Контрольные вопросы по эконометрике

.     (56)

Здесь в знаменателе  находится ошибка разности (R²-r²),  определяемая по формуле:

 . (57)

Если  , то различия между показателями корреляции существенны и замена нелинейной регрессии линейной нецелесообразна. 

33Какая связь между t_b -  и F – статистиками в парной линейной регрессии?

Существует связь  между  и :

Отсюда следует, что 

33Как построить доверительный интервал для коэффициента парной линейной регрессии?

Доверительный интервал для b определяется как

где – рассчитанное (оцененное) по МНК значение коэффициента регрессии,

Стандартная ошибка коэффициента регрессии определяется по формуле:

,  (20)

- остаточная дисперсия на  одну степень свободы (то же, что и D_остат).

Интервалы прогноза по линейному уравнению регрессии

 

33. Для чего используются z – преобразования   Фишера?
34. Однако при малых выборках и значениях r, близких к , следует учитывать, что распределение r как случайной величины отличается от нормального, и построение доверительных интервалов для r не может быть выполнено стандартным способом. В этом случае вообще легко прийти к противоречию, заключающемуся в том, что доверительный интервал будет содержать значения, превышающие единицу.

Чтобы обойти это  затруднение, используется так называемое z-преобразование Фишера:

которое дает нормально распределенную величину z, значения которой при изменении r от –1 до +1 изменяются от -∞ до +∞. 
 

35. В каком  месте доверительный интервал прогноза по парной модели является наименьшим?

 

.    (31)

Как видно из формулы, величина достигает минимума при и возрастает по мере удаления от в любом направлении.

 
 

36. Как классический МНК применяется к нелинейным моделям регрессии?

При анализе  нелинейных регрессионных зависимостей наиболее важным вопросом применения классического МНК является способ их линеаризации. В случае линеаризации нелинейной зависимости получаем линейное регрессионное уравнение типа (3), параметры которого оцениваются обычным МНК, после чего можно записать исходное нелинейное соотношение.

Несколько особняком  в этом смысле стоит полиномиальная модель произвольной степени:

,  (34)

к которой обычный  МНК можно применять без всякой предварительной линеаризации. 

37. Как преобразуется  уравнение гиперболического типа для  использования МНК?

 

Линеаризация  уравнения (37) сводится к замене фактора  z=1/x, и уравнение регрессии имеет вид (3), в котором вместо фактора х используем фактор z:

 

38. Как преобразуется  уравнение экспоненциального типа, чтобы использовать МНК?

зависимости показательного (экспоненциального) типа, которые записываются в виде:

     (40)

или в виде

.      (41)

Возможна и такая зависимость:

.     (42)

В регрессиях типа (40) – (42) применяется один и тот  же способ линеаризации – логарифмирование. Уравнение (40) приводится к виду:

.    (43)

Замена переменной сводит его к линейному виду:

,     (44)

где .

39. Как преобразуется степенная зависимость при использовании МНК?

Они используются для построения и анализа производственных функций. В функциях вида:

     (48)

особенно ценным является то обстоятельство, что параметр b равен коэффициенту эластичности результативного признака по фактору х. Преобразуя (48) путем логарифмирования, получаем линейную регрессию:

,     (49)

где  . 
 

41Как преобразуется логистическая зависимость для применения МНК?

зависимость логистического типа:

40. .    (52)

Графиком  функции (52) является так называемая «кривая насыщения», которая имеет  две горизонтальные асимптоты  y=0 и y=1/a и точку перегиба , а также точку пересечения с осью ординат y=1/(a+b): 
 
 
 
 
 
 
 
 

Уравнение (52) приводится к линейному виду заменами переменных . 
 

42Где применяется квадратичная парабола в уравнениях регрессии и при каких условиях?

Такая зависимость  целесообразна в случае, если для  некоторого интервала значений фактора возрастающая зависимость меняется на убывающую или наоборот. В этом случае можно определить значение фактора, при котором достигается максимальное или минимальное значение результативного признака. Если исходные данные не обнаруживают изменение направленности связи, параметры параболы становятся трудно интерпретируемыми, и форму связи лучше заменить другими нелинейными моделями. 

43Какие зависимости используются для кривых Филипса и кривых Энгеля? 

      Зависимости гиперболического типа имеют вид:

       .     (37)

      Примером  такой зависимости является кривая Филлипса, констатирующая обратную зависимость  процента прироста заработной платы  от уровня безработицы. В этом случае значение параметра b будет больше нуля. Другим примером зависимости (37) являются кривые Энгеля, формулирующие следующую закономерность: с ростом дохода доля доходов, расходуемых на продовольствие, уменьшается, а доля доходов, расходуемых на непродовольственные товары, будет возрастать. В этом случае b<0, а результативный признак в (37) показывает долю расходов на непродовольственные товары. 

44В чем различия между коэффициентом корреляции и индексом корреляции?

      показателем корреляции, который в данном случае называется индексом корреляции:

 
 
 

      При линейной регрессии в качестве показателя тесноты связи выступает линейный коэффициент корреляции r: 

(11)

 

Его значения находятся  в границах: . Если b > 0, то при b< 0 . По данным примера , что означает очень тесную зависимость затрат на производство от величины объема выпускаемой продукции. 

Величина R находится в границах , и чем ближе она к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем более надежно найденное уравнение регрессии 
 

45В чем особенность вычисления статистики Фишера для полиноминальных регрессии? 

      Индекс  детерминации используется для проверки существенности в целом уравнения  нелинейной регрессии по F-критерию Фишера: 

       ,     (55)

где n-число наблюдений, m-число параметров при переменных х. Во всех рассмотренных нами случаях, кроме полиномиальной регрессии, m=1, для полиномов (34) m=k, т.е. степени полинома. Величина m характеризует число степеней свободы для факторной СКО, а (n-m-1) – число степеней свободы для остаточной СКО.