Одноиндексные задачи линейного программирования

течение  суток в специальных сушилках,   вмещающих 35 (V1)   полок.    На

упаковку полки А требуется 8 (Тр2) минуты. В производстве полок заняты 11

(Р1) столяров и 6 (Р2) упаковщиков.

       Производительность автомата,   производящего комплектующие полок B1

и В2,   равна 11 (Пр3) полки в час,   а его   сменный   фонд   времени равен 7,7 (ФВ3) ч, трудоемкость упаковочных работ составляет 11 (Тр3) мин для полки В1 и 14 (Тр4) мин для полки В2.

        От поставщиков комбинат получает в месяц 395 (Z1) листов полированной ДСП,   205 (Z2) листов ДВП (древесно-волокнистой плиты), а

также 220 (Z3) листов стекла.   Из каждого листа ДВП можно выкроить 8 (К1)

задних  стенок полок B1 и В2, а из каждого листа стекла – 15 (К2) стекол для

полок А и В2.

        Склад  готовой   продукции   может разместить не более 390 (V2) полок и комплектов полок, причем ежедневно в торговую сеть вывозится в среднем 38 (N) полок и комплектов. На начало текущего месяца на складе осталось 60 (Ост) полок, произведенных ранее. Себестоимость полки А равна 165 (C1) руб.,   полки В без стекла – 129   (C2) руб.,       со стеклом – 142 (С3)  руб.

        Маркетинговые   исследования   показали,   что доля продаж полок обоих

видов со   стеклом составляет не менее 23% (Д) в общем объеме    продаж, а

емкость рынка полок производимого  типа составляет около  1400 (V3) штук в

месяц.    Мебельный комбинат заключил договор на поставку заказчику 80 (З)

полок типа В1 в текущем месяце.

        Требуется составить план производства полок на текущий месяц. Известны цены реализации полок: полка А – 203 (Ц1) руб., полка В без стекла – 194 (Ц2) руб., полка В со стеклом – 167 (Ц3) руб.

Построение  модели

        I этап   построения   модели   заключается     в определении   (описании,

задании,     идентификации)      переменных.      В   данной   задаче   искомыми

неизвестными величинами является количество полок каждого вида, которые

будут произведены в текущем месяце. Таким образом, xА – количество полок А (шт./мес.); xB1 – количество полок В1 (шт./мес.); xB2 – количество полок В2

(шт./мес.).

        II этап построения модели заключается в построении целевой   функции,

Представляющей  цель   решения   задачи.       В   данном   случае   цель – это

максимизация  прибыли,  получаемой   от продажи полок всех видов в течение

месяца. Поскольку  в этой задаче прибыль может быть определена как разность

между ценой (Ц1, Ц2, Ц3) и себестоимостью  (С1, С2, С3),   то ЦФ  имеет вид

L (X ) = (203 - 165 )xA + (194 - 129 )xB1 + (167 - 142) xB2→max

        III этап построения модели    заключается     в    задании     ограничений,

моделирующих  условия задачи.    Все ограничения рассматриваемой задачи

можно разделить на несколько типов. 

Ограничения по фонду времени (с  использованием трудоемкости работ)

     Левая часть ограничений по фонду времени представляет собой   время,

затрачиваемое на производство полок в течение  месяца в количестве xА,   xB1,

xB2 штук. Правая  часть ограничения – это фонд  рабочего времени исполнителя

работы   (рабочего или автомата)   за   смену.   Неравенство   (2.2)   описывает

ограничение по фонду времени на выполнение столярных работ. Коэффициент

2,4 ч/шт. (Тр1) –      это время,    затрачиваемое на столярные работы   при

производстве  одной полки типа А (трудоемкость); 11 чел. (Р1) – это количество

столяров, участвующих  в производстве; 8 ч(чел.*см.) – количество часов

работы одного человека в течение смены; 1 см./дн. – количество смен в одном

рабочем дне; 22 дн./мес . – количество рабочих дней в  месяце:

2,4xA ≤ 11 *8*1* 22                                 (2.2)

        Примечание 2.2.   Важным моментом проверки правильности составления

ограничений является проверка совпадения единиц измерения левой и правой

частей  ограничения.   В ограничении (2.2) левая и правая части измеряются в

часах, потраченных на выпуск продукции  в течение месяца.

        Аналогично    записывается  ограничение  (2.3)  по  фонду   времени  на

упаковочные   работы, в котором 6 чел. (Р2) – это количество упаковщиков:

8/60 xA + 11/60 xB1 + 14/60 xB2 ≤ 6 *8*1* 22                                 (2.3) 

Ограничения по фонду времени (с  использованием производительности работ)

    Неравенство (2.4) описывает ограничение по фонду времени на покрытие

Лаком  полок типа А.    Отличие   ограничений,     учитывающих     данные  о

Производительности  работ,     от   ограничений,    учитывающих  данные   о

трудоемкости    работ,   состоит  в   том,   что производительность необходимо

преобразовать в трудоемкость.   Трудоемкость является величиной, обратной

производительности. Коэффициент 1/4 (1/ Пр1) при xA в (2.4) – это количество часов, приходящихся на покрытие лаком одной полки типа  А.   При записи

правой  части   ограничения учитываем, что автомат, выполняющий покрытие лаком, работает не полную смену (8 ч), а в течение сменного фонда времени 7,1 ч (ФВ1). Это связано с необходимостью подготовки автомата к работе и обслуживанием его после окончания работы.

1/4 xA ≤ 7,1 * 1* 22                                    (2.4)

        Неравенство    (2.5)    описывает   ограничение по фонду времени на резку

стекла  для полок типа А и В2:

2/200 xA + 2/200 xB2 ≤ 7,5 * 1* 22                        (2.5)

        Неравенство (2.6) описывает ограничение по фонду времени на производство комплектующих полок типа В1 и В2:

1/11 xB1 + 1/11 xB2 ≤  7,7* 1* 22                                 (2.6) 

Ограничения по запасу расходуемых  в производстве материалов

(по  запасу используемых  для производства  полок деталей)

        Неравенство (2.7) описывает ограничение по запасу листов ДСП, поставляемых на комбинат ежемесячно. При этом следует учесть, что из листа

ДСП надо выкраивать комплекты (верхнюю и  нижнюю стороны полок, 2 боковые стороны) для производства полок. Поэтому при задании ограничения имеет смысл ориентироваться не на количество листов ДСП, а на количество комплектов для полок [правая часть (2.7)], которые можно получить из имеющегося запаса ДСП. Но поскольку листы ДСП можно раскраивать различными способами и получать при этом различное количество деталей и комплектов, то обозначим месячный запас комплектов в правой части (2.7) как

Yкомпл  и рассмотрим способ его численного  определения позже. В левой  части ограничения (2.7) задается количество комплектов (по одному на полку),

необходимых   на производство полок в течение месяца в объеме xB1 , xB2 :

1xB1 + 1xB2 ≤ Yкомпл                 (2.7)

        Аналогично ограничению по ДСП неравенство (2.8.) – это ограничение по запасу задних стенок из ДВП для полок В1 и В2, а неравенство (2.9) –ограничение по запасу стекол для полок А и В2. В отличие от ДСП листы ДВП

и листы  стекла кроятся стандартным способом, и из каждого листа ДВП получается 8 (К1) задних стенок полок, а из каждого листа стекла получается

15 (К2) стекол. Ежемесячный запас листов ДВП и стекла составляет соответственно 205 (Z2) и 220 (Z3). При составлении левых частей ограничений (2.8) и (2.9) следует учесть, что на каждую полку В1 и В2 приходится по одной   задней стенке, а на каждую полку А и В2 – по 2 стекла:

1x B1 + 1x B2 ≤ 205 * 8                (2.8)

2x А + 2x B2 ≤ 220 * 15                (2.9) 

Ограничения по емкости вспомогательных  помещений и рынка

        Неравенство (2.10) является ограничением по количеству полок А, которые может вместить сушилка. В правой части (2.10) представлено количество полок, которые могут быть просушены в течение месяца (в день может быть просушено 35 (V1) полок):

xA ≤ 35 * 22                (2.10)

        Неравенство (2.11) описывает ограничение по количеству полок всех видов, которые может вместить склад готовой продукции. При этом правая часть (2.11) учитывает, что общая емкость склада уменьшена на 60 (Ост) полок, которые остались невывезенными с прошлого месяца. Кроме того, в течение месяца каждый день будет освобождаться по 38 (N) мест для полок:

x A + x B1 + x B2 ≤ 390 – 60 + 38 * 22               (2.11)

        Неравенство (2.12) описывает ограничение по примерной емкости рынка,

равной 1400 (V3) полкам всех видов:

x A + x B1 + x B2 ≤ 1400                              (2.12) 

Ограничения по гарантированному заказу

        Неравенство (2.13) показывает, что необходимо произвести как минимум 80 (З) заказанных полок В1, а возможно, и большее количество, но уже для свободной продажи:

xB1 ≥ 80                                            (2.13) 

Ограничения по соотношению объемов  продаж различных  товаров

        Неравенство (2.14) показывает, что доля полок А и В2 в общем   объеме

полок, производимых для свободной продажи, должна составлять не менее 23% (Д). К такому выводу приводят результаты маркетинговых исследований. Поскольку из всех полок В1 в свободную продажу поступит лишь (x B1 − 50), то это учитывается при составлении ограничения (2.14), которое после алгебраических преобразований принимает вид (2.15).

xA +  xB2 ≥ 0,23 [xA + (xB1 − 80) + xB2 ]       (2.14)

0,77xA − 0,23xB1 +  0,77xB2  ≥ − 18,4               (2.15) 

Определение количества комплектов для полок В1 и  В2

        Рассмотрим подробно вопрос определения максимально возможного количества комплектов для полок В1 и В2, которое можно произвести из ежемесячного запаса ДСП. В зависимости от размеров листов ДСП ( 2000*3000 мм) и габаритов полок (1260*270*320 мм) детали полок В1 и В2 можно выкроить различными способами. Рассмотрим три возможных варианта такого раскроя, представленные на рис. 2.3 (затемненные участки – это неиспользованная площадь ДСП). 

       11 верхних и нижних стенок,            12 верхних и нижних стенок,                   13 верхних и нижних стенок, 

               22 боковые стенки 17 боковых стенок                                        12 боковых стенок

Рис. 2.3. Возможные варианты раскроя листов ДСП 

        Согласно 1-му варианту из одного листа ДСП для полок В1 и В2 можно выкроить 11 деталей верхней или нижней стенок, а также 22 детали боковых стенок. По 2-му варианту раскроя получаем 12 деталей верхней или нижней стенок и 17 деталей боковых стенок. По 3-му варианту раскроя получаем 13 деталей верхней или нижней стенок и 12 деталей боковых стенок. Обозначим количество листов ДСП, раскроенных в течение месяца: по 1-му варианту через y1 (лист./мес.); по 2-му варианту – y2 (лист./мес.); по 3-му варианту – y3 (лист./мес.). При производстве полок нам выгодно стремиться к такому раскрою листов ДСП, при котором из полученных деталей можно укомплектовать максимальное количество полок. Количество комплектов, получаемых из раскроенных деталей, мы ранее обозначили черезYкомпл . Таким образом, наша цель описывается целевой функцией: