Лекции по "Эконометрике"

 

1. Предмет, цель и задачи эконометрики.  
    
   Эконометрика — наука, изуч колич и кач экономич взаимосвязи с помощью математических и статистических методов имоделей. Современное определение предмета эконометрики было выработано в уставе Эконометрического общества, которое главными целями назвало исп-е статистики и математики для развития экономической теории

Эконометрич.методы строятся на синтезе 3х областей знаний: экономики, математики и статистики. Основой является экономическая модель, под которой понимается схематическое представление экономического явления или процесса с помощью научной абстракции, отражения только характерных черт. В э., как и в любой научной дисциплине, познание развивается в соответствии с общим научн.методом, предполагающ.:  
- формулировку гипотезы с учетом соотнош.между наблюдаем.данными;  
- сбор стат.данных и представление гипотезы в сжатой или матем.форме;  
- модификацию или улучшение гипотезы.  
   Т.о., сердцевиной познания в экономике явл.эксперимент, предполаг.либо непосредственное наблюд-е (измер-е), либо математич. моделир-е. Область применения эконометрических моделей - все сферы экономической теории и практики, где есть возможность сбора и обработки статистических данных, прогнозирования их поведения. Для анализа экономических данных могут применяться все разделы прикладной статистики, а именно: статистика случайных величин;многомерный статистический анализ;статистика временных рядов и случайных процессов; статистика объектов нечисловой природы, в том числе статистика интервальных данных.Перечисленные 4 области выделены на основе математической природы элементов выборки: в 1ой из них это - числа, во 2ой - вектора, в 3ей - функции, в 4ой - объекты нечисловой природы, т.е. элементы пространств, в которых нет операций сложения и умножения на число.

Цель эконометрики – это эмпирический, то есть полученный методом учёта, пересчета и т.д. вывод экономических законов.

Главная задача эконометрики связана с построением экономических моделей и оцениванием их параметров, проверкой гипотез о свойствах экономических показателей и формах их связи.

 

2. Эконометрическая модель, основные этапы построения эконометрической  модели. 
Основное отличие эконометрических моделей от других видов моделей заключается в обязательном включении в модель случайной ошибки. Случайная ошибка характеризуется следующими свойствами:

1) математическое ожидание случайной  ошибки при всех значениях  эндогенной переменной равно  нулю;

2) дисперсии случайной ошибки  удовлетворяют свойству гомоскедастичности, т. е. постоянства дисперсий.

Отличительные особенности э.м.:

-учитывает вероятностный характер

-носит конкретный характер

-включает влияние случайных  факторов 
Пример эконометр. Модели: yi=a-bxi+εi – пример эконометрической модели

1-й этап (постановочный) - определение конечных целей моделирования, набора участвующих в модели факторов и показателей, их роли;2-й этап (априорный) - предмодельный анализ экономической сущности изучаемого явления, формирование и формализация априорной информации и исходных допущений, в частности относящейся к природе и генезису исходных статистических данных и случайных остаточных составляющих в виде ряда гипотез; 3-й этап (параметризация) - собственно моделирование, т.е. выбор общего вида модели, в том числе состава и формы входящих в неё связей между переменными; 4-й этап (информационный) - сбор необходимой статистической информации, т.е. регистрация значений участвующих в модели факторов и показателей; 5-й этап (идентификация модели) – статистич. анализ модели и в первую очередь статистическое оценивание неизвестных параметров модели непосредственно связан с проблемой идентифицируемости модели, то есть ответа на вопрос «Возможно ли в принципе однозначно восстановить значения неизвестных параметров модели по имеющимся исходным данным в соответст-вии с решением, принятым на этапе параметризации?». После положительного ответа на этот вопрос необходимо решить проблему идентификации модели (корректную процедуру оценивания неизвестных параметров модели по имеющимся исходным данным);6-й этап (верификация модели) — сопоставление реальных и модельных данных, проверка адекватности модели, оценка точности модельных данных.

 

 

3. Парная линейная регрессия.

Классические предположения модели. 
 
Классическая модель множественной регрессии.

Как известно, явления общественной жизни складываются под воздействием не одного, а целого ряда факторов, то есть эти явления многофакторны. Между факторами существуют сложные взаимосвязи, поэтому их влияние комплексное и его нельзя рассматривать как простую сумму изолированных влияний.

Многофакторный корреляционно-регрессионный анализ позволяет оценить меру влияния на исследуемый результатив-ный показатель каждого из включенных в модель (уравнение) факторов при фиксированном положении (на среднем уровне) остальных факторов, а также при любых возможных сочетаниях факторов с определенной степенью точности найти теоретическое значение этого показателя. Важным условием является отсутствие между факторами функциональной или сильно корреляционной связи.

Математически задача формулируется следующим образом. Требуется найти аналитическое выражение, наилучшим образом отражающее установленную теоретическим анализом связь независимых признаков с результативным, то есть функцию вида:

 

yi =f(х1, х2, …, хn) + εi  (1)

 

Данное выражение является классической нормальной моделью множественной регрессии.

Применяя ЭВМ, выбор аппроксимирующей математической функции осуществляется перебором решений, наиболее часто используемых в анализе и решении корреляционно-регрессионных уравнений.

После выбора типа аппроксимирующей функции приступают к многофакторному корреляционному и регрессионному анализу, задачей которого является построение уравнения множественной регрессии и нахождение его неизвестных параметров а0, а1, а2, …, аn.

Параметры уравнения множественной регрессии, как и в случае парной регрессии, находят по способу наименьших квадратов. Затем с помощью корреляционного анализа осуществляют проверку адекватности полученной модели. Адекватную модель экономически интерпретируют.

Частным случаем выражения (1) является уравнение множественной линейной двухфакторной регрессии вида

 

 ŷх1…хi = a0 + a1·х1 + a2·x2   (2)

 

где ŷх1…хi – расчетные значения зависимой переменной (результативного признака); х1, x2 – независимые переменные (факторные признаки); а0, а1 и а2 – параметры уравнения.

Для расчета параметров уравнения (2) применяется следующая система линейных уравнений:

 

 (3)

 

Для решения уравнения множественной регрессии с n-факторами

 

ŷх1…хi = a0 + a1·х1 + a2·x2 + …+ an·xn  (4)

 

применяется следующая система нормальных уравнений:

 (5)

 

Вручную целесообразно выполнять построение и анализ только двух-, максимум трехфакторных моделей. Для n>3 все расчеты рекомендуется осуществлять на компьютерах по специальным программам, предусматривающим исчисление параметров уравнения и показателей, используемых для проверки его адекватности.

 

• МНК (система нормальных уравнений, формулы для расчета коэффициентов).

 
Наименьших квадратов метод – решение, для которого минимизируется сумма квадратов отклонений между наблюдаемыми и предполагаемыми значениями; в факторном анализе – метод получения первоначального факторного решения.

 

• Свойства оценок.

 
Каждая случайная величина полностью определяется своей функцией распределения.При решении практических задач достаточно знать несколько числовых параметров, которые позволяют представить основные особенности случайной величины в сжатой форме. К таким величинам относятся в первую очередь математическое ожидание и дисперсия.

Математическое ожидание - число, вокруг которого сосредоточены значения случайной величины. Математическое ожидание случайной величины x обозначается Mx .

Аналогичные формулы справедливы для функций дискретной случайной величины:

, 

Основные свойства математического ожидания:

математическое ожидание константы равно этой константе, Mc=c ;

математическое ожидание - линейный функционал на пространстве случайных величин, т.е. для любых двух случайных величин x , h и произвольных постоянных a и bсправедливо: M(ax + bh ) = a M(x )+ b M(h );

математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е. M(x h ) = M(x )M(h ).

Дисперсия случайной величины характеризует меру разброса случайной величины около ее математического ожидания.Если случайная величина x имеет математическое ожидание Mx , то дисперсией случайной величины x называется величина Dx = M(x - Mx )2.Легко показать, что Dx = M(x - Mx )2= Mx 2 - M(x )2.

Эта универсальная формула одинаково хорошо применима как для дискретных случайных величин, так и для непрерывных. Величина Mx 2 >для дискретных и непрерывных случайных величин соответственно вычисляется по формулам

Основные свойства дисперсии:

дисперсия любой случайной величины неотрицательна, Dx   0;

дисперсия константы равна нулю, Dc=0;

для произвольной константы D(cx ) = c2D(x );

дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: D(x ±h ) = D(x ) + D (h ).

 

• Проверка качества парной линейной регрессии:

- значимость параметров  t-тест: а) тестируемая гипотеза, б) формула для расчета критической статистики;  
 
В линейной регрессии оценивается так4же значимость параметров. С этой целью по каждому из параметров вычисляется стандартная ошибка.

S- остаточная сумма квадратов  на одну степень свободы или  остаточная дисперсия. Величина  стандартной ошибки совместна  с t- распределением стьюдента, поэтому  для оценки существенности параметра b его величина сравнивается со  стандартной ошибкой и вычисляется  значение  и оно сравнивается см табличным значением t критерия. Выводы такие же как при использовании f критерия. Доверительный интервал для коэффициента регрессии в этом случае определяется следующим образом  стандартная ошибка параметра a

Процедура оценивания существенности параметра ф аналогично процедуре оценивания параметра b. Значимость линейного коэффициента корреляции проверяется на основе величины ошибки коэффициента корреляции. фактическое значение t-критерия стьюдента.

 

- коэф. детерминации формула  и интерпретация 
 
Коэффициент детерминации (  - R-квадрат) — это доля дисперсии зависимой переменной, объясняемая рассматриваемой моделью зависимости, то есть объясняющими переменными. Более точно — это единица минус доля необъяснённой дисперсии (дисперсии случайной ошибки модели, или условной по факторам дисперсии зависимой переменной) в дисперсии зависимой переменной. Его рассматривают как универсальную меру связи одной случайной величины от множества других.

 

- F-тест: а) тестируемая гипотеза, б) формула для расчета критической статистики;  

F- статистика (F- statistics) – критерий для проверки существенности уравнения регрессии. Если расчетное значение критерия больше табличного (с уровнем значимости a и степенями свободы 1 и (n – m) ), то можно считать, что уравнение регрессии значимое.

После того, как найдено уравнение регрессии проводится оценка значимости его параметров, а также уравнения в целом. Оценка значимости уравнений проводится с помощью F критерия Фишера. Для этого выдвигается гипотеза Но, которая говорит, что b=0, что при Х не оказывае6т влияние на У.Непосредственно расчету критерия предшествует анализ дисперсии. Центральное место в этом анализе занимает разложение общей суммы квадратов на 2 составляющие: объясненную и необъясненную.

первая сумма-общая сумма квадратов отклонений результативного признака от среднего уровня. Вторая сумма – сумма квадратов отклонений, объясненная регрессией (факторная).третья сумма- остаточная сумма отклонений, необъясненная часть.

 
 

4. Множественная линейная регрессия.

• Классические предположения. Теорема Гаусса- Маркова.

Если модель правильно специфицирована, то есть зависимость вида

 действительно существует.

- являются  детерминированными величинами  и не равны все между собой.

При этом:

1. Математическое  ожидание регрессионных остатков  равно 0.

           )=0

2. Дисперсия  остатков постоянна и конечна  для всех значений Х, т.е.

          )=

3. Остатки  являются статистически независимыми  друг от друга, т.е.

)=0

4. Регрессионные  остатки и объясняющие переменные  независимы друг от друга, т.е.

       )=0

5. В случае  множественной регрессии – отсутствие  мультиколлинеарности.

Тогда МНК оценки ,

1) линейными по Y

2) несмещенными 

3) эффективными 

оценками параметров , α β

 

• Матричное представление.

 

 

• Свойства МНК-оценок множественной линейной регрессии.
• Проверка качества множественной линейной регрессии: значимость параметров, адекватность модели. доверительные интервалы для оценок коэффициентов, скорректированный коэф. детерминации формула и интерпретация
• Прогнозирование. Формулы для построения доверительного интервала для прогноза.
• Спецификация эконометрической модели: отбор переменных. F-Тест: а) тестируемая гипотеза, б) формула для расчета критической статистики
• Спецификация эконометрической модели: выбор формы зависимости нелинейной модели. Тест RESET: а) тестируемая гипотеза, б) формула для расчета критической статистики
• Проблема гетероскедастичности модели.