Применение регрессионного анализа в эконометрике

       Глава 2. Практическое применение регрессионного анализа в эконометрике

Задача  1

       По  территории региона приводятся данные за 2007 (табл. 2.1).

       Построить линейное уравнение парной регрессии  у от х.

       Решение: для расчета параметров уравнения  линейной регрессии строим расчетную  таблицу (табл. 2.2)

       b=xy-y*x/∑x²-(x)²=(13484-85,6*155,8)/(7492,3-85,6²)=151,8/164,94=0,92

       a=y-b*x=155,8-0,92*85,6=77,0

       Получено  уравнение регрессии: у=77,0+0,92*х.

       С увеличением среднедушевого прожиточного минимума на 1 рубль среднедневная  заработная плата возрастает в среднем на 0,92 рубля.

Задача 2

       По  семи территориям Уральского района за 2008 г. Известны значения двух признаков (табл. 2.3).

 
 

       Определить:

1. Для характеристики зависимости у от х рассчитать параметры следующих функций:

А. линейной, ценить ее через F-критерий Фишера.

     Б.  степенной

       Решение:

       1.А.  Для расчета параметров а и  b линейной регрессии ŷ_x=а+b*x решаем систему нормальных уравнений относительно а и b:

       n*a+b∑x=∑y,

       a∑x+b∑x²=∑y*x.

       По  исходным данным рассчитываем: ∑x, ∑y, ∑x², ∑y*x, ∑y². (Табл. 2.4)

       b= yx-y*x/ σ_x²=(3166,05-57,89*54,9)/(5,86)²=-0,35;

       a=y-b*x=57,89+0,35*54,9=76,88.

       Уравнение регрессии: ŷ=76,8-0,35*х

       С увеличением среднедневной заработной платы на 1 рубль доля расходов на покупку продовольственных товаров  снижается в среднем на 0,35%-ных  пункта.

       Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

       r_xy=b*σ_x /σ_y=-0,35*5,86/5,74=-0,357.

       Связь умеренная, обратная.

       Определим коэффициент детерминации:

       r²_xy=(-0,35)²=0,127.

       Вариация  результата на 12,7% объясняется вариацией  фактора х.

       Рассчитаем  F-критерий:

       F_факт= r²_xy*(n-2)/(1- r²_xy)=0,127*5/0,873=0,7.

       Поскольку 1≤F≤∞, следует рассмотреть F^-1.

       Полученное  значение указывает на необходимость  принять гипотезу Н₀ о случайной природе выявленной зависимости и статистической незначимости параметров уравнения и показателя тесноты связи.

       1.Б.  построению степенной модели  ŷ_x=а*x^b предшествует процедура линеаризации переменных. В примере линеаризация производится путем логарифмирования обеих частей уравнения:

       lg y=lg a + b*lg x;

       Y = C + b*X, где

       Y = lg y, X = lg x, С = lg a.

       Для расчетов построим таблицу (табл. 2.5)

       Рассчитаем  С и b:

       b=(YX-Y*X)/ σ²_X=3,0572-1,7605*1,7370/0,0484²=-0,298;

       C=Y-b*X=1,7605+0,298*1,7370=2,278.

       Получим линейное уравнение: Ŷ=2,278-0,298*Х.

       Выполнив  его потенцирование, получим:

       ŷ=10^2,278*х^-0,298=189,7* х^-0,298.

       Выводы

       В практических исследованиях возникает необходимость аппроксимировать (описать приблизительно) зависимость между переменными величинами у и х. Ее можно выразить аналитически с помощью формул и уравнений и графически в виде геометрического места точек в системе прямоугольных координат. Для выражения регрессии служат эмпирические и теоретические ряды, их графики — линии регрессии, а также корреляционные уравнения (уравнения регрессии) и коэффициент линейной регрессии.

       Показатели  регрессии выражают корреляционную связь двусторонне, учитывая изменение средней величины признака у при изменении значений x_i признака х, и, наоборот, показывают изменение средней величины признака х по измененным значениям y_i признака у.

       Форма связи между показателями может  быть разнообразной. И поэтому задача состоит в том, чтобы любую  форму корреляционной связи выразить уравнением определенной функции (линейной, параболической и т.д.), что позволяет получать нужную информацию о корреляции между переменными величинами у и х, предвидеть возможные изменения признака у на основе известных изменений х, связанного с у корреляционно. 
 
 
 

Заключение

       В настоящее время регрессионный  анализ используется как в естественнонаучных исследованиях, так и в обществоведении.

       В практических исследованиях возникает  необходимость аппроксимировать (описать приблизительно) зависимость между переменными величинами у и х. Ее можно выразить аналитически с помощью формул и уравнений и графически в виде геометрического места точек в системе прямоугольных координат. Для выражения регрессии служат эмпирические и теоретические ряды, их графики — линии регрессии, а также корреляционные уравнения (уравнения регрессии) и коэффициент линейной регрессии.

       Показатели  регрессии выражают корреляционную связь двусторонне, учитывая изменение  средней величины признака у при изменении значений x_i признака х, и, наоборот, показывают изменение средней величины признака х по измененным значениям y_i признака у.