Предмет и метод математической статистики

1.      Предмет и метод  математической статистики. 

Статистическое описание совокупности объектов занимает промежуточное  положение между индивидуальным описанием каждого из объектов совокупности, с одной стороны, и описанием  совокупности по её общим свойствам, совсем не требующим её расчленения  на отдельные объекты, — с другой. По сравнению с первым способом статистические данные всегда в большей или меньшей степени обезличены и имеют лишь ограниченную ценность в случаях, когда существенны именно индивидуальные данные (например, учитель, знакомясь с классом, получит лишь весьма предварительную ориентировку о положении дела из одной статистики числа выставленных его предшественником отличных, хороших, удовлетворительных и неудовлетворительных оценок). С другой стороны, по сравнению с данными о наблюдаемых извне суммарных свойствах совокупности статистические данные позволяют глубже проникнуть в существо дела. Например, данные гранулометрического анализа породы (то есть данные о распределении образующих породу частиц по размерам) дают ценную дополнительную информацию по сравнению с испытанием нерасчленённых образцов породы, позволяя в некоторой мере объяснить свойства породы, условия её образования и прочее.

Метод исследования, опирающийся  на рассмотрение статистических данных о тех или иных совокупностях  объектов, называется статистическим. Статистический метод применяется  в самых различных областях знания. Однако черты статистического метода в применении к объектам различной  природы столь своеобразны, что  было бы бессмысленно объединять, например, социально-экономическую статистику, физическую статистику, звёздную статистику и тому подобное в одну науку.

Общие черты статистического  метода в различных областях знания сводятся к подсчёту числа объектов, входящих в те или иные группы, рассмотрению распределения количеств, признаков, применению выборочного метода (в  случаях, когда детальное исследование всех объектов обширной совокупности затруднительно), использованию теории вероятностей при оценке достаточности  числа наблюдений для тех или  иных выводов и т. п. Эта формальная математическая сторона статистических методов исследования, безразличная к специфической природе изучаемых объектов, и составляет предмет М. с.

 

2. Наблюдения и эксперимент. Типы варьирования. Группировка.

Наблюдение — целенаправленное изучение предметов, опирающееся в основном на данные органов чувств (ощущения, восприятия, представления). 

В ходе наблюдения мы получаем знания не только о внешних сторонах объекта познания, но о его существенных свойствах и отнош-х. Наблюдение может быть непосредственным и опосредованным различными приборами и техническими устройствами (микроскопом, телескопом, фото- и кинокамерой). Основные требования к научному наблюдению: однозначность замысла; наличие системы методов и приемов; объективность, т. е. возможность контроля путем либо повторного наблюдения, либо с помощью других методов (напр, эксперимента). Обычно наблюдение включ-ся в кач-ве составной части в процедуру эксперимента. Важным моментом наблюдения явл-ся интерпретация его результатов — расшифровка показаний приборов. Особую трудность наблюдение представляет в социально-гуманитарных науках, где его рез-ты в большей мере зависят от личности наблюдателя, его жизненных установок и принципов его заинтересованного отношения к изучаемому предмету. В ходе наблюдения исследователь всегда руководствуется определенной идеей, концепцией или гипотезой. Он не просто регистрирует любые факты, а сознательно отбирает те из них, кот-е либо подтверждают, либо опровергают его идеи. При этом очень важно отобрать наиболее репрезентативную, т. е. наиболее представительную группу фактов в их взаимосвязи. Интерпретация наблюдения также всегда осуществляется с помощью определенных теоретических положений.

Эксперимент— активное и целенаправленное вмешательство в протекание изучаемого процесса, соответствующее изменение объекта или его воспроизведение в специально созданных и контролируемых условиях. Т об, в эксперименте объект или воспроизводится искусственно, или ставится в определенным образом заданные усл-я, отвечающие целям исследования. В ходе эксперимента изучаемый объект изолируется от побочных влияний, затемняющих его сущность, и представляется в «чистом виде». При этом конкретные усл-я эксперимента не только задаются, но и контролируются, модернизируются, многократно воспроизводятся и изменяются. Тем самым эксперимент осуществляется, во-первых, как взаимодействие объектов, протекающее по естественным законам, во-вторых, как искусственное, чел-м организованное действие. Всякий научный эксперимент всегда направляется какой-либо идеей, концепцией, гипотезой. Основные особенности эксперимента: а) более активное (чем при наблюдении) отнош-е к объекту, вплоть до его изменения и преобразования; б) многократная воспроизводимость изучаемого объекта по желанию исследователя; в) возможность обнаружения таких свойств явл-й, кот-е не наблюдаются в естественных усл-х; г) возможность рассмотрения явл-я в «чистом виде» путем изоляции его от усложняющих и маскирующих его ход обстоятельств или путем изменения, варьирования усл-й эксперимента; д) возможность контроля за «поведением» объекта исследования и проверки рез-в. Основные стадии осуществления эксперимента: планирование и построение (его цель, тип, средства, методы проведения); контроль; интерпретация рез-в. Структура эксперимента (т. е. что и кто необходим, чтобы он состоялся): а) экспериментаторы (напр, физики-экспериментаторы); б) объект эксперимента (т. е. явл-е, на кот-е осуществляется воздействие); в) система приборов и другое научное оборудование; г) методика проведения эксперимента; д) гипотеза (идея), кот-я подлежит подтверждению или опровержению. Эксперимент имеет 2 взаимосвязанные функции: опытная проверка гипотез и теорий, а также формирование новых научных концепций. В зависимости от этих функций выделяют эксперименты: исследовательские (поисковые), проверочные (контрольные), воспроизводящие, изолирующие. История науки показала, что научное открытие (особенно фундаментальное) сразу же приводит к совершенствованию экспериментальной техники. По хар-ру объектов выделяют физические, химические, биологические, соц-е эксперименты.  

 

3. Построение вариационных рядов

Первым этапом статистического  изучения вариации являются построение вариационного ряда - упорядоченного распределения единиц совокупности по возрастающим (чаще) или по убывающим (реже) значениям признака и подсчет числа единиц с тем или иным значением признака.

Существуют три формы  вариационного ряда: ранжированный  ряд, дискретный ряд, интервальный ряд. Вариационный ряд часто называют рядом распределения. Этот термин используется при изучении вариации как количественных, так и неколичественных признаков.

Ранжированный ряд — это перечень отдельных единиц совокупности в порядке возрастания (убывания) изучаемого признака.

Если численность единиц совокупности достаточно велика, ранжированный  ряд становится громоздким, а его  построение, даже с помощью ЭВМ, занимает длительное время. В таких случаях  вариационный ряд строится с помощью  группировки единиц совокупности по значениям изучаемого признака.

Если признак принимает  небольшое число значений, строится дискретный вариационный ряд. Примером такого ряда является распределение  футбольных матчей по числу забитых мячей. 

Дискретный вариационный ряд - это таблица, состоящая из двух строк или граф: конкретных значений варьирующего признака х_i и числа единиц совокупности с данным значением признака f_i частот.

Число групп в дискретном вариационном ряду определяется числом реально существующих значений варьирующего признака. Если же признак может  принимать хотя и дискретные значения, но их число очень велико (например, поголовье скота на 1 января года в разных сельхозпредприятиях может  составлять от нуля до десятков тысяч  голов), тогда строится интервальный вариационный ряд. Интервальный вариационный ряд строится и для изучения признаков, которые могут принимать любые, как целые, так и дробные, значения в области своего существования.

Интервальный вариационный ряд представляет собой таблицу, (состоящую из двух граф (или строк) — интервалов признака, вариация которого изучается, и числа единиц совокупности, попадающих в данный интервал (частот), или долей этого числа от общей численности совокупности (частостей).

При построении интервального  вариационного ряда необходимо выбрать  оптимальное число групп (интервалов признака) и установить длину интервала. Поскольку при анализе вариационного  ряда сравнивают частоты в разных интервалах, необходимо, чтобы величина интервала была постоянной. Оптимальное  число групп выбирается так, чтобы  в достаточной мере отразилось разнообразие значений признака в совокупности и  в то же время закономерность распределения, его форма не искажалась случайными колебаниями частот. Если групп будет  слишком мало, не проявится закономерность вариации; если групп будет чрезмерно  много, случайные скачки частот исказят  форму распределения.

Чаще всего число групп  в вариационном ряду устанавливают, придерживаясь формулы, рекомендованной  американским статистиком Стерджессом (Sturgess):

где k - число групп; n - численность совокупности.

Определение величины интервала

Зная число групп, рассчитывают величину интервала:

4. Среднее арифметическое значение

Средняя арифметическая — такое среднее значение признака, при вычислении которого общий объем признака в совокупности сохраняется неизменным. Для того чтобы вычислить среднюю арифметическую, необходимо сумму всех значений признаков разделить на их число.

Она применяется в тех  случаях, когда объем варьирующего признака для всей совокупности является суммой значений признаков отдельных  ее единиц. Примером средней арифметической может служить общий фонд заработной платы — это сумма заработных плат всех работников.

Средняя арифметическая может быть вычислена по формуле:

где n — численность совокупности.

Основные свойства средней арифметической

• Если индивидуальные значения признака (варианты), уменьшить (увеличить) в n раз, то среднее значение нового признака соответственно уменьшится или увеличится во столько же.
• Если все варианты осредняемого признака уменьшить (увеличить) на число А, то средняя арифметическая соответственно изменится на это же число.
• Если вес всех осредняемых вариантов уменьшить (увеличить) в k раз, то средняя арифметическая не изменится.
• Сумма отклонений отдельных значений признака от средней арифметической равна нулю.

Средняя арифметическая – наиболее распространенный на практике вид средних. Различают 2 вида арифметических средних:

·          Невзвешенную (простую);

·          Взвешенную.

Средняя арифметическая невзвешенная рассчитывается для несгруппированных данных по формуле:

.

Для массовых статистических совокупностей рассчитывается взвешенная средняя арифметическая по формуле:

 

5. Среднее квадратическое значение

Если при замене индивидуальных величин признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменной сумму  квадратов исходных величин, то средняя  будет являться квадратической средней величиной.

Ее формула такова:

, для простой.

, для взвешенной.

Средняя квадратическая применяется в тех случая, когда исходные значения X могут быть как положительными, так и отрицательными, например при расчете средних отклонений.

Формула средней квадратической используется для измерения степени колеблемости индивидуальных значений признака вокруг средней арифметической в рядах распределения. Так, при расчете показателей вариации среднюю вычисляют из квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической величины.

 

6. Среднее геометрическое значение

Если при замене индивидуальных величин признака на среднюю величину необходимо сохранить  неизменным произведение индивидуальных величин, то следует применить геометрическую среднюю величину.

Ее формула такова:

, для простой.

, для взвешенной.

Основное применение геометрическая средняя находит при определении средних темпов роста.

Геометрическая  средняя величина дает наиболее точный результат осреднения, если задача стоит в нахождении такого значения X, который был бы равноудален  как от максимального, так и от минимального значения X.

 

7. Среднее гармоническое значение.

Если по условиям задачи необходимо, чтобы неизменной оставалась при осреднении сумма  величин, обратных индивидуальным значениям  признака, то средняя величина является гармонической средней.

Средняя гармоническая  величина, как и средняя арифметическая может быть простой и взвешенной. Если веса у каждого значения признака равны, то можно использовать среднюю гармоническую простую:

 .

Однако в статистической практике чаще применяется средняя гармоническая взвешенная:

, где m = xf  ,

она используется, как правило, при расчете общей  средней из средних групповых.

Среднюю гармоническую  применяют для расчетов тогда, когда  в качестве весов используются не единицы совокупности – носители признака, а произведения этих единиц на значения признака (т.е. m = Xf). К средней гармонической простой следует прибегать в случаях определения, например, средних затрат труда, времени, материалов на единицу продукции, на одну деталь по двум (трем, четырем и т.д.) предприятиям, рабочим, занятым изготовлением одного и того же вида продукции, одной и той же детали, изделия.

 

8. Мода и медиана  распределения.

Медиана (Ме) — величина варьирующего признака, делящая совокупность на две равные части — со значениями признака меньше медианы и со значениями признака больше медианы.