Нелинейная динамическая модель

В этой модели рассматриваются пять макроэкономических показателей:

Y- валовой внутренний  продукт (ВВП);

I- валовые инвестиции;

C- фонд потребления;

K- основные производственные  фонды;

L- число занятых в производственной  сфере;

Первые три переменные являются показателями типа потока ( их значения накапливаются в течении года), переменные К, L- мгновенные переменные ( их значения могут быть измерены, в любой момент непрерывного времени).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.2 Модель Солоу  с дискретным временем

Модель Солоу с дискретным временем задается системой уравнений вида:

 

 Yt = F(Kt, Lt), (1)

 

Yt = It + Ct, (2) (1.1)

 

Kt = ( 1-µ ) Kt-1 + It-1, (3)

 

Lt = ( 1+н )Lt-1, (4)

 

где t=0 - базовый год;

 

t=T - конечный год изучаемого периода;

 

K0, I0, L0 считаются заданными.

С содержательной точки зрения эти уравнения имеют следующий смысл. Первое уравнение задает ВВП как производственную функцию от ресурсов - основных производственных фондов и числа занятых. Второе уравнение - распределение ВВП на валовые инвестиции и потребление. Третье уравнение - это рекуррентные соотношение для определения ОПФ будущего года по значениям ОПФ и инвестиции текущего года. В этом уравнении µ - коэффициент выбытия (износа) ОПФ в расчете на год. Данный коэффициент предполагается постоянным. Из уравнения видно, что инвестиции, сделанные в текущем году, материализуются в фонды в будущем году, т.е. лаг капиталовложений равен одному году. Четвертое уравнение - это рекуррентное соотношение для определения числа занятых в будущем году на основании числа занятых в текущем году. Как видим, данное уравнение основано на гипотезе постоянства годового темпа прироста числа занятых н.

С точки зрения классификации элементов на статические и динамические, уравнения (1.1) ( каждое из которых является формализованной записью элемента) могут быть истолкованы следующим образом. Первое уравнение задает нелинейный статический элемент (вход - Kt, Lt, выход - Yt), второе - линейный статический элемент (вход - Yt, выход - It ,Ct), третье - линейный динамический элемент (вход - Kt-1 , It-1, выход - Kt), четвертое - линейный динамический элемент (вход - Lt-1, выход - Lt).

Таким образом, экономика в форме Солоу, видимым образом неструктурированная, на самом деле структурируется в контур с обратной связью, показанный на рис. 1. Тем самым экономика в форме модели Солоу является динамической системой, поскольку в её составе имеется динамические элементы.

It-1 (начало цикла)

 Kt It (начало цикла t+1)

 Lt Yt Ct

Структурную схему, можно перестроить с управляемой точки зрения. В самом деле, в реальной экономике одним из наиболее важных рычагов управления является распределение ВВП на накопление (валовые инвестиции) и потребление. Поэтому статическое распределенное звено (второе уравнение 1.1) на самом деле можно рассматривать как управляющее.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.3. Модель Солоу с непрерывным временем

Предположим теперь, что время, измеряемое вначале с дискретностью в один год, будет измеряться с дискретностью t (например, полугодие, квартал, месяц, декада, день). При дискретном времени в один день время можно считать практически непрерывным.

При дискретности t модель Солоу будет выглядеть следующим образом:

Yt = F(Kt, Lt),

 

Yt = It + Ct, (1.2)

 

Kt - Kt-Дt = (-µ Kt-Дt + It-Дt )Дt,

 

Lt - Lt-Дt = нLt-ДtДt, t = Дt, 2 Дt, …, n Дt, n=,

 

где Yt, It, Ct - соответственно ВВП, инвестиции и потребление за год, начинающийся в момент t;

 

µKt-ДtД - выбытие фондов за время (t-Дt, t);

 

It-ДtДt - инвестиции за время (t-Дt, t);

 

н Lt-Дt Дt - прирост занятых за время (t-Дt, t);

 

При переходе к пределу при 0 уравнения (1.2) принимают следующую форму:

 

Yt = F(Kt, Lt), (1)

 

Yt = It + Ct, (2) (1.3)

 

= -µ K + I, K(0) = K0, (3)

 

= нL, L(0) = L0, t=, (4)

Следует заметить, что модель Солоу в дискретной форме (1.1) и модель Солоу в непрерывном форме (1.3), несомненно, являются разными моделями и расчеты по ним приводят к разным, однако достаточно близким результатам.

При характеристике модели Солоу обычно говорят, что в ней экономика представляет собой неструктурированное целое и производит один агрегированный продукт, который может потребляться, так и инвестироваться. Данное утверждение можно интерпретировать как представление экономики в виде одного динамического элемента.

Однако про более детальном знакомстве с моделью становиться ясно, что экономика в форме модели Солоу состоит из четырех элементов, объеденных в контур обратной связи. Кроме того, экономика нелинейна, поскольку связь между выпуском и затратим ресурсов задается в виде нелинейной производственной функции.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

 

В данной работе были рассмотрены математические модели рынка, динамические, статические модели.

С помощью формализации основных особенностей функционирования экономических объектов, мы оценили возможные последствия воздействия на них и использовали такие оценки в управлении.

Экономические модели, рассмотренные в данной работе, позволили нам выявить особенности функционирования экономического объекта и, полагаясь на это, заметили будущее поведение объекта при изменении каких - либо параметров.

В данной работе мы подробно рассмотрели выше указанную проблему современного общества на знаменитой модели Солоу. Так же при дальнейшем изучении данную модель мы сможем использовать для описания ряда других экономических задач.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

 

1. Власов М. П. Моделирование экономических процессов, 2005 г.

 

2. Дудов, С. И. Математическая экономика 2008 г.

 

3. Суровцов, Л. К. Математическая экономика 2009 г.

 

Интернет ресурсы

 

4. Воскресенский, Е. В. Математическое моделирование демографической ситуации региона./ Е. В. Воскресенский. http://svmo.mrsu.ru/lib/voskresensky_mmdsr/

Данилов Н.Н. Основы математической экономики Н.Н.