Критерии выбора стратегии

3. Принцип преемственности. Сводится к тому, что каждая последующая модель не должна нарушать свойств объекта, установленных или отраженных в предыдущих моделях.

4. Принцип эффективной  реализуемости. Необходимо, чтобы модель могла быть реализована при помощи современных вычислительных средств.

1.4 Этапы экономико-математического  моделирования.

 Основные этапы процесса моделирования были рассмотрены нами выше (рисунок 1.2). В различных отраслях знаний они приобретают свои специфические черты. Проанализируем последовательность и содержание этапов одного цикла экономико-математического моделирования (рисунок 1.4).

Рисунок 1.4 - Этапы экономико-математического моделирования

1. Постановка проблемы  и её качественный анализ. Главное на этом этапе - чётко сформулировать сущность проблемы, определить принимаемые допущения, а также определить те вопросы, на которые требуется получить ответ.

Этап включает выделение важнейших  черт и свойств моделируемого  объекта, основных зависимостей, связывающих  его элементы. Здесь же происходит формулирование гипотез, хотя бы предварительно объясняющих поведение объекта.

2. Построение математической модели. Это этап формализации задачи, т.е. выражения ее в виде математических зависимостей и отношений (функций, уравнений, неравенств, схем). Как правило, сначала определяется тип математической модели, а затем уточняются детали.

Неправильно полагать, что, чем больше факторов учитывает модель, тем лучше  она работает и дает лучшие результаты. Излишняя сложность модели затрудняет процесс исследования. При этом нужно  учитывать не только реальные возможности  информационного и математического обеспечения, но и сопоставлять затраты на моделирование с получаемым эффектом (при возрастании сложности модели прирост затрат может превысить прирост эффекта).

3. Математический анализ  модели. Цель - выявление общих свойств и характеристик модели. Применяются чисто математические приёмы исследования. Наиболее важный момент - доказательство существования решений в сформулированной модели. Если удастся доказать, что задача не имеет решения, то необходимость в последующей работе по данному варианту модели отпадает; следует скорректировать либо постановку задачи, либо способы ее математической формализации.

Однако модели сложных экономических  объектов с большим трудом поддаются  аналитическому исследованию. В тех  случаях, когда не удается выяснить общих свойств модели аналитическими методами, а упрощение модели приводит к недопустимым результатам, прибегают к численным методам исследования.

4. Подготовка исходной  информации. Численное моделирование предъявляет жесткие требования к исходной информации. В то же время реальные возможности получения информации существенно ограничивают выбор используемых моделей. При этом принимается во внимание не только возможность подготовки информации (за определенный срок), но и затраты на подготовку соответствующих информационных массивов. Эти затраты не должны превышать эффекта от использования данной информации.

5. Численное решение. Это составление алгоритмов, разработка программ и непосредственное проведение расчётов на ЭВМ.

6. Анализ результатов  и их применение. На заключительной стадии проверяются правильность, полнота и степень практической применимости полученных результатов.

Естественно, что после каждой из перечисленных стадий возможен возврат  к одной из предыдущих в случае необходимости уточнения информации, пересмотра результатов выполнения отдельных этапов. Например, если на этапе 2 формализовать задачу не удается, то необходимо вернуться к постановке проблемы (этап 1). Соответствующие связи на рисунке 1.4 не показаны, чтобы не загромождать схему.

Наконец, выясним, как соотносятся между собой общая схема процесса моделирования (рисунок 1.2) и этапы экономико-математического моделирования (рисунок 1.4).

Первые пять стадий более дифференцированно  характеризуют процесс экономико-математического  исследования, чем общая схема: стадии 1 и 2 соответствуют этапу I общей схемы, стадии 3, 4 и 5 - этапу II. Напротив, стадия 6 включает этапы III и IV общей схемы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.Критерии выбора стратегии

 

 Теория статистических решений  может быть истолкована как теория поиска оптимального недетерминированного поведения в условиях неопределенности. Современная концепция статистического решения выдвинута А.Вальдом и считает поведение оптимальным, если оно минимизирует риск в последовательных экспериментах, т.е. математическое ожидание убытков статистического эксперимента. В такой постановке любая задача статистических решений может рассматриваться как игра двух лиц, в которой одним из игроков является "природа".

 Выбор наилучших решений  в условиях неполной информации является одним из основных занятий людей. Собираясь в туристический поход, мы укладываем вещи в рюкзак с учетом неизвестной погоды и преследуем цель получить максимум удовольствий, не превращаясь в рекордсмена по переноске тяжестей.

 Проектируя гидротехнические  сооружения, мы стремимся сделать  их надежными, несмотря на непредсказуемые  землетрясения, паводки и т.п.

 Создавая систему профилактических  и аварийных ремонтов, мы преследуем  какую-то цель, не зная в точности  времени возникновения аварий.

 Если процесс определяется  повторяющимися ситуациями, то его  усредненные характеристики испытывают  тенденцию к стабилизации и  появляется возможность либо  замены случайного процесса детерминированным,  либо использования каких-то методов  исследования стационарных случайных процессов (в частности, методов теории массового обслуживания).

 Однако большинство процессов  характеризуется "дурной неопределенностью"  и невозможно найти законы  распределения и другие вероятностные  характеристики. В таких ситуациях приходится прибегнуть к экспертным оценкам.

 Возникает и проблема выбора  критерия оптимальности, поскольку  решение, оптимальное для каких-то  условий, бывает неприемлемым  в других и приходится искать  некоторый компромисс.

 Пусть задан некоторый вектор S = (S₁,S₂,..,S_n), описывающий n состояний внешней среды, и вектор X = (X₁,X₂,..,X_m), описывающий m допустимых решений. Требуется найти вектор X^* =(0,0,..,0, X_i ,0,..,0), который обеспечивает оптимум некоторой функции полезности W(X,S) по некоторому критерию K.

 Информация oб указанной функции  представляют матрицей размерности  m x n c элементами W_ij = F(X_i, S_j), где F - решающее правило.

 

2.1 Выбор критерия принятия  решения

 Предположим, что в нашем  распоряжении имеются статистические  данные, позволяющие оценить вероятность того или иного спроса, и этот опыт может быть использован для оценки будущего. При известных вероятностях P_j для спроса S_j можно найти математическое ожидание W(X,S,P) и определить вектор X^*, дающий

 

2.2 Критерий Лапласа

В основе этого критерия лежит "принцип недостаточного основания".

Если нет достаточных оснований  считать, что вероятности того или  иного спроса имеют неравномерное  распределение, то они принимаются одинаковыми и задача сводится к поиску варианта, дающего

 

 

2.3 Критерий Вальда

Критерий Вальда обеспечивает выбор  осторожной, пессимистической стратегии в той или иной деятельности и его суждения близки к тем суждениям, которые мы использовали в теории игр для поиска седловой точки в пространстве чистых стратегий: для каждого решения X_i выбирается самая худшая ситуация (наименьшее из W_ij) и среди них отыскивается гарантированный максимальный эффект

 

Можно принять и критерий выбора оптимистической стратегии 

      где оценивается  гарантированный выигрыш при  самых благоприятных условиях.

 

2.4 Критерий Гурвица

Ориентация на самый худший исход  является своеобразной перестраховкой. Однако опрометчиво выбирать политику, которая излишне оптимистична. Критерий Гурвица предлагает некоторый компромисс:

      где параметр a принимает значение от 0 до 1 и выступает как коэффициент оптимизма.

 

2.5 Критерий Сэвиджа

Суть этого критерия заключается  в нахождении минимального риска. При  выборе решения по этому критерию сначала матрице функции полезности (эффективности) сопоставляется матрица сожалений

элементы которой отражают убытки от ошибочного действия, т.е. выгоду, упущенную  в результате принятия i-го решения  в j-м состоянии. Затем по матрице D выбирается решение по пессимистическому критерию Вальда, дающее наименьшее значение максимального сожаления.

 

 Возможность выбора критерия  дает свободу лицам, принимающим  экономические решения, при условии,  что они располагают достаточными  средствами для постановки подобной задачи. Всякий критерий должен согласовываться с намерениями решающего задачу и соответствовать его характеру, знаниям и убеждениям.

3. Числовые примеры.

3.1 Типичный пример  формирования матрицы

Планируется выпуск новой продукции, для чего необходимо закупить станки. Система оптовой торговли может поставить не более 50 станков; комплект поставки - 10 станков. Минимальный объем поставок - 20 станков. Соответственно, вектор решений об объеме поставок X = (20,30,40,50).

Ежегодный доход от продукции, снимаемой с одного станка, cоставляет 21.9 тыс.руб. Оптовая цена одного станка 4.775 тыс.руб., эксплуатационные расходы - 3.6 тыс. руб. Затраты на подготовку производства составляют 25.5 тыс.руб. и не зависят от числа станков и объема выпуска.

Пусть спрос пропорционален количеству продукции, снимаемой с S работающих станков, и для простоты ограничимся вектором состояний спроса S = (0,10,20,30,40,50).

Если решающее правило сформулировать как "доход - издержки", то можно  рассчитать элементы матрицы полезности:

W_ij = (21.9 - 3.6) * min( X_i, S_j) - 4.775 X_i - 25.5

Например 

W₁₁ = -(4.775 20+25.5) = -121, 
W₁₂ = (21.9-3.6) * 10-(4.775 20+25.5) = 62, 
W₁₃ = (21.9-3.6) * 20-(4.775 20+25.5) = 245, 
W₁₄ = W₁₅ = 245 (спрос останется неудовлетворенным)

 

 

Если для вышеприведенного примера  задать вектор P = (0.01, 0.09, 0.2, 0.3, 0.3, 0.1), то математические ожидания прибыли при  разных выборах:

W₁ =-121*0.01 + 62*0.09 + 245*0.2 + 245*0.3 + 245*0.3 + 245*0.1 = 224.87,

W₂ = 305.22, W₃ = 330.675, W₄ = 301.12

и выбор максимального значения обнаруживает оптимальность варианта 40 станков с ожидаемой прибылью 330.675 тыс.руб.

3.2 Критерий  Лапласа

Для нашего примера 

W₁ = (-121 + 62 + 245 + 245 + 245 + 245)/6 = 153.5, 
W₂ = 197.25, W₃ =210.5, W₄ = 193.5

и выбор максимального значения обнаруживает оптимальность выбора варианта 40 станков с ожидаемой  прибылью 210.5 тыс.руб.

3.3 Критерий  Вальда

В нашем примере W = max(-121, -168.75, -216.5, -264.25) = -121, т.е. по этому критерию следует закупить 20 станков и максимальный возможный убыток не превысит 121 тыс.руб. (если бы мы включили и вариант отказа от покупки станков вообще, то этот критерий рекомендовал бы нам воздержаться от какой-либо деятельности, но "кто не рискует, тот не пьет шампанского").

критерий выбора оптимистической  стратегии , где оценивается гарантированный  выигрыш при самых благоприятных  условиях. Для нашего примера W = min (245, 380.25, 515.5, 650.75)= 245.

3.4 Критерий Гурвица

Так в нашем примере при различных a значения W определяются таблицей:

При a=0.5 (равновероятных шансах на успех и неудачу) следует закупить 50 станков и ожидать прибыль порядка 193.25 тыс. руб.

При вероятности успеха 0.2 не следует  закупать более 20 станков с надеждой, что убытки не превысят 47 тыс.руб.

3.5 Критерий  Сэвиджа

Для нашего примера отыскиваем матрицу D, вычитая (-121) из первого столбца матрицы полезности, 62 из второго и т.д.

Наибольшее значение среди минимальных  элементов строк здесь равно max[-405.75, -270.5, -135.25, -143.25]=-135.25 и, покупая 40 станков, мы уверены, что в худшем случае убытки не превысят 135.25 тыс.руб.

 

Вывод

Таким образом, различные критерии приводят к различным выводам:

1) по критерию Лапласа приобретать  40 станков, 

2) по критерию Вальда - 20 станков, 

3) по критерию Гурвица - 20 при пессимистическом настроении и 50 в состоянии полного оптимизма,

4) по критерию Сэвиджа - 40 станков. 

 

Список литературы

1. Кундышева Е.С. Экономико-математическое моделирование (3 изд.) Учебник. М.:Дашков, 2010. Рек.УМО
2. Козинова А.Т., Ошарина Н.Н. Экономико-математичекие модели. Учебное пособие. Н.Новгород ННГУ, 2010
3. Макаров С.И. Экономико-математические методы и модели (2 изд.). Учебное пособие.М.: Кнорус, 2009. Рек. УМО
4. Кундышева Е.С. Математическое моделирование в экономике. Учебное пособие. М.: Дашков и К, 2007. Рек.УМО
5. Бережная Е.В. Математические методы моделирования экономических систем. Учебное пособие. М.: Финансы и статистика, 2006. Рек.УМО
6. Кундышева Е.С. Математическое моделирование в экономике. Учебное пособие. М.:Дашков и К, 2006. Рек.УМО
7. Кундышева Е.С. Математическое моделирование в экономике. Учебное пособие. М.: Дашков и К, 2005. Рек.УМО
8. Федосеев В.В.Экономико-математические методы и прикладные модели. Учебное пособие. М.: Юнити, 2002. Рек.МОШелобаев С.И. Экономико-математические методы и модели . –М.: ЮНИТИ, 2005. -286с.
9. Тынкевич М.А. Экономико-математические методы , 2000 http://vtit.kuzstu.ru/books/shelf/book1
10. Экономико-математические методы, ОрелГТУ, 2010 http://emm.ostu.ru/lect/lect1.html#vopros1