Применение экономико-математического моделирования для обоснования

         (3.4) 

Рис. 3.1. Симплексная таблица 

      Правила заполнения первой симплексной таблицы

1. Вместо С₁, С₂, …, С_n записываем соответствующие коэффициенты целевой функции.
2. Вместо а_ij записываем коэффициенты при неизвестных из основных ограничений задачи.
3. Вместо Х_i^базис записываем имена переменных, вошедших в базис, в той последовательности, в которой они образуют единичную матрицу.
4. Вместо С_i^базис записываем коэффициенты целевой функции при соответствующих базисных переменных.
5. Вместо b_i записываем элементы  вектора правых частей задачи.
6.  

      Оптимальное значение переменных соответствует  элементам из столбца «b» последней симплексной таблицы, а  максимальное значение целевой функции содержимому ячейки (с^базис ,b). 
 
 
 
 
 
 
 

2.3 Двойственные  задачи 
 

      Прежде  чем строить двойственную задачу, предварительно исходную задачу линейного программирования нужно привести к виду, где все ограничения неравенства имеют один тип, а целевая функция  - направление, противоположное типу ограничений неравенств.

Правила построения двойственной задачи.

1. Целевая функция в двойственной задаче меняет своё направление на противоположное.
2. Количество двойственных переменных равно количеству основных ограничений исходной задачи.
3. Двойственная переменная, соответствующая ограничению равенству, является неограниченной по знаку, а  соответствующая ограничению неравенству – неотрицательной.
4. Вектор правых частей ограничений исходной задачи является вектором коэффициентов целевой функции в двойственной задаче.
5. Вектор коэффициентов целевой функции исходной задачи является вектором правых частей ограничений в двойственной задаче.
6. Матрица коэффициентов ограничений двойственной задачи – это транспонированная матрица коэффициентов исходной задачи, т.е. строка коэффициентов исходной задачи, является столбцом коэффициентов двойственной задачи.
7. Неотрицательным переменным исходной задачи соответствуют ограничения неравенства в двойственной задаче,  причем тип неравенства меняется на противоположный, по сравнению с исходной задачей. А неограниченной переменной исходной задачи соответствует ограничение равенство в двойственной задаче.

     Соотношение двойственности является симметричным, т.е. двойственная  задача по отношению к двойственной совпадает с исходной.

     Если  исходная задача  линейного программирования записана в стандартном виде:    (с, х)→ max

               (4.1)

то соответствующая ей двойственная задача записывается следующим образом: 

         

     (b, y)→min

               (4.2) 

   Для следующей задачи линейного программирования построим двойственную задачу.

             

                 3x₁ + 3x₂ – 4x₃ → max

             
 
 

-2х₁ - х₂ + 3х₃   ≤ -18        у₁

4х₁      -      5 х₃ ≤ 12         у₂   

3х₁ - 2 х₂   + х₃  = 14         у₃

х₁ ≥ 0;  х₂≥ 0; х₃ ≥ 0         

Вводом двойственные переменные

-18у₁+12у₂+14у₃              min

-2у₁ + 4у₂ + 3у ₃≥ 3

-у₁         -    2у₃       ≥3

3у₁ - 5у₂ + у₃  ≥ -4

у₁ ≥0; у₂≥0           
 
 
 
 

3 Раздел

   Применение экономико-математического  моделирования для обоснования      

   плановых прогнозных решений.

         Существуют следующие предпосылки использования методов экономико-математического моделирования.

       Важнейшими из них являются, во-первых, высокий уровень знания экономической теории, экономических процессов и явлений, методологии их качественного анализа; во-вторых, высокий уровень математической подготовки, владение экономико-математическими методами. Прежде чем приступить к разработке моделей, необходимо тщательно проанализировать ситуацию, выявить цели и взаимосвязи, проблемы, требующие решения, и исходные данные для их решения, ввести систему обозначений, и только тогда описать ситуацию в виде математических соотношений.

 

Модель 1

       Построить модель на оптимальное  сочетание фуражных зерновых, овощей, многолетних трав и молочного  скотоводства. Площадь посева многолетних  трав должна быть не менее  50 % от площади пашни. Молока произвести не менее 300 ц. Критерий оптимальности – максимум валовой продукции в денежном выражении. 

х₁ – валовой сбор зерна

х₂ – валовой сбор овощей

х₃ – валовой сбор многолетних трав

х₄ – валовой сбор молока 

Целевая функция

250х₂ + 760х₄          мах 

Ограничения

1. По площади пашни

     0,0323х₁ + 0,009х₂ + 0,0165х₃ ≤  1500

2. По трудовым ресурсам

0,5х₁ + 2,3х₂ + 0,8х₃ + 5,2х₄  ≤ 850000

3. По трудовым ресурсам в напряженный период

0,03х₁ +0,4х₂ + 0,02х₃ + 1,2х₄ ≤ 28670

4. По кормам, ц к. ед.

        0,9х₁ + 0,03х₂ + 0,2х₃ ≥ 1,5х₄

5. По площади посева многолетних трав

0,0165х₃ ≥ 750

6. По производству молока

Х₄ ≥ 300

7. По не отрицательности

х₁ ≥ 0 ; х₂ ≥ 0 ; х₃ ≥ 0 ; х₄ ≥ 0 
 
 
 
 
 
 
 
 

Модель 2

       Распределить сельскохозяйственные  работы по маркам тракторов  таким образом, чтобы общие  затраты на выполнение работ  были минимальными. Исходные данные  приведены в таблице. 

 

X_ij - V_i производимый j-й машиной

        х₁₁х₁₂х₁₃х₁₄

        х₂₁х₂₂х₂₃х₂₄

 X=  х₃₁х₃₂х₃₃х₃₄

        х₄₁х₄₂х₄₃х₄₄

         

Целевая функция

0,8х₁₁ + 1х₁₂ + 0,9х₁₃ + 0,85х₁₄ + 2,4х₂₁ + 3х₂₂ + 3,4х₂₃ + 3,2х₂₄ + 1х₃₃ + 0,95х₃₄ + +0,2х₄₁ + 0,27х₄₂ + 0,25х₄₃ + 0,27х₄₄              min 

Ограничения

1. По виду работ

х₁₁ + х₁₂ + х₁₃ + х₁₄ = 1500

х₂₁ + х₂₂ + х₂₃ + х₂₄ = 2000

х₃₃ + х₃₄ = 800

х₄₁ + х₄₂ + х₄₃ + х₄₄ = 700

2. По марки машин

х₁₁ + х₂₁ + х₄₁ = 1000

х₁₂ + х₂₂ + х₄₂ 1600

х₁₃ + х₂₃ + х₃₃ + х₄₃=1800

х₁₄ + х₂₄ + х₃₄ + х₄₄ =600

3. По не отрицательности

 X_ij ≥ 0  i=1, 2, 3   j=1, 2, 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Модель 3

      1. Пашня, отведенная под кормовые цели - 490 га, пастбища - 800 га, сенокосы – 300 га.

      2. На все поголовье скота необходимо произвести не менее 25000 ц к.ед.

      3. Всего в хозяйстве будет 500 голов-коров. В году на 1 голову коровы затрачивается в натуре: концентрированных - от 7 до 12 ц, грубых - от 20 до 30 ц, сочных - от зеленых - от 60 до 100 ц,.

      4. Покупные комбикорма составят не более 3000 ц.

      5. Сведения о кормовых культурах (в расчете па I га посева)