Построение факторных регрессионных моделей

 

 

 

9. Рассчитайте прогнозное значение результата , если значение фактора (xp) составит указанный в варианте задания процент прироста от среднего уровня ( ). В модели множественной регрессии аналогично определите значение для прогноза второго фактора.

Рассчитаем для каждого фатора, который входит в модель прогнозные значения:

 

 

10. Рассчитайте доверительный интервал прогноза (для уровня значимости a), верхнюю и нижнюю границу доверительного интервала для каждого наблюдения, включая наблюдения для прогноза.

Для каждого наблюдения и для прогноза рассчитаем доверительный интервал прогноза для модели Y=5691,682-10,829X3

 

Табл. 6. – Рассчет интервального прогноза результата

i	Y	X0	X3	Предсказанное Y	s_f	Нижние 95%	Верхние 95%
12	21140,0	1	-1770,0	24 859,80	7 330,54	2 778,20	46 941,40
10	18501,1	1	-1744,2	24 580,40	7 305,06	2 575,55	46 585,24
4	12836,9	1	-1599,8	23 016,63	7 175,48	1 402,11	44 631,14
5	24789,0	1	-1553,0	22 509,81	7 138,35	1 007,13	44 012,49
11	23180,0	1	-1454,0	21 437,69	7 067,93	147,13	42 728,26
6	26025,0	1	-1179,0	18 459,60	6 932,45	-2 422,85	39 342,04
15	31065,0	1	-1124,0	17 863,98	6 916,29	-2 969,81	38 697,76
13	21127,0	1	-761,0	13 932,89	6 903,60	-6 862,64	34 728,42
8	11942,0	1	-696,0	13 228,97	6 918,58	-7 611,70	34 069,65
7	17032,0	1	-683,0	13 088,19	6 922,20	-7 763,39	33 939,78
14	4376,0	1	-344,0	9 417,01	7 088,53	-11 935,58	30 769,60
3	7217,8	1	-234,6	8 232,27	7 170,76	-13 368,05	29 832,59
9	4931,9	1	-221,5	8 090,40	7 181,51	-13 542,28	29 723,08
2	4835,7	1	-186,8	7 714,62	7 210,87	-14 006,51	29 435,76
1	4898,4	1	-163,8	7 465,55	7 231,06	-14 316,39	29 247,48
Прогноз		1	-947,23	15 949,64	6 889,66	-4 803,90	36 703,19

 

11. Дайте интервальные оценки параметрам лучшей модели на уровне значимости a.

 

Определим доверительный интервал для коэффициентов регресии

При доверительной вероятности 0,01 и степени свободы равной n-m-1=15-1-1=13  табличное значение критерия Стьюдента быдет равно:

 

Формула доверительного интервала будет иметь вид:

 

Для

(5691,682-3,012*3002,266; 5691,682+3,012*3002,266)

(-3351,971; 14735,336)

Для

(-10,829-3,012*2,762; -10,829+3,012*2,762)

(-19,148; -2,511)

 

12. Постройте на графике в координатах Y и ведущего фактора модели (единственного фактора парной регрессии либо того X множественной регрессии, который теснее других связан с Y):

• исходные наблюдения (точки без соединительных линий);
• прямую регрессии (сплошная линия без маркеров);
• границы доверительного интервала прогноза для всех наблюдений (пунктирные линии без маркеров).

 

 

Рис. 7. Корреляционное поле с уравнением регресии и доверительныйм интервалом прогноза для Y и X3

 

 

Дополнительные задания

1*. Рассчитайте параметры лучшей  модели регрессии вручную, либо  в Excel с использованием только  формул матричного умножения. Рассчитайте  вручную стандартные ошибки параметров 

 

Расширенная матрица независимых переменных Z

X0	X3
1	-163,8
1	-186,8
1	-234,6
1	-1599,8
1	-1553
1	-1179
1	-683
1	-696
1	-221,5
1	-1744,2
1	-1454
1	-1770
1	-761
1	-344
1	-1124

 

Столбец значений зависимой переменной Y

Y
4898,4
4835,7
7217,8
12836,9
24789
26025
17032
11942
4931,9
18501,1
23180
21140
21127
4376
31065

 

Матрица ZTZ

15	-13714,7
-13714,7	17728021,77

 

Матрица (ZTZ)-1

0,227786584	0,00017622
0,00017622	1,92734E-07

 

Матрица ZTY

233897,8

-270044320,7

 

Вектор оценок коэффициентов регрессии равен

YX = | 0228;0000176;0000176;0 • | 2338978;-27004432065 = | 5691683;-10829

Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии)

Y = 5691.68-10.83X3

 

Оценка дисперсии равна:

se2 = (Y - X*Y(X))T(Y - X*Y(X)) = 514414946.9

Несмещенная оценка дисперсии равна:

s2 = 1;n-m-1 s2e =  1;15 - 1 - 1514414946.9 = 39570380.53

Оценка среднеквадратичного отклонения (стандартная ошибка для оценки Y):

S = S2 =  39570380.53 = 6290.5

Найдем оценку ковариационной матрицы вектора k = S2 • (XTX)-1

kx = 39570380.53| 0228;0000176;0000176;0 = | 901360182;6973076;6973076;7627

Дисперсии параметров модели

Sa0 = 9013601.82 = 3002.266

Sa1 = 7.627 = 2.762

 

 

 

2*. Постройте график остатков  для лучшей модели. Проведите  тесты остатков на постоянство  дисперсии (по F-критерию), отсутствие  автокорреляции (коэффициент автокорреляции  остатков первого порядка), на равенство среднего значения остатков нулю. Сделайте выводы о пригодности данной модели для прогнозирования.

 

График остатков c наиболее значимым фактором X3

Рис. 8. График остатков в зависимости от фактора X3

 

 

Проверим гипотезу на однородность дисперсии, для этого отсортируем остатки по X3

 

 

 

 

 

 

Табл. 7. – Рассчет остатков

 

N	Y	Предсказанное Y	X1	e
12	21140	24859,8	-1770	-3719,80
10	18501,1	24580,4	-1744,2	-6079,30
4	12836,9	23016,6	-1599,8	-10179,73
5	24789	22509,8	-1553	2279,19
11	23180	21437,7	-1454	1742,31
6	26025	18459,6	-1179	7565,40
15	31065	17864,0	-1124	13201,02
13	21127	13932,9	-761	7194,11
8	11942	13229,0	-696	-1286,97
7	17032	13088,2	-683	3943,81
14	4376	9417,0	-344	-5041,01
3	7217,8	8232,3	-234,6	-1014,47
9	4931,9	8090,4	-221,5	-3158,50
2	4835,7	7714,6	-186,8	-2878,92
1	4898,4	7465,5	-163,8	-2567,15

 

H0: дисперсия остатков  однородна

H1: дисперсия остатков  неоднородна

 

Воспользуемся анализом данных в Excel

 

 

 

Проверим гипотезу на постоянство средних остатков. Воспользуемся анализом данных. Так как оказалось, что дисперсия одинаковая, то воспользуемся тестом для одинаковых дисперсий

 

H0: среднее остатков постоянно

H1: среднее остатков не  постоянно

 

 

 

Проверим авторреляцию остатков для этого осортируем данные по номеру

 

Коэффициент автокорреляции первого порядка
Автокорреляция	-0,200
t-статистика	-0,700
t критическое	3,055

 

Таким образом, r=-0,2 . Проверяем на значимость

 

 

 

3*. Проверить модель множественной  регрессии на мультиколлинеарность  факторов с помощью VIF-коэффициентов.

 

Построим модель для факторов X2 и X3

 

Проверим модель Y=4060,011+1,004X2-7,211X3 на мультиколлинеарность, для этого воспользуемся корреляционной матрице, которая была найдена в начале

 

Табл. 8 – Корреляционная матрица

	Y	X1	X2	X3
Y	1,000
X1	0,500	1,000
X2	0,696	0,029	1,000
X3	-0,736	-0,225	-0,763	1,000

 

Все вычисления построим в таблице

 

Табл. 9 – Рассчет критерия VIF

 

Общий вид модели	R-квадрат	VIF
Y=3019,435+1,725X1+1,202X2	0,585	–
X2=f(X3)
X3=f(X2)