Модели стационарных временных рядов и их индефикация

Содержание

    Введение……………………………………………………….2

1. Основные задачи анализа временных рядов…………….4
2. Анализ временных рядов………………………………….9
2. Неслучайная составляющая временного ряда и методы его сглаживания…………………………………………………11
3. Модели стационарных временных рядов и их индефикация…13

2.3.1. Модели  авторегрессии порядка  p (AR(p)-модели)……..14

2.3.2. Модели  скользящего среднего порядка  q (MA (q) –модели)….17

Заключение………………………………………………………21

Литература………………………………………………………..23 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение

В последние  годы в эконометрической литературе большое внимание уделяется исследованию рядов динамики временных показателей. Разнообразные содержательные задачи экономического анализа требуют  использования статистических данных, характеризующих исследуемые экономические  процессы и развернутых во времени  в форме временных рядов. При  этом нередко одни и те же временные  ряды используются для решения разных содержательных проблем.

Далеко не всегда значения временного ряда формируются  только под воздействием каких-либо факторов. Нередко бывает, что развитие того или иного процесса обусловлено  его внутренними закономерностями, а отклонения от детерминированного процесса вызваны ошибками измерений  или случайными флуктуациями. Особый интерес представляют процессы, находящиеся  в «переходном» режиме, т.е. процессы, являющиеся по существу «стационарными», но на исследуемом промежутке времени  проявляющие свойства нестационарного  временного ряда, что объясняется  далекими от стационарного режима начальными условиями. В ситуациях, когда временной  ряд формируется под воздействием некоторого набора случайных и неслучайных  факторов, анализ отдельных временных  рядов, как результирующих, так и  факторных, имеет огромное значение. Это необходимо для правильной идентификации  моделей, которые строятся по информации об исследуемых процессах (векторные  авторегрессии, модели коррекции ошибок, динамические модели с распределенными запаздываниями и т.п.).

При анализе  временных рядов основное внимание уделяется исследованию, описанию и/или  моделированию их структуры. Цель таких  исследований, как правило, шире просто моделирования исследования соответствующих  процессов. Построенная модель обычно используется для экстраполяции  или прогнозирования временного ряда, и тогда качество прогноза может служить полезным критерием  при выборе среди нескольких альтернативных моделей. Построение хороших моделей  ряда необходимо и для других приложений, таких, как корректировка сезонных эффектов и сглаживание. Наконец, построенные  модели могут использоваться для  статистического моделирования длинных рядов наблюдений при исследовании больших систем, для которых временной ряд рассматривается как входная информация.

В связи с  наличием ошибок измерения экономических  показателей, наличием случайных флуктуаций, свойственных наблюдаемым системам, при исследовании временных рядов  широко применяется вероятностно-статистический подход. В рамках такого подхода  наблюдаемый временной ряд понимается как реализация некоторого случайного процесса. При этом неявно предполагается, что временной ряд имеет какую-то структуру, отличающую его от последовательности независимых случайных величин, так что наблюдения не являются набором  совершенно независимых числовых значений. (Некоторые элементы структуры ряда иногда можно выявить уже на основании  простого визуального анализа графика  ряда. Это относится, например, к  таким компонентам ряда, как тренд  и циклы.) Обычно предполагается, что  структуру ряда можно описать  моделью, содержащей небольшое число  параметров по сравнению с количеством  наблюдений, это практически важно  при использовании модели для  прогнозирования. Примерами таких  моделей служат модели авторегрессии, скользящего среднего и их комбинации - модели AR(p), MA(q), ARMA(p, q), ARIMA(p, k, q).

При построении моделей связей в долгосрочной перспективе  необходимо учитывать факт наличия  или отсутствия у анализируемых  макроэкономических рядов стохастического (недетерминированного) тренда. Иначе  говоря, приходится решать вопрос об отнесении  каждого из рассматриваемых рядов  к классу рядов, стационарных относительно детерминированного тренда (или просто стационарных) - TS (trend stationary) ряды, или  к классу рядов, имеющих стохастический тренд (возможно, наряду с детерминированным  трендом) и приводящихся к стационарному (или стационарному относительно детерминированного тренда) ряду только путем однократного или k-кратного дифференцирования  ряда - DS (difference stationary) ряды. Принципиальное различие между этими двумя классами рядов выражается в том, что в  случае TS ряда вычитание из ряда соответствующего детерминированного тренда приводит к  стационарному ряду, тогда как  в случае DS ряда вычитание детерминированной  составляющей ряда оставляет ряд  нестационарным из-за наличия у него стохастического тренда .  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Глава 1. Основные задачи анализа  временных рядов.

Принципиальные  отличия временного ряда от последовательности наблюдений, образующих случайную выборку, заключаются в следующем:

во-первых, в  отличие от элементов случайной  выборки члены временного ряда не являются независимыми;

во-вторых, члены  временного ряда не обязательно являются одинаково распределенными, так  что P{xt < x} P{xt < x} при t t.

Это означает, что  свойства и правила статистического  анализа случайной выборки нельзя распространять на временные ряды. С другой стороны, взаимозависимость  членов временного ряда создает свою специфическую базу для построения прогнозных значений анализируемого показателя по наблюденным значениям.

Генезис наблюдений, образующих временной ряд (механизм порождения данных). Речь идет о структуре  и классификации основных факторов, под воздействием которых формируются  значения временного ряда. Как правило, выделяются 4 типа таких факторов.

Долговременные, формирующие общую (в длительной перспективе) тенденцию в изменении  анализируемого признака xt. Обычно эта  тенденция описывается с помощью  той или иной неслучайной функции fтр(t) (аргументом которой является время), как правило, монотонной. Эту  функцию называют функцией тренда или  просто - трендом.

Сезонные, формирующие  периодически повторяющиеся в определенное время года колебания анализируемого признака. Поскольку эта функция (е) должна быть периодической (с периодами, кратными «сезонам»), в ее аналитическом  выражении участвуют гармоники (тригонометрические функции), периодичность которых, как  правило, обусловлена содержательной сущностью задачи.

Циклические (конъюнктурные), формирующие изменения анализируемого признака, обусловленные действием  долговременных циклов экономической  или демографической природы (волны  Кондратьева, демографические «ямы»  и т.п.) Результат действия циклических  факторов будем обозначать с помощью  неслучайной функции (t).

Случайные (нерегулярные), не поддающиеся учету и регистрации. Их воздействие на формирование значений временного ряда как раз и обусловливает стохастическую природу элементов xt, а, следовательно, и необходимость интерпретации x1,…, xT как наблюдений, произведенных над случайными величинами 1,…, Т. [17] Будем обозначать результат воздействия случайных факторов с помощью случайных величин («остатков», «ошибок ») t.

Конечно, вовсе  не обязательно, чтобы в процессе формирования значений всякого временного ряда участвовали одновременно факторы  всех четырех типов. Выводы о том, участвуют или нет факторы  данного типа в формировании значений конкретного ряда, могут базироваться как на анализе содержательной сущности задачи, так и на специальном статистическом анализе исследуемого временного ряда. Однако во всех случаях предполагается непременное участие случайных  факторов. Таким образом, в общем  виде модель формирования данных (при  аддитивной структурной схеме влияния  факторов) выглядит как:

xt = 1f(t) + 2(t) +3(t) + t. (1)

где i = 1, если факторы i-го типа участвуют в формировании значений ряда и i = 0 - в противном  случае.

Основные задачи анализа временных рядов. Базисная цель статистического анализа временного ряда заключается в том, чтобы по имеющейся траектории этого ряда:

определить, какие  из неслучайных функций присутствуют в разложении (1), т.е. определить значения индикаторов i;

построить «хорошие»  оценки для тех неслучайных функций, которые присутствуют в разложении (1);

подобрать модель, адекватно описывающую поведение  случайных остатков t, и статистически  оценить параметры этой модели.

Успешное решение  перечисленных задач, обусловленных  базовой целью статистического  анализа временного ряда, является основой для достижения конечных прикладных целей исследования и, в  первую очередь, для решения задачи кратко- и среднесрочного прогноза значений временного ряда. Приведем кратко основные элементы эконометрического  анализа временных рядов.

· Большинство  математико-статистических методов  имеет дело с моделями, в которых  наблюдения предполагаются независимыми и одинаково распределенными. При  этом зависимость между наблюдениями чаще всего рассматривается как  помеха в эффективном применении этих методов. Однако разнообразные  данные в экономике, социологии, финансах, коммерции и других сферах человеческой деятельности поступают в форме  временных рядов, в которых наблюдения взаимно зависимы, и характер этой зависимости как раз и представляет главный интерес для исследователя. Совокупность методов и моделей  исследования таких рядов зависимых  наблюдений называется анализом временных  рядов. Главная цель эконометрического  анализа временных рядов состоит  в построении по возможности простых  и экономично параметризованных  моделей, адекватно описывающих имеющиеся ряды наблюдений и составляющих базу для решения, в первую очередь, следующих задач:

(a) вскрытие механизма  генезиса наблюдений, составляющих  анализируемый 

(b) временной  ряд;

(c) построение  оптимального прогноза для будущих  значений временного ряда;

выработка стратегии  управления и оптимизации анализируемых  процессов.

· Говоря о генезисе образующих временной ряд наблюдений, следует иметь в виду (и по возможности  модельно описать) четыре типа факторов, под воздействием которых могут  формироваться эти наблюдения: долговременные, сезонные, циклические (или конъюнктурные) и случайные. При этом не обязательно  в процессе формирования значений конкретного  временного ряда должны одновременно участвовать факторы всех четырех  типов. Успешное решение задач выявления  и моделирования действия этих факторов является основой, базисным отправным  пунктом для достижения конечных прикладных целей исследования, главные  из которых упомянуты в предыдущем пункте.

· Приступая  к анализу дискретного ряда наблюдений, расположенных в хронологическом  порядке, следует в первую очередь  убедиться, действительно ли в формировании значений этого ряда участвовали  какие-либо факторы, помимо чисто случайных. При этом под «чисто случайными»  понимаются лишь те случайные факторы, под воздействием которых генерируются последовательности взаимно не коррелированных  и одинаково распределенных случайных  величин, обладающих постоянными (не зависящими от времени) средними значениями и дисперсиями.

Если в результате проверки такой статистической гипотезы выяснилось, что имеющиеся наблюдения взаимно зависимы (и, возможно, неодинаково  распределены), то приступают к подбору  подходящей модели для этого ряда. Множество моделей, в рамках которого ведется этот подбор, ограничивается обычно следующими классами моделей: (а) классом стационарных временных  рядов (которые используются, в основном, для описания поведения «случайных остатков»), (б) классом нестационарных временных рядов, которые являются суммой детерминированного тренда и  стационарного временного ряда, (в) классом нестационарных временных  рядов, имеющих стохастический тренд, который можно удалить последовательным дифференцированием ряда (т.е. путем  перехода от ряда уровней к ряду разностей первого или более высокого порядка).

В рамках эконометрического  анализа временных рядов макроэкономических показателей российской экономики, проводимого в настоящей работе, мы объединяем ряды, входящие в классы (а) и (б), в один класс, который, следуя общепринятой в последнее время  практике[см., например, Maddala, Kim (1998),, называем классом TS-рядов (trend stationary series - ряды, стационарные относительно детерминированного тренда). Адекватным методом остационаривания временных рядов, принадлежащих  классу (б), является вычитание из ряда детерминированного тренда. Напротив, для рядов, принадлежащих классу (в), адекватным методом остационаривания ряда является переход от ряда уровней к ряду разностей (первого или более высокого порядка).