качественной модели. Мы исходим из того, что модель имеет право на существование, если она опирается на накопленные знания, надежные достоверные источники, отражает главные характеристики изучаемого объекта и дает новые знания о нем.

     Результатом длительного сбора интересующей информации и тщательного ее анализа  является построение именно качественной математической модели. Одним из возможных вариантов такой модели может служить производственная функция. В зависимости от числа факторов, входящих в модель, различают однофакторные и многофакторные производственные функции. 

     Построением и исследованием экономико-математических моделей, описывающих влияние факторов на результирующий показатель, и оценкой оказываемого этими факторами влияния занимается экономический факторный анализ [1].

     Долгое  время в экономическом анализе  не было формулы, отражающей точную связь  между изменениями экономического показателя и факторов, оказывающих на него влияние. Однако из математического анализа такая зависимость давно известна как формула конечных приращений (теорема о промежуточной точке) Лагранжа. Она устанавливает точное равенство между приращениями функции и аргумента.  В контексте экономического факторного анализа теорема Лагранжа о среднем как раз и устанавливает связь между экономическим показателем и факторами.

     В рамках университетского курса теорема  Лагранжа изучается в привычной аддитивной форме, т.е. в виде зависимости между приращениями функции и аргументов. Однако рассмотрение других «неклассических» форм изменения экономико-математических величин позволяет получить некоторые другие «неклассические» формы представления формулы конечных приращений Лагранжа. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ  ФУНКЦИИ

 

     В наиболее простом случае производство продукции (или благ) обусловлено  только одним фактором. В этом случае производственная функция – это функция, независимая переменная которой принимает значения используемого ресурса (фактора производства), а зависимая переменная – значения объемов выпускаемой продукции или услуг:

     

.

     В этой формуле y есть функция одной переменной x. В связи с этим производственная функция (ПФ) называется одноресурсной или однофакторной. Ее область определения – множество неотрицательных действительных чисел. Однако математическое обозначение в контексте экономики не совсем корректно. Отклик может определяться и некоторым другим распределением ресурсов между структурными единицами экономики. В этом случае ПФ – статистически устойчивая связь между затратами ресурса и выпуском. Тогда более правильной является символика:

     

     где а – некий параметр ПФ.

     Производственная  функция нескольких переменных – это функция, независимые переменные которой принимают значения объемов затрачиваемых или используемых ресурсов (число переменных n равно числу ресурсов), а значение функции имеет смысл величин объемов выпуска:

     

.

     В этой формуле  ( ) – скалярная, а х – векторная величина, x₁,…,х_n -координаты вектора х, то есть есть числовая функция нескольких переменных x₁,…,х_n. В связи с этим ПФ называют многоресурсной или многофакторной. Более правильной является такая символика где а – вектор параметров ПФ.

     Считается, что производственная функция дифференцируема и обладает следующими свойствами [4]:

     1. Если  , то . Это означает, что увеличение любого вида затрат не приводит к уменьшению выпуска продукции.

     2. Если отсутствует хотя бы один  необходимый фактор производства, т.е. , то выпуск продукции (производство благ) невозможен: . Так, например, при отсутствии основных фондов выпуск продукции равен нулю.

     3. Функция  предполагается строго вогнутой, т.е. ее матрица Гессе Н является отрицательно определенной.

     Однако  применяемые в экономике конкретные производственные функции не всегда обладают всеми указанными свойствами. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2. ЭЛАСТИЧНОСТЬ  ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ФУНКЦИИ

 

     Все экономические или технологические  показатели можно разделить на абсолютные и относительные. Первые относятся  к категории объёмных, так как  при их вычислении используется непосредственная оценка. Вторые, относительные показатели, относятся к типу удельных и представляют собой отношения абсолютных (или других относительных) показателей, то есть количество единиц одного показателя на одну единицу другого. Относительными показателями являются не только соотношения разных показателей в один и тот же момент времени, но и одного и того же, но в разные моменты; это темпы роста (индексы) данного показателя. В экономическом анализе и принятии решений в одних случаях  важны абсолютные показатели (например, общий объём прибыли или суммарный объём производства), в других – относительные (например, доход на душу населения или удельные показатели энергоёмкости).

     Основная  задача экономического факторного анализа  заключается в получении факторного разложения приращения результирующего  показателя в виде некоторой его  зависимости от абсолютных приращений факторов модели.

     Одним из примеров относительных показателей  является коэффициент эластичности, который показывает относительное  изменение исследуемого показателя под действием некоторого единичного относительного изменения фактора, от которого он зависит, при неизменных остальных влияющих на него факторах.

     В общем случае, предельной (точечной) эластичностью [5] производственной функции  называется предел отношения относительных изменений показателя y и переменной (фактора) x. Обозначив эластичность изменения функции y при изменении фактора x через , получаем:

     

. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3. АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ  ФОРМЫ ИЗМЕНЕНИЯ ВЕЛИЧИНЫ

 

     В классической математике изменение любой величины принято рассматривать в форме приращения, т.е. разности — со знаком или без (по модулю) в зависимости от ставящейся задачи. Но почему бы не рассмотреть изменение величины в такой форме, как отношение — например, конечного значения к начальному и т.д. [6]

     Итак, пусть задана какая-то величина. Тогда, в качестве ее начального значения  примем a, в качестве конечного - b. Изменение этой величины может быть охарактеризовано, по меньшей мере, тремя способами:

1. разность (отклонение, приращение): ;
2. частное (индекс): ;
3. относительное приращение: .

     Модель  зависимости экономического показателя от влияющего на него фактора может быть представлена производственной функцией .  Тогда, очевидно, что при изменении фактора от до , изменяется и показатель - от до . [6]

     В классическом математическом анализе  существует формула, определяющая зависимость  изменения функции (экономического показателя  ) от изменения аргумента (влияющего фактора ). Эта формула широко известна как теорема о среднем Лагранжа, или формула конечных приращений. 
 
 

4. ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ ЛАГРАНЖА

 

     Теорема о среднем дифференциального  исчисления (формула  конечных приращений Лагранжа).   Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, то внутри найдется  точка такая, что справедлива формула [3]

                                      .                                          (1)

     Доказательство. Рассмотрим на отрезке следующую вспомогательную функцию

                                 .                         (1.1)

     Проверим, что для функции  выполнены все условия теоремы Ролля. В самом деле, непрерывна на отрезке (как разность функции и линейной функции) и во всех внутренних точках отрезка имеет производную, равную

     

.

     Из  формулы (1.1) очевидно, что  .

     Согласно  теореме Ролля внутри отрезка  найдется точка такая, что

                                           .                             (1.2)

     Из  равенства (1.2) вытекает формула Лагранжа (1). 

     Геометрическая  интерпретация теоремы Лагранжа приведена на          рис. 3. Заметим, что является угловым коэффициентом секущей, проходящей через точки  , кривой y = f (x), а есть угловой коэффициент касательной к той же кривой, проходящий через точку .

     

     Рис. 3. Графическая интерпретация теоремы  Лагранжа. 

     Из  теоремы Лагранжа следует, что на кривой y = f (x) между точками A и B найдется такая точка C, касательная в которой параллельна секущей AB .

     Доказанная  формула  носит название формулы Лагранжа или формулы конечных приращений. Она очевидно верна и для случая _. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

5. НЕКОТОРЫЕ НЕКЛАССИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

     ТЕОРЕМЫ ЛАГРАНЖА