Методика эконометрического исследования устойчивого развития региона (на примере Кемеровской области)

Любая задача (модель) оптимального управления требует описания объекта  управления (управляемой системы) и  параметров, характеризующих фазовое (т.е. пространственное) состояние объекта, определение управляющих параметров (т.е. рычагов управления объектом) и  допустимого диапазона выбора их значений, выявление закономерности изменения фазового состояния объекта  во времени и пространстве под  воздействием управляющих параметров и описания конечной цели управления объектом [9].

Принимая во внимание содержательный смысл парадигмы устойчивого  развития, регион (объект управления) следует  рассматривать как систему, состоящую  из трех подсистем: экономической, экологической  и социальной, а под фазовым  состоянием данной системы понимать соответственно тройку х = (х¹,х², х³), где х¹ – совокупность данных, характеризующих экономику региона, х² –социальное, а х³ –экологическое состояние региона. Будем считать, что каждая из трех сфер снабжена своими  «рулями управления»: u =(u¹, u², u³), отражающими финансовое, нормативное, законодательное и др. способы воздействия. По существу модель устойчивого развития региона должна быть представлена совокупностью из трех взаимосвязанных между собой моделей.

Таким образом, будем исследовать  зависимость каждой из переменных , i=1,2,…, от управляющих параметров , состояний региона и некоторых дополнительных параметров , которые будут определяться путем прогнозирования с применением статистических данных региона, либо являться константами. Идентифицировав на первом шаге регрессионного анализа переменные, от которых зависит показатель , будем строить зависимости следующего вида:

 

учитывающих взаимосвязь между тремя сферами деятельности в регионе. К этим трем соотношениям, выступающим в качестве уравнений динамики региона, в соответствии с перечисленными выше требованиями к модели добавим начальное и конечное состояния, ограничения на управляющие параметры и фазовые ограничения, а также критерии качества:

 

 

 

 

Здесь конкретные виды функций , i=1,2,3, можно формировать исходя из содержательного смысла рассматриваемых социально-эколого-экономических показателей.

По форме модель (3.1.1) – (3.1.5) есть многошаговая (с дискретным временем) задача оптимального управления со многими критериями качества. Здесь (3.1.1) – уравнение движения (развития) региона, представленного тремя сферами (экономической, экологической и социальной) на долгосрочном временном интервале [1,T]; (3.1.2) – состояние региона в начальный момент времени t = 0; (3.1.3) – условия, показывающие возможности управления регионом; (3.1.4) – планируемое конечное (к моменту Т) состояние региона (цель управления регионом); (3.1.5) – функционалы, характеризующие качество достижения цели управления регионом (основные экономические, экологические и социальные показатели) [9].

При определении фазовых  состояний системы и других параметров модели за основу будем брать некоторые  из индикаторов устойчивого развития, предложенных Комиссией ООН по устойчивому  развитию, а также ряд других индикаторов. Выбор тех или иных индикаторов  обусловлен, главным образом, наличием необходимых статистических данных.

Среди социальных индикаторов  были выбраны: ожидаемая продолжительность  жизни и уровень грамотности  населения. Параметр  экономического развития: валовой региональный продукт. Параметр, характеризующий экологическое состояние региона: выбросы в атмосферу загрязняющих веществ, отходящих от стационарных источников.

Далее, с помощью регрессионного анализа определим конкретные виды функций , ориентируясь на статистические данные динамики региона по различным сферам анализа (экономика, экология, социология).    

При исследовании различных  сфер устойчивого развития часто  применяются линейные регрессионные  модели. Это обусловлено простотой  и удобством их использования. С  другой стороны, такие модели недостаточно адекватно отражают свойства исследуемого объекта. В данной работе построены  более сложные модели, содержащие нелинейные взаимосвязи между переменными.

В качестве управляющих параметров модели будем рассматривать инвестиции, направляемые в здравоохранение (обозначим  через ), образование (), охрану атмосферного воздуха (). Также управляющими параметрами будут являться выпуск с/х продукции (), добыча полезных ископаемых и обрабатывающие производства () строительство (), транспорт, связь, оптовая и розничная торговля () [9].

Под выпуском с/х продукции, добычей полезных ископаемых и обрабатывающих производств, строительством,транспортом, связью, оптовой и розничной торговлей подразумевается их денежное выражение.Для построения модели будем рассматривать промежуток времени с 2001 по 2010 гг. в силу наличия и полноты необходимых статистических данных за этот период.

 

 

§ 3.2. Эконометрическая модель развития экономического сектора

 

Рассмотрим динамику экономического сектора региона. Для оценки степени  взаимосвязи значений Валового Регионального  Продукта с выпуском с/х продукции, добычей полезных ископаемых и обрабатывающих производств, строительством, транспортом, связью, оптовой и розничной торговлей (данные Таблицы 1 § 2.2 гл. 2) с помощью метода наименьших квадратов были рассчитаны коэффициенты корреляции для различных регрессионных моделей.

Предположим, что существует линейное соотношение между  и переменными, и возмущением . Если имеем выборку из n наблюдений над переменным  и _, i=1,2,3,…,k-1, то

 

где  и неизвестны,

Уравнение (3.6) можно записать в матричной форме:

 

= +,                                          (3.7)

 

где , ,

 

, .

Наличие свободного члена  требует введения в матрицу столбца, cоставленного из единиц.

С помощью метода наименьших квадратов (один из базовых методов регрессионного анализа для оценки неизвестных параметров регрессионных моделей по выборочным данным. Метод основан на минимизации суммы квадратов остатков регрессии) найдем вектор-столбец, оценивающий параметр .

Пусть –вектор-столбец, оценивающий вектор ,

тогда

= +,   -(3.8)

где  - вектор-столбец nостатков.

Предположим, что

1. существует линейная зависимость от наблюдаемых значений показателя Y;
2. является несмещенной оценкой истинного параметра (для несмещенности МНК-оценок необходимо и достаточно выполнения важнейшего условия регрессионного анализа: условное по факторам математическое ожидание случайной ошибки должно быть равно нулю);
3. является наилучшей линейной несмещенной оценкой (то свойство не выполнено, то можно считать, что практически любые оценки будут крайне неудовлетворительными) [7].

Из уравнения (3.8) можно  вычислить сумму квадратов отклонений:

 

Чтобы найти значение , минимизирующее эту сумму квадратов отклонений, необходимо продифференцировать (3.9):

 

Приравняв это выражение  к нулю, получим:

 

Далее введем коэффициент  детерминации, равный доле дисперсии  , объясненной линейной зависимостью  от:

 

 

Для того, чтобы опровергнуть гипотезу о том, что , необходимо

выполнение неравенства  ,

где

 

 

для расчетов  воспользуемся соотношением:

 

 находится  по таблице распределения с  уровнем значимости α и (1,n-k-1) степенями свободы.

Вычислим также среднеквадратичное отклонение:

 

=

 

где  - модельное значение объясняемой переменной, построенное с помощью полученных коэффициентов[10].

Для линейной модели коэффициент детерминации  = 0,9865, среднеквадратичное отклонение = 25230,11 , средняя ошибка аппроксимации для построенного соотношения составила 2,9%.

Также, с помощью формул (3.2.4) – (3.2.10), были исследованы нелинейные регрессионные модели:

- степенная: 

 

Для того, чтобы получить линейную модель, необходимо прологарифмировать правую и левую части уравнения (3.16):

 

и произвести замену:

, ,

, .

Получим линейную модель:

 

коэффициент детерминации  = 0,9685, среднеквадратичное отклонение

= 41824,24, средняя ошибка аппроксимации для построенного соотношения составила 4,3%.

- показательная:

 

 

Для того, чтобы получить линейную модель, необходимо прологарифмировать правую и левую части уравнения (3.19):

 

и произвести замену:

, , .

Получим линейную модель:

 

коэффициент детерминации  = 0,9995, среднеквадратичное отклонение = 3402,3, средняя ошибка аппроксимации для построенного соотношения составила 1,7%.

В результате исследованиявыбранаследующая зависимость:

 

с коэффициентами: 

=109328, =0,999, =1,00003,=0,999, =0,999, =1,00001,

где значение управляющих параметров в год t.

Выбор обоснован тем, что  показательная модель имеет наибольший коэффициент детерминации = 0,9995, наименьшее среднеквадратичное отклонение = 3402,3. Средняя же ошибка аппроксимации для построенного соотношения составила 1,7%.

В качестве функционала качества в сфере экономики можем рассматривать  непосредственно  значение ВРП, которое  подлежит максимизации в соответствии с настоящей экономической  политикой  Кемеровской области, то есть:

 

 

 

 

 

§ 3.3. Эконометрическая модель развития социального  сектора

 

Рассматривая динамику социального  сектора, на основании данных Таблицы 2 § 2.2 гл. 2, определим взаимосвязь доли грамотного населения и доли учащихся в возрасте от 7 до 24 лет, а также зависимость ожидаемой продолжительности жизни и инвестиций в здравоохранение. Рассматривая аналогичные зависимости и сравнивая коэффициенты детерминации, среднеквадратичное отклонение, ошибки аппроксимации, выберем наилучшую зависимость:

 

с коэффициентами:

=94,75, =0,04, =0,11,

где – доля учащихся в возрасте от 7 до 24 лет.

Коэффициент детерминации  = 0,9902, среднеквадратичное отклонение = 0,44, средняя ошибка аппроксимации для построенного соотношения составила 1,8%,

и

 

с коэффициентами:

=26,37, =0,103, =0,546,

 где  - инвестиции в здравоохранение.

Коэффициент детерминации  = 0,9972, среднеквадратичное отклонение = 0,83, средняя ошибка аппроксимации для построенного соотношения составила 2,2%.

Далее рассчитывались так называемые индексы образования и долголетия:

 

 

 

где ,,, - константы.

В качестве функционала качества будем брать среднее арифметическое этих двух показателей:

 

 

 

§ 3.4. Эконометрическая модель развития экологического сектора

 

Рассматривая динамику социального  сектора, на основании данных Таблицы 3 § 2.2 гл. 2 определим взаимосвязь количества выбросов загрязняющих веществ в атмосферный воздух и количества инвестиций в охрану атмосферного воздуха.Рассматривая  аналогичные  зависимости и сравнивая коэффициенты детерминации, среднеквадратичное отклонение, ошибки аппроксимации, выберем наилучшую зависимость:

 

с коэффициентами:

=6,25, =0,101, =0,06,

 где  - инвестиции в охрану атмосферного воздуха.

Коэффициент детерминации  = 0,9899, среднеквадратичное отклонение = 35,61, средняя ошибка аппроксимации для построенного соотношения составила 2,2%.

В качестве функционала качества в сфере экологии можем рассматривать  непосредственно  количество выбросов загрязняющих веществ в атмосферный  воздух, которое подлежит минимизации:

 

       

§ 3.5. Сбалансированное и взаимосвязанное  развитие Кемеровской  области, как совокупности трех его  сфер

Объединив соотношения, выведенные в параграфах 3.2-3.4 гл. 3, получаем модель оптимального управления следующего вида:

 

 

где - фазовое состояние экономического сектора, 

 

 

где - фазовые состояния социального сектора,

 

 

где   - фазовое состояние экологического сектора.

 

 

- состояние региона в начальный момент времени t = 0.

 

- ограничения на фазовые  состояния.

 

 

 

    

 

 

- функционалы, характеризующие качество достижения цели управления регионом.

 

С помощью полученной модели можем найти оптимальные траектории развития всех секторов региона.

Наиболее широко при решении задач оптимального управления применяются следующие методы:

1. вариационное исчисление (самая типичная задача вариационного исчисления состоит в том, чтобы найти функцию, на которой заданный функционал достигает экстремального значения),
2. принцип максимума Понтрягина (согласно принципу максимума Понтрягина величина оптимального управления равна величине управления на одном из концов допустимого диапазона),
3. динамическое программирование Беллмана (способ решения сложных задач путём разбиения их на более простые подзадачи).