Побудова та дослідження моделі попиту та пропозиції в Україні на основі системи структурних рівнянь

Якщо і, у свою чергу, також , недопустимо застосовувати одне регресійне рівняння для опису взаємозв’язку між та . У такому випадку ми переходимо від регресійної моделі з одним рівнянням до регресійної моделі з багатьма рівняннями, серед яких можуть бути рівняння, які можуть включати та у ролі як ендогенних, так і екзогенних змінних.

Таким чином, СОР називається набір взаємопов’язаних регресійних моделей, у яких одні й ті ж змінні в різних рівняннях системи можуть одночасно відігравати роль результуючих, пояснювальних змінних.

Приклад: Припустимо, що нам необхідно оцінити попит на олію. З економічної теорії нам відомо, що попит на будь-який товар залежить від його ціни , цін на інші товари , та доходу . Тому функцію попиту на олію можна записати у вигляді:

,

де – обсяг попиту;

 – середня ціна  олії;

 – ціни  на інші товари;

 – дохід;

 – випадкова величина.

Якщо ми застосовуємо для знаходження невідомих параметрів цього рівняння МНК, то отримаємо зміщенні оцінки (або як ми їх називаємо, оцінки з відхиленням) для та , оскільки та не незалежні.

Попит на будь-який товар є функцією від його ціни, але одночасно і ринкова ціна змінюється під впливом обсягу попиту. Внаслідок цього наведене вище одиничне рівняння не можна розглядати як повну модель. Система повинна містити принаймні ще одне рівняння, що вказує на зв’язок між та , наприклад:

,

де – індекс погодних умов.

Підставляючи в це рівняння вираз для , отримаємо:

.

Очевидно, що залежить від , а отже, припущення про незалежність факторів від випадкових величин відхиляється, а оцінки будуть зміщеними. не є екзогенною величиною у функції попиту.

Для визначення причинності використовуємо тест Гренджера на причинно-наслідковий зв’язок. Основний принцип тесту: якщо впливає на , то зміни повинні випереджувати зміни , але не навпаки.

Висуваємо нуль-гіпотезу про те, що « не впливає на ».

Оцінюємо регресію:

,

застосовуючи F-тест.

Для альтернативної гіпотези : « не впливає на » оцінюємо регресію:

.

Тест вказує на можливість наявності причинно-наслідкового зв’язку. Вибір може вплинути на результат тесту. Краще обрати декілька .

1.2.2 Структурна і приведена форма моделі

Часто економетрична модель, що описує якусь економічну теорію, може бути виражена у вигляді системи рівнянь, де кожне рівняння являє собою деяке співвідношення між екзогенними, ендогенними змінними і параметрами. Така система рівнянь називається структурною моделлю.

Розглянемо приклад: система попиту і пропозиції:

 

 та  – ендогенні змінні, що являють собою попит і пропозицію на деякий товар, – його ціна, , – інші екзогенні змінні, які впливають на попит і пропозицію.

Оцінювати окремо кожне рівняння системи за допомогою МНК не можна, оскільки оцінки коефіцієнтів у цьому випадку отримуються зміщеними (у зв’язку з тим, що в обох рівняннях регресори корельовані із залишками).

Можна перетворити дану систему таким чином, що ціна стане ендогенною змінною:

.

Ми отримали приведену форму моделі, здійснюючи певні підстановки, ми переходимо до оцінки звичайного регресійного рівняння:

 

Це рівняння можна оцінювати за допомогою МНК.

Однак, як правило, інтерес представляють не коефіцієнти а вихідні параметри системи. Виникає питання – чи можна за значеннями коефіцієнтів відновити величини вихідних параметрів, що нас цікавлять? Відповідь на це питання залежить від потенційної ідентифікованості рівнянь системи.

1.2.3 Ідентифікованість та неідентифікованість моделі

Проблема ідентифікованості є центральною при роботі з системами одночасних рівнянь. Наведемо визначення:

1) Рівняння структурної форми економетричної моделі є точно ідентифікованим, якщо всі невідомі його коефіцієнти однозначно відновлюються за коефіцієнтами приведеної форми без будь-яких обмежень на значення останніх.

2) Рівняння структурної форми називається зверхідентифікованим, якщо всі невідомі в ньому коефіцієнти відновлюються за коефіцієнтами приведеної форми, причому деякі з вихідних параметрів можуть приймати одночасно декілька числових значень, що відповідають одній і тій самій приведеній формі.

Рівняння структурної форми називається неідентифікованим, якщо хоча б один з коефіцієнтів не може бути відновлений за коефіцієнтами приведеної форми.

Віднесення рівняння до однієї з категорій може бути здійснено на основі таких критеріїв:

Якщо позначити число ендогенних змінних у j-му рівняння системи через Н, а число екзогенних (визначених), які містяться в системі , але не входять у дане рівняння, – через D, то умова ідентифікованих:

– рівняння ідентифіковане;

 – не ідентифіковане;

 – зверхідентифіковане.

Приклад: 

.

Перше рівняння точно ідентифікується, бо в ньому три ендогенні змінні і дві екзогенні – . Кількість відсутніх екзогенних . Тоді маємо: , тобто . У другому рівнянні системи , , таким чином , тобто ідентифікується.

У третьому: – ідентифікуються. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

РОЗДІЛ 2. ПОБУДОВА МОДЕЛІ ПОПИТУ І ПРОПОЗИЦІЇ В УКРАЇНІ НА ОСНОВІ СИСТЕМИ СТРУКТУРНИХ РІВНЯНЬ

На основі даних, які наведені у табл. 2.1, треба побудувати економетричну модель попиту й пропозиції. Дати аналіз побудованої моделі.

Таблиця 2.1

Номер спостереження	Рік	Рівноважна кількість споживання картоплі, кг (Y1)	Ціна карторлі за кг, грн. (Y2)	Дохід на душу населення, грн. (X1)	Витрати на виробництво одного кг картоплі, грн. (X2)
1	2000	135	1,25	2616,6	0,5
2	2001	140	1,1	3231,0	0,45
3	2002	133	1,4	3816,0	0,55
4	2003	138	1,5	4493,2	0,6
5	2004	141	1,3	5761,4	0,55
6	2005	136	1,7	8063,5	0,7
7	2006	134	2,7	10065,3	1,05
8	2007	130	2,6	13197,1	1
9	2008	132	2,9	18225,0	1,15
10	2009	133	3,25	19398,8	1,3
11	2010	129	5,3	23938,6	2,15
12	2011	139	5,1	27314,5	2,05

 

1. Ідентифікуємо змінні моделі:

 — рівноважна кількість споживання картоплі, кг, ендогенна змінна;

 — ціна одного кг картоплі, ендогенна змінна;

 –– дохід на душу населення, екзогенна змінна;

 –– витрати на виробництво одного кг картоплі, екзогенна змінна.

Функція попиту: ;

Функція пропозиції: ;

Умова ринкової рівноваги: .

2. Специфікуємо модель на основі системи одночасових структурних рівнянь:

;

;

.

Цю систему одночасових структурних рівнянь можна переписати у вигляді:

;

.

3. Розглянемо умови ідентифікованості кожного рівняння моделі:

3.1. ;

;

;

, звідси перше рівняння системи є точноідентифікованим.

3.2. ;

;

  ;

, звідси друге рівняння системи є також точноідентифікованим.

Оскільки обидва рівняння системи є точноідентифікованими, то оцінку параметрів моделі можна виконати непрямим методом найменших квадратів.

4. Оцінимо параметри моделі НМНК.

4.1. Перейдемо від структурної до приведеної форми рівнянь. Для цього в другому рівнянні замість підставимо вираз у правій частині першого рівняння.

Запишемо:

;    (2.1)

.          (2.2)

Підставимо значення у друге (2.2) рівняння, звідси:

;

;

;

.

Розділимо обидві частини рівняння на і отримаємо:

.

Замінимо

;

;

.

В результаті отримаємо друге рівняння моделі в приведеній формі:

.

А тепер значення структурного рівняння (2.2) підставимо в перше рівняння моделі (2.1) і приведемо його до приведеної форми.

;

.

Перенесемо в ліву частину рівняння:

.

Розділимо обидві частини рівняння на і отримаємо:

.

Замінимо:

;

;

.

В результаті отримаємо перше рівняння моделі в приведеній формі:

.

Таким чином, економетрична модель в приведеній формі:

;

.

Оцінимо параметри кожного рівняння цієї моделі за методом 1МНК(рис. 1):

Рис. 1

   ;                        (2.3)

.                         (2.4)

Перейдемо від приведеної форми до структурної. Для цього розв’яжемо систему рівнянь:

,

де

;

;

.

Звідси:

;

.

Перемноживши матриці, одержимо систему рівнянь:

.

Ця система містить шість невідомих параметрів. Виразивши два з них через два інші (друге та третє рівняння) перейдемо до системи чотирьох лінійних рівнянь з чотирма невідомими. Розв’язавши її, знайдемо невідомі параметри економетричної моделі в структурній формі.

Отримати економетричні рівняння в структурній формі можна також виключивши змінну з першого рівняння в приведеній формі та з другого.

Визначимо з другого (2.4) рівняння приведеної форми моделі:

;

;

.

Підставимо це значення в перше (2.3) рівняння приведеної форми моделі:

Звідси: .

Визначимо з першого (2.3) рівняння приведеної форми моделі:

;

;

.

Підставимо це значення в друге (2.4) рівняння приведеної форми моделі:

;

Звідси .

Таким  чином,  економетрична  модель  у  структурній  формі           запишеться так:

;

.

Визначимо коефіцієнти еластичності:

;

;

.

На основі коефіцієнтів еластичності можна зробити висновок, що при зростанні ціни на 1% рівноважна кількість споживання продукту зменшиться на 0,020%. При збільшенні доходу на 1% рівноважна кількість споживання збільшиться на 0,0008%. Зростання затрат на виробництво на 1% сприятиме підвищенню ціни на 1,07%.

Ці співвідношення, які характеризують зв’язок між доходом і кількістю споживання, можуть відповідати реальним умовам.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПЕРЕЛІК ПОСИЛАНЬ

1. Джонстон Дж. Эконометрические методы.— М., 1980.

2. Дрейлер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. — М.: Финансы и статистика, 1986.

3. Кейн Э. Экономическая статистика и эконометрия. — М.: 1977.– Вып.12.

4. Класc А., Гергели К., Колек Ю., Шуян И. Введение в эконометрическое моделирование. –– М., 1975.

5. Крамер Г. Математические методы статистики. — М., 1975.

6. Ланге О. Введение в эконометрику. –– М., 1964.

7. Лизер С. Эконометрические методы и задачи. –– М., 1971.

8. Линник Ю. В. Метод наименьших квадратов и основы математико-статистической обработки наблюдений. — М., 1962.

9. Маленво Э. Статистические методы в эконометрии. — М., 1975 – 1976. Вып. 1,2.

10. Наконечний С. І., Терещенко Т. О., Водзянова Н. К., Роскач О. С. Практикум з економетрії: Навч. посібник. — К.: КНЕУ, 1998. —176c.