Парная регрессия

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ  УНИВЕРСИТЕТ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 

По курсу: Эконометрика

На тему: Парная регрессия (Вариант №9) 
 
 
 
 

Выполнил  студент 1 курса ФВВиДО

Специальность:БУАА

Конкина Анна Андреевна

Руководитель: Репина Е.Г. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

г. Самара

2010г. 
 

   По  данным 12-летних наблюдений исследовали  зависимость признаков Х и Y , где Х – темп прироста капиталовложений, %; Y – выпуск валовой продукции, млн. руб. Признаки имеют нормальный закон распределения.

Задание

1. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи между темпом прироста капиталовложений и выпуском валовой продукции.
2. Рассчитайте оценки параметров , уравнения парной линейной регрессии.
3. Оцените тесноту связи между темпом прироста капиталовложений и выпуском с помощью выборочного коэффициента корреляции (r_в). Проверьте значимость коэффициента корреляции (α = 0,1).
4. Рассчитайте выборочный коэффициент детерминации (R²_в). Сделайте экономический вывод.
5. Проверьте значимость оценки параметра с помощью критерия Стьюдента при уровне значимости α = 0,1.
6. Постройте 90-процентный доверительный интервал для коэффициента регрессии b. Сделайте экономический вывод.
7. Проверьте значимость оценки параметра с помощью критерия Стьюдента при уровне значимости α = 0,1.
8. Постройте 90-процентный доверительный интервал для свободного члена уравнения а.
9. Составьте таблицу дисперсионного анализа.
10. Оцените с помощью F-критерия  Фишера - Снедекора значимость уравнения линейной регрессии (α = 0,1).
11. Рассчитайте выпуск валовой продукции ( ), если темп прироста капиталовложений составит 15%. Постройте 90-процентный доверительный интервал для прогнозного значения объясняемой переменной ( ). Сделайте экономический вывод.
12. Рассчитайте средний коэффициент эластичности ( ). Сделайте экономический вывод.
13. Проверьте гипотезу Н₀: b = b₀, (b₀ = 0,25).
14. На поле корреляции постройте линию регрессии.

 
 
 
 
 

1. Построим поле корреляции (рис. 1) и сформулируем гипотезу о форме связи между признаками:

   Х – темп прироста капиталовложений,%;

   Y  - выпуск валовой продукции, млн.руб. 

 

По расположению точек на поле корреляции можно предположить наличие прямой линейной связи между темпом прироста капиталовложений и выпуском валовой продукции. 

2. Рассчитаем оценки параметров линейной модели 

     

методом наименьших квадратов (МНК). Оценкой  модели по выборке является выборочное уравнение регрессии

     .                                                                                            (1) 

 

   Найдем  оценки параметров , из системы нормальных уравнений линейной зависимости, которая имеет следующий вид:

   

Отсюда  можно выразить , ¹:

   

Необходимые суммы рассчитаны в табл. 1 в столбцах 2 - 5.

   

   

   Занесем полученные ответы в табл. 4.

   Подставим рассчитанные значения , в уравнение (1) и запишем линейную модель в виде:

    .                                                                                  (2) 

   3. Оценим тесноту взаимосвязи между признаками с помощью выборочного линейного коэффициента корреляции:

    .

   Заполним  столбец 6 и подставим рассчитанные суммы из табл. 1.

    0,95348.

   Проверим  значимость выборочного коэффициента корреляции. Для этого выдвигаем  нулевую гипотезу Н₀ об отсутствии линейной зависимости между признаками Х и Y, т.е.

   Н₀: r_г = 0,

   Н₁: r_г  ¹ 0.

   Конкурирующая гипотеза Н₁ определяет двустороннюю критическую область.

   Данная  гипотеза проверяется с помощью  случайной величины

   Т = ,    которая имеет распределение Стьюдента с

    k = 12 – 2 = 10 степенями свободы.

   По  выборочным данным найдем  

   Т_н = = 10,00181.

   По  таблице критических точек распределения  Стьюдента (прил. 1) находим

   t_кр.дв(a; k) = t_кр.дв(0,1; 10) = 1,81

(на  пересечении строки k = 10 и уровня значимости a = 0,1).

Сравниваем  Т_н и t_кр.дв(a; k). Так как |Т_н| > t_кр.дв(a; k), то Т_н попало в критическую область. Следовательно, нулевая гипотеза об отсутствии линейной связи между темпом прироста капиталовложений и выпуском валовой продукции отвергается при 10-процентном уровне значимости.

Справедлива конкурирующая  гипотеза Н₁: r_г ¹ 0, r_в значим, признаки Х и Y коррелированы.

   Коэффициент корреляции r_в по модулю больше 0,7, значит, связь между признаками тесная, а положительный знак r_в указывает на прямую зависимость между темпом прироста капиталовложений и выпуском валовой продукции, что подтверждается экономической теорией.  

   4. Рассчитаем выборочный коэффициент детерминации . Для этого возведем коэффициент корреляции r_в  в квадрат:

    = (r_в)² = (0,95348)² = 0,909124.

   Коэффициент детерминации характеризует вариацию признака Y, объясненную линейным уравнением регрессии. Таким образом, в среднем 90,91% вариации выпуска валовой продукции объясняется вариацией темпа прироста капиталовложений, а 9,09% зависит от вариации не учтенных в модели факторов.  

   5. Проверим значимость оценки параметра регрессии с помощью критерия Стьюдента. Выдвигаем нулевую гипотезу о равенстве нулю коэффициента регрессии:

   Н₀: b = 0,

   Н₁: b 0.

   Конкурирующая гипотеза Н₁ определяет двустороннюю критическую область.

   Данная  гипотеза Н₀ проверяется с помощью случайной величины

    = , которая имеет распределение Стьюдента с k = 12 – 2 = 10 степенями свободы.

   Заполняем столбцы 7 и 8 табл. 1. Для того чтобы  найти  , надо значения фактора (столбец 2 табл. 1) подставить в уравнение (2).

   Предварительно  найдем стандартную ошибку коэффициента регрессии по формуле

    ,

где – это несмещенная оценка остаточной дисперсии , она равна

    (табл. 1, столбец 8).

Тогда стандартная ошибка регрессии

    (занесем этот результат в  табл. 4).

Дисперсия объясняющего фактора Х вычисляется по формуле

    = = 87,74.

Итак, 0,02207.

   Найдем  наблюдаемое значение критерия Стьюдента:

      = .

   Заносим два последних ответа в табл. 4. По таблице критических точек  распределения Стьюдента (прил. 1) находим

   t_кр.дв(a; k) = t_кр.дв(0,1; 10) = 1,81.

   Сравниваем | | и t_кр.дв(a; k). Так как | | > t_кр.дв(a; k), то попало в критическую область. Следовательно, нулевая гипотеза о незначимости коэффициента регрессии отвергается при 10-процентном уровне значимости. Справедлива конкурирующая гипотеза Н₁: b ¹ 0, оценка параметра статистически значима, признаки Х и Y взаимосвязаны.

   Таким образом, если прирост капиталовложений увеличится на 1%, то выпуск валовой  продукции увеличится в среднем  на 0,22132 млн.руб. 

   6. Построим доверительный интервал для коэффициента регрессии b.

    – t_кр.дв(α; k) + t_кр.дв(α; k) .

   Подставляем значения из п. 5:

    ,

                 (заносим результат в табл. 4).

   Таким образом, при увеличении темпа прироста капиталовложений на 1%  выпуск валовой  продукции увеличится в среднем  с 0,18 до 0,26 млн. руб.  

   7. Проверим значимость оценки параметра с помощью критерия Стьюдента. Выдвигаем нулевую гипотезу о незначимости свободного члена уравнения.

   Н₀: а = 0,

   Н₁: а 0.

   Конкурирующая гипотеза Н₁ определяет двустороннюю критическую область.

   Данная  гипотеза Н₀ проверяется с помощью случайной величины

    = , которая имеет распределение Стьюдента с k = 12 – 2 = 10 степенями свободы.

   Предварительно  найдем стандартную ошибку по формуле