Нелинейная динамическая модель

СОДЕРЖАНИЕ

 

Введение……………………………………………………………………………………….2

 

1. Различные математические модели

 

1.1 Основные понятия математических  моделей и их применения в  экономике……….3-4

 

1.2 Общая характеристика  элементов экономики, как объекта  моделирования………….5

 

1.3 Рынок и его виды………………………………………………………………………….6

 

1.4 Модель Леонтьева. Статическая модель………………………………………………..7

 

1.5 Математическая модель. Модель Вальраса…………………………………………8-11

 

1.6 Динамическая модель  Кейнса……………………………………………………….12-13

 

2. Нелинейная динамическая модель

 

2.1 Модель Солоу…………………………………………………………………………...14

 

2.2 Модель Солоу с дискретным  временем……………………………………………15-16

 

2.3 Модель Солоу с непрерывным  временем………………………………………….17-18

 

Заключение………………………………………………………………………………….19

 

Список литературы…………………………………………………………………………20

Расчётная часть………………………………………………………………………….21-23

Введение

Современная математика характеризуется интенсивным проникновением в другие науки, во многом этот процесс происходит благодаря разделению математики на ряд самостоятельных областей. Математика стала для многих отраслей знаний не только орудием количественного расчёта, но также методом точного исследования и средством предельно чёткой формулировки понятий и проблем. Без современной математики с её развитым логическим и вычислительным аппаратом был бы не возможен прогресс в различных областях человеческой деятельности.

Экономика как наука об объективных причинах функционирования и развития общества пользуется разнообразными количественными характеристиками, а поэтому вобрала в себя большое число математических методов.

Актуальность данной темы состоит в том, что в современной экономике используются оптимизационные методы, которые составляют основу математического программирования.

Изучение экономических приложений математических дисциплин, составляющих основу актуальной экономической математики, позволяет приобрести некоторые навыки решения экономических задач и расширить знания в этой области.

Далее будут рассмотрены два вида макроэкономических процессов:

1) Переходные процессы, обусловленные  динамическим характером экономической  системы;

2) Параметрические процессы, вызванные изменением экзогенных  макроэкономических параметров.

Динамический характер экономической системы проявляются в том, что причина переходит в следствие не мгновенно, а с некоторым запозданием.

Если экзогенные макроэкономические параметры эволюторно, то переходными можно пренебречь и изучать процессы изменения состояния системы в зависимости от изменения макропараметров. Исследования макроэкономических процессов будет осуществляться с помощью математических методов и моделей, прежде всего с помощью теории динамических систем, опирающийся на аппарат дифференциальных уравнений и преобразований Лапласа. При исследовании переходных процессов в неструктурированной макроэкономике будут использованы динамическая модель Кейнса и модель Самуэльсона-Хикса.

Преимущество математического моделирования состоит в том, что при правильности заложенных в модель предпосылок полученные модели выводы являются верными. Если заложенные предпосылки неверны, то сравнение результатов, полученных по модели, с реальной действительностью покажет несостоятельность данных предпосылок. В таком случае математическая модель может явиться средством проверки правильности выдвигаемых научных гипотез или предполагаемых направлений экономического развития.

 

 

1. Различные математические модели

1.1. Основные понятия математических моделей и их применения в экономике

Модель - это объект, который замещает оригинал, отражает наиболее важные для данного исследования черты и свойства оригинала.

 Математическая модель - это модель, представляющая собой  совокупность математических соотношений.

Любое важное решение в экономике требует проведения эксперимента, но при наличии математической модели избавляются от необходимости дорогостоящих экспериментов, сопровождаемых многократными пробами и ошибками. Это одно достоинство модели. Другое заключается в том, что формализация дает возможность сформулировать реальную задачу как математическую и позволяет воспользоваться для анализа универсальным и мощным математическим аппаратом, который не зависит от конкретной природы объекта. Математика проводит детальный количественный анализ модели, помогает предсказать, как поведет себя объект в различных условиях и дает рекомендации для выбора наилучших вариантов решения проблемы.

Математическая модель нетождественна самому объекту, а является его приближенным отражением. Говоря об объективности, следует иметь в виду, что никакая отдельно взятая модель не может вполне правильно отразить все свойства сложной экономической действительности. Поэтому формализация экономической задачи проводится наряду с принятием некоторых предварительных условий, предположений, ограничений. Стремление к простоте модели продиктовано ограниченными возможностями вычислительной техники и экономии временных ресурсов при исследовании модели. Практическое значение модель приобретает тогда, когда ее изучение имеющимися средствами более доступно, чем изучение самого объекта. Требования чувствительности и устойчивости являются отражением объективных характеристик экономических процессов. Одна и та же математическая модель может применяться для исследования экономических задач различного содержания, т. е. быть универсальной.

Для того чтобы математическая модель удовлетворяла всем тем требованиям, необходимо тщательно изучить предметную область, собрать и проанализировать большой объем информации. Только в результате такого предварительного изучения самого объекта можно отличить цели от средств их достижения, следствия от причин их породивших, основные факторы от второстепенных.

Для построения математической модели конкретной экономической задачи (проблемы) рекомендуется выполнение следующей последовательности работ:

- определение известных и неизвестных величин, а также существующих условий и предпосылок;

- выявление важнейших факторов проблемы;

- выявление управляемых и неуправляемых параметров;

- математическое описание посредством уравнений, неравенств, функций и иных отношений взаимосвязей между элементами модели (параметрами, переменными), исходя из содержания рассматриваемой задачи.

Известные параметры задачи относительно ее математической модели считаются внешними (заданными априори, т. е. до построения модели). В экономической литературе их называют экзогенными переменными. Значение же изначально неизвестных переменных вычисляются в результате исследования модели, поэтому по отношению к модели они считаются внутренними. В экономической литературе их называют эндогенными переменными.

Под важнейшими понимаются факторы, которые играют существенную роль в самой задаче и которые, так или иначе, влияют на конечный результат.

Управляемыми называются те параметры задачи, которым можно придавать произвольные числовые значения исходя из условий задачи; неуправляемыми считаются те параметры, значение которых зафиксировано и не подлежит изменению.

С точки зрения назначения, выделяются описательные модели и модели принятия решения. Описательные модели отражают содержание и основные свойства экономических объектов как таковых. С их помощью вычисляются числовые значения экономических факторов и показателей.

Модели принятия решения помогают найти наилучшие варианты плановых показателей или управленческих решений. Среди них наименее сложным являются оптимизационные модели, посредством которых описываются (моделируются) задачи типа планирования, а наиболее сложными - игровые модели, описывающие задачи конфликтного характера с учетом пересечения различных интересов. Эти модели отличаются от описательных тем, что в них имеется возможность выбора значений управляющих параметров, чего нет в описательных моделях.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2. Общая характеристика элементов экономики, как объекта моделирования

Первичными элементами экономики являются товары и участники. Например, имеются экономические товары и участники экономики, если установлено, что эти товары обмениваются один на другой в результате соглашений, в которых заинтересованными сторонами выступают участники. Экономический товар -- это именно то, что является предметом сделок в данном обществе и определяет способность к обмену -- труд, капитал, ресурсы, продукты потребления, услуги, информация, ценные бумаги и т.д. Имеется один особый товар, являющийся эквивалентом при обмене -- деньги. Деньги служат средством обращения, мерой стоимости, средством сбережения. Денежный эквивалент единицы товара называется его ценой.

Основными участниками экономики являются домашние хозяйства, фирмы, и регионы.

Домашние хозяйства, с одной стороны, являются потребителями конечного продукта, с другой - владельцами ресурсов (земельных, трудовых и др.). Продавая свои ресурсы, домашние хозяйства получают доход, а также участвуют в распределении прибыли производственных предприятий (например, посредством ценных бумаг).

Фирмы, с одной стороны, являются производителями товаров и услуг, с другой -- потребителями ресурсов. Фирмы получают доход от продажи своих товаров и услуг и являются владельцами производственных мощностей.

Таким образом, большинство участников экономики действуют одновременно как покупатель и продавец. Взаимодействуя между собой, покупатели и продавцы образуют рынок. Основными рыночными понятиями являются спрос, предложение, конкуренция и цена.

Спрос можно определить как платежеспособную потребность в том, или ином товаре. Спрос на товар зависит от его цены (т.е. спрос является функцией от цены). Как правило, при высокой цене приобретается меньшее количество товара (обратная связь (рис.1)). В экономике этот факт называется законом спроса.

Предложение -это то количество товара, которое производители могут и хотят произвести.

Предложение также зависит от цены товара. В экономике этот факт называется законом предложения.

Если вся масса товара, произведенная в расчете на данную цену, может быть по этой цене продана полностью, то говорят, что по данному виду товара в экономике существует равновесие. Иными словами, существует такая цена, для которой спрос на данный товар равен предложению. Такая цена называется равновесной.

 

 

 

1.3. Рынок и его виды

 

Рынок - это механизм взаимодействия покупателей и продавцов, реализующийся через рыночные цены, взаимное соотношение спроса и предложения.

Участниками рынка могут быть любые заинтересованные в купле-продаже товаров стороны: индивидуальные потребители, отдельные фирмы, совокупность потребителей некоторого региона, совокупность предприятий данной отрасли, финансовые организации, концерны, целые страны, т. е. классификация участников рынка, зависит от характера решаемой задачи.

В классических моделях в качестве участников рынка рассматриваются производители товаров и их потребители. Первые выходят на рынок для реализации своей продукции, а вторые - для приобретения необходимых им товаров потребления. Любой участник рынка выступает одновременно как продавец и покупатель. Можно сказать, что относительно любого товара на рынке существует три группы участников: те, кто продает этот товар, те, кто покупает его, и те, кому этот товар безразличен. Если продавцов (покупателей) данного товара много, то между ними возникает конкуренция. Поэтому рынки можно классифицировать по характеру конкуренции.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.4. Модель Леонтьева. Статическая модель

 

Рассмотрим статическую линейную модель многоотраслевой экономики. В основе модели лежат следующие предположения:

1) В системе экономики производятся, продаются, покупаются, потребляются и инвестируются n продуктов;

2) Каждая отрасль является  «чистой», т. е. производит только  один продукт;

3) Производственный процесс  в отрасли - это преобразование  некоторых типов продуктов в  какой-то один продукт. Таким образом, если для производства единицы j-го продукта надо затратить aij единиц i-го продукта, то выпуск л единиц j-го продукта потребует л aij единиц i-го продукта.

Таким образом, независимо от масштаба производства удельный выпуск и соотношение затрат всегда постоянны.

Валовой выпуск i-го продукта за год распадется на две части: на производственное потребление и на конечное (не производственное) потребление.

Если прировнять чистый выпуск каждого i-го продукта конечный спрос на него yi, то образуется система уравнений, которая и составляет модель Леонтьева.

Конечный спрос yi состоит из конечного потребления, экспорта и инвестиций. Но в самой модели величины yi мыслятся как экзогенно заданные. Поэтому при заданных yi, i=1, … , n, n линейных уравнений модели Леонтьева позволяет определить n отраслевых выпусков xi, i=1, … , n.

Величины yi, xi могут быть представлены в натуральных или стоимостных единицах измерения, в соответствии с этим различают натуральный или стоимостный межотраслевые балансы.