Предмет и метод математической статистики

В ранжированном  вариационном ряду с нечетным числом единиц совокупности медианой является значение признака у средней в  ряду единицы. Медиана не зависит  от значений признака, стоящих на краях  вариационного ряда.

В интервальном вариационном ряду для нахождения медианы применяется  формула:

,

где XMe - нижняя граница интервала, в котором находится медиана;

f`Me - число наблюдений (или объем взвешивающего признака), накопленное до начала медианного интервала;

fMe - число наблюдений или объем взвешивающего признака в медианном интервале (в абсолютном или относительном выражении);

i - величина медианного интервала;

- половина от общего числа  наблюдений или половина объема  того показателя, который используется  в качестве взвешивающего в  формулах расчета средней величины (в абсолютном или относительном  выражении).

Медианой целесообразно  пользоваться, когда не известны границы  открытых крайних интервалов вариационного  ряда, на которые приходится значительная часть единиц всей совокупности, так  как средняя в этих случаях  страдает значительной неточностью. При  исчислении же медианы отсутствие сведений об этих границах не влияет на точность расчета.

Мода (Мо) - это вариант  признака, который при данном сочетании  причин разного порядка чаще всего  встречается в вариационном ряду. Например, цена, по которой чаще всего  реализуется данный товар на рынке, является модой или модальной  ценой. Месячная заработная плата, которая  чаще всего встречается в данном коллективе, является для него модальной  заработной платой.

Мода соответствует  определенному значению признака. На практике моду находят, как правило, по сгруппированным данным.

В дискретном ряду мода определяется без вычисления как  значение признака с наибольшей частотой.

В интервальном вариационном ряду, тем более при непрерывной  вариации признака, строго говоря, каждое значение признака встречается только один раз. Модальным интервалом является интервал с наибольшей частотой. Внутри этого интервала находят условное значение признака, вблизи которого плотность  распределения, то есть число единиц совокупности, приходящееся на единицу  измерения варьирующего признака, достигает  максимума. Это условное значение и  считается точечной модой.

, 

 

XMo - нижнее значение признака X в модальном интервале;

i - величина интервала;

fMo - частота (частость) повторения признака X в модальном интервале;

fMo-1 ,fMo+1 - соответственно частоты (частости) признака для интервала, предшествующего модальному и следующего за ним.

9. Среднее квадратическое отклонение.

Наиболее совершенной характеристикой  вариации является среднее квадратическое откложение, которое называют стандартом (или стандартным отклонение). Среднее квадратическое отклонение ( ) равно квадратному корню из среднего квадрата отклонений отдельных значений признака от средней арифметической:

Среднее квадратическое отклонение простое:

Среднее квадратическое отклонение взвешенное применяется для сгруппированных  данных:

Между средним квадратическим и средним линейным отклонениями в условиях нормального распределения имеет место следующее соотношение:   ~ 1,25.

Среднее квадратическое отклонение, являясь основной абсолютной мерой  вариации, используется при определении  значений ординат кривой нормального  распределения, в расчетах, связанных  с организацией выборочного наблюдения и установлением точности выборочных характеристик, а также при оценке границ вариации признака в однородной совокупности.

 

10. Дисперсия

 

Дисперсия  - представляет собой средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины.

Дисперсия простая:

Дисперсия взвешенная:

Более удобно вычислять дисперсию  по формуле:

которая получается из основной путем несложных преобразований. В этом случае средний квадрат отклонений равен средней из квадратов значений признака минус квадрат средней.

Для несгрупиированных данных:

Для сгруппированных данных:

 

11. Коэффициент вариации

 

Из всех показателей вариации стандартное  отклонение в наибольшей степени  используется для проведения других видов статистического анализа. Как я уже писал выше, это  оценка точности, качества и др. Однако среднеквадратическое отклонение дает абсолютную оценку меры разбросанности значений и чтобы понять, насколько  она велика относительно самих значений, требуется относительный показатель. Такой показатель существует и называется он коэффициент вариации. Формула коэффициента вариации очень проста:

 

где   - искомый показатель,  - среднее квадратичное отклонение,  - средняя величина.

Как видно, это отношение стандартного отклонения к средней величине. Данный показатель измеряется в процентах (если умножить на 100%). Имея коэффициенты вариации, можно сравнивать однородность самых разных явлений независимо от их масштаба и единиц измерения. Данный факт и делает коэффициент вариации столь популярным.

В статистике принято, что, если значение коэффициента вариации менее 33%, то совокупность считается однородной, если больше 33%, то – неоднородной