Математические методы исследования экономики

15.3. Математические  методы исследования экономики

моделирование социальных процессов; моделирование эколого-экономических  систем

В анализе экономического состояния и предприятия, и более крупного субъекта национального  хозяйства применяется  расчленение проблемы, или ситуации на более мелкие вопросы. Это позволяет применить к исследованию логическую процедуру, которая представляет собой моделирование. В частности, этот метод применим к социальным процессам, которые, в числе прочих, формируют общественно-экономическую систему. Таким образом, мы в состоянии понять факторы, определяющие общественное сознание и состояние производственных сил, институциональную основу данного общества. Моделирование социальных процессов является важной частью математических методов в экономике, которые позволяют выявить степень воздействия социальных процессов на экономические. Полезно в анализе экономических явлений учитывать и социальную составляющую, которая иногда недооценивается. Изучение социальных процессов дает возможность включить их воздействие в конкретную модель хотя бы за счет качественных, если не количественных характеристик. Таким образом, экономический субъект может прогнозировать, учитывать и использовать социальные сдвиги в структуре общества и его благосостоянии, возможности реализации семьи, коллектива, их участие в трудовой деятельности и прочие аспекты социальных процессов.

Математическое  моделирование экономических явлений  и процессов является, как указывалось  выше, важным инструментом экономического анализа. Оно позволяет получить четкое представление об исследуемом объекте, охарактеризовать и количественно описать его внутреннюю структуру и внешние связи. Модель — условный образ объекта управления (исследования). Она конструируется субъектом управления (исследования) так, чтобы отобразить характеристики объекта — свойства, взаимосвязи, структурные и функциональные параметры и т.п., существенные для цели управления (исследования). Содержание метода моделирования составляют конструирование модели на основе предварительного изучения объекта и выделения его существенных характеристик, экспериментальный или теоретический анализ модели, сопоставление результатов с данными об объекте, корректировка модели.

В экономическом  анализе используются главным образом  математические модели изучаемых явлений или процессов. Различают математические модели с количественными характеристиками, заданными в виде формул; числовые модели с конкретными числовыми характеристиками; логические, записанные с помощью логических выражений, и графические, выраженные в графических образах. Модели, реализованные с помощью электронно-вычислительных машин, называют машинными, или электронными.

Экономико-математическая модель должна быть адекватной действительности, отражать существенные стороны и  связи изучаемого объекта. Отметим принципиальные черты, характерные для построения экономико-математической модели любого вида. . Процесс моделирования можно условно подразделить на три этапа: 1) анализ теоретических закономерностей, свойственных изучаемому явлению или процессу, и эмпирических данных о его структуре и особенностях; на основе такого анализа формируются модели; 2) определение методов, с помощью которых можно решить задачу; 3) анализ полученных результатов.

При экономико-математическом моделировании часто возникает ситуация, когда изучаемая экономическая система имеет слишком сложную структуру, еще не разработаны такие математические методы, схемы, которые охватывали бы все основные особенности и связи подобной системы, например такой, как экономика предприятия в целом, в ее динамике и развитии. Возникает необходимость упрощения изучаемого объекта, исключения и анализа некоторых его второстепенных особенностей с тем, чтобы подвести эту упрощенную систему под класс уже известных структур, поддающихся математическому описанию и анализу. При этом степень упрощения должна быть такой, чтобы все существенные для данного экономического объекта черты в соответствии с целью исследования были включены в модель.

Важным моментом первого этапа моделирования  является четкая формулировка конечной цели построения модели, а также определение критерия, по которому будут сравниваться различные варианты решения. В экономическом анализе такими критериями могут быть: наибольшая прибыль, наименьшие издержки производства, максимальная загрузка оборудования, производительность труда и др. В задачах математического программирования такой критерий отражается целевой функцией. Например, необходимо проанализировать производственную программу выработки продукции с целью выявления резервов повышения прибыли в результате структурного сдвига в ассортименте. Критерием оптимальности в данном случае при построении экономико-математической модели выступает максимум прибыли. Уравнение целевой функции будет иметь вид:

где х, — количество производимой продукции (т, шт., ц и  т.д.) i - то вида; П_j — прибыль, получаемая от производства единицы продукции j - го вида.

При постановке задач математического программирования обычно предполагается ограниченность ресурсов, которые необходимо распределить на производство продукции. Поэтому очень важно определить, какие ресурсы являются решающими для изучаемого процесса и в то же время лимитирующими, каков их запас. Если все виды производственных ресурсов, к которым относятся сырье, трудовые ресурсы, мощность оборудования и др., используются для выпуска продукции, то необходимо знать расход каждого вида ресурса на единицу продукции.

Все   ограничения, отражающие экономический процесс, должны быть непротиворечивыми, т.е. должно существовать хотя бы одно решение задачи, удовлетворяющее всем ограничениям.

В качестве ограничений  при построении экономико-математической модели выступает система неравенств, имеющая следующий вид:

где a_ij — норма расхода г - го производственного ресурса на производство единицы j – го вида продукции; w_i — запасы i - го вида производственного ресурса на рассматриваемый

период времени.

Объединяя уравнение  целевой функции и систему  ограничений в единую модель, получим  линейную экономико-математическую модель ассортиментной задачи:

Не для всякой экономической задачи нужна собственная  модель. Некоторые процессы с математической точки зрения однотипны и могут  описываться одинаковыми моделями. Например, в линейном программировании, теории массового обслуживания и других существуют типовые модели, к которым приводится множество конкретных задач.

Вторым этапом моделирования экономических процессов  является выбор наиболее рационального  математического метода для решения  задачи. Например, для решения задач линейного программирования известно много методов: симплексный, потенциалов и др. Лучшей моделью является не самая сложная и самая похожая на реальное явление или процесс, а та, которая позволяет получить самое рациональное решение и наиболее точные экономические оценки. Излишняя детализация затрудняет построение модели, часто не дает каких-либо преимуществ в анализе экономических взаимосвязей и не обогащает выводов. Излишнее укрупнение модели приводит к потере существенной экономической информации и иногда даже к неадекватному отражению реальных условий.

Третьим этапом моделирования является всесторонний анализ результата, полученного при  изучении экономического явления или  процесса. Окончательным критерием  достоверности и качества модели являются: практика, соответствие полученных результатов и выводов реальным условиям производства, экономическая содержательность полученных оценок. Если полученные результаты не соответствуют реальным производственным условиям, то необходим экономический анализ причин несоответствия. Такими причинами могут быть: недостаточная достоверность информации, а также несоответствие используемых математических средств и схем особенностям и сущности изучаемого экономического объекта. После того, как причина определена, в модель должны быть внесены соответствующие коррективы, и решение задачи повторяется.

Таким образом, экономико-математическое моделирование  работы предприятия, фирмы должно быть основано на анализе его деятельности и, в свою очередь, обогащать этот анализ результатами и выводами, полученными после решения соответствующих задач.

Построение, или  моделирование, конечной факторной  системы для анализируемого экономического показателя хозяйственной деятельности можно осуществить как формальным, так и эвристическим путем на основе качественного анализа сущности экономического явления, отражаемого через данный результативный показатель. Моделирование факторной системы основывается на следующих экономических критериях выделения факторов как элементов факторной системы: причинности, достаточной специфичности, самостоятельности существования, учетной возможности. С формальной точки зрения, факторы, включаемые в факторную систему, должны быть количественно измеримыми.

В детерминированном  моделировании факторных систем можно выделить небольшое число типов конечных факторных систем, наиболее часто встречающихся в анализе хозяйственной деятельности:

1) аддитивные  модели

2) мультипликативные модели

3) кратные модели

Применительно к классу детерминированных факторных систем различают следующие основные приемы моделирования.

1. Метод удлинения  факторной системы. Исходная факторная  система у= . Если , представить в виде суммы отдельных слагаемых-факторов  = а₁₁ + а₁₂ + a₁₃ +... + а_1n, то y= - конечная факторная система вида у =

2. Метод расширения  факторной системы. Исходная факторная  система у= . Если и числитель, и знаменатель дроби «расширить» умножением на одно и то же число, то получим новую факторную систему:

y =

…,

т.е. мультипликативную  модель вида у = Пх_i.

3. Метод сокращения  факторной системы. Исходная факторная система у= . Если и числитель, и знаменатель дроби разделить на одно и то же число, то получим новую факторную систему (при этом, естественно, должны быть соблюдены правила выделения факторов):

В данном случае имеем конечную факторную систему  вида у= .

Таким образом, сложный процесс формирования уровня изучаемого показателя хозяйственной  деятельности может быть разложен различными приемами на его составляющие (факторы) и представлен в виде модели детерминированной факторной системы.

Например, исследуя процесс формирования объема выпускаемой  продукции у, можно использовать для анализа такие детерминированные  факторные системы.

где    у — объем продукции;

x₁ —численность работающих;

х₂ — производительность труда одного работающего за анализируемый период

х₃ — удельный вес рабочих в составе работающих;

x₄ — производительность труда одного рабочего за анализируемый период;

x₅ — коэффициент использования рабочих дней;

x₆ — коэффициент использования рабочих часов;

x₇ — средняя часовая производительность труда одного рабочего;

I_y — общий индекс изменения объема продукции;

I₁, i₂,……,i₇-, — факторные индексы.

Модели 1—3 отражают процесс последовательной детализации  влияния факторов на изменение объема продукции как обобщающего показателя. Аналогичные модели могут быть построены  и для других показателей хозяйственной  деятельности.

В основе детерминированного моделирования факторной системы лежит возможность построения тождественного преобразования для исходной формулы экономического показателя по теоретически предполагаемым прямым связям последнего с другими показателями-факторами. Детерминированное моделирование факторных систем — это простое и эффективное средство формализации связи экономических показателей; оно служит основой для количественной оценки роли отдельных факторов в динамике изменения обобщающего показателя.